\documentclass[a4paper,11pt]{article}
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\everymath{\displaystyle}
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\textwidth 19cm \textheight 26cm \hoffset 
-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\newcommand{\V}[1]{\overrightarrow{\text{#1}}}
\pagestyle{fancy}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}
\rfoot{\small{Lycée Maurice Genevoix \\Année 2017-2018}}
\lfoot{jeudi 24 mai 2018}

\begin{document}
	
	\begin{tabular}{p{13cm}lr}
		 &\hfill jeudi 24 mai 2018\\
		NOM (en \textbf{caractères majuscules d'imprimerie}) : &\\
		\\
		PRÉNOM : &\\
		\\
		CLASSE : 2\up{nde} \no \dots &
	\end{tabular}
	
	\vspace{4cm}
	\fbox{\begin{minipage}{16cm}
			\begin{center}
				\huge Devoir commun de mathématiques \no 1 \\
				2\up{nde} 
				
	\end{center}\end{minipage}}\\
\\
\\
\\

		\begin{minipage}{16cm}
			\begin{center}
				\Large Durée : $2$ heures  
				
	\end{center}\end{minipage}\\
	
	\vspace{2cm}
	\noindent Les exercices sont indépendants et peuvent être traités dans l'ordre voulu. \\
	
	\noindent L'usage de la calculatrice est autorisé, mais le prêt de calculatrice est interdit. \\
	
	\noindent La clarté des raisonnements et la qualité de la rédaction interviendront pour une part importante dans l'appréciation de la copie. Tout résultat devra être soigneusement justifié. \\
	
	\noindent \textbf{Les élèves d'UPE2A sont autorisés à utiliser un dictionnaire}.
	
	\vspace{1cm}
	\noindent \textbf{Partie réservée à la correction :}\\ 
	\noindent \textbf{Partie réservée à la correction : (barème sur $40$ points)}\\ 
	
	
	\noindent Exercice $1$ sur $6,5$ points : \\
	
	\noindent Exercice $2$ sur $5$ points : \\
	
	\noindent Exercice $3$ sur $6$ points : \\
	
	\noindent Exercice $4$ sur $4,5$ points : \\
	
	\noindent Exercice $5$ sur $6$ points : \\
	
	\noindent Exercice $6$ sur $7$ points : \\
	
	\noindent Exercice $7$ sur $5$ points : \\



\newpage
\normalsize



\newpage




\subsection*{\textcolor{blue}{Exercice 1 :}}

\medskip 

\noindent Dans tout l'exercice, on se place dans un repère $(O~;~I~;~J)$ du plan. Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse. \textbf{Justifier chacune de vos réponses à l'aide de calculs. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.}\\

\begin{enumerate}
\item Soit $A(-1;4)$ et $B(-3;2)$ deux points du plan. \textbf{Affirmation :} Le vecteur $\overrightarrow{AB}$ a pour coordonnées $\begin{pmatrix}2\\2\end{pmatrix}$.\\[0.15cm]
\\
.\dotfill\\

\item On donne les vecteurs $\overrightarrow {u}\begin{pmatrix}\sqrt{3}-1\\2\end{pmatrix}$ et $\overrightarrow {v} \begin{pmatrix}1\\\sqrt{3}+1\end{pmatrix}$.
\textbf{Affirmation :} Les vecteurs $\overrightarrow {u}$ et $\overrightarrow {v}$ sont colinéaires.\\[0.15cm]
\\
.\dotfill\\
\\
.\dotfill\\

\item Soit $A(2~;~3)$, $B(1~;~4)$ et $M(-3~;~8)$ trois points du plan. \textbf{Affirmation :} Les points $M$, $A$ et $B$ sont alignés.\\[0.2cm]
\\
.\dotfill\\
\\
.\dotfill\\
\\
.\dotfill\\

\item On considère les points $A(-2~;~-2)$, $B(2~;~4)$, $C(10~;~2)$ et $D(6~;~4)$. \textbf{Affirmation :} Le quadrilatère $ABCD$ est un parallélogramme.\\[0.2cm]
\\
.\dotfill\\
\\
.\dotfill\\

\end{enumerate}


\subsection*{\textcolor{blue}{Exercice 2 :}} 
\label{Tableau-signes}
\begin{enumerate}
	\item Factoriser au maximum l'expression $(2x-3)(8x+1)-(7x+4)(2x-3)$. 

	.\dotfill\\
	.\dotfill\\
	.\dotfill
.\dotfill

	\item 
	\begin{enumerate}
		\item Dresser ci-dessous le tableau de signe de $(5x+8)(6-7x)$.

		\vspace{2cm}
		
				\item Factoriser $(x-7)^2-(6x+1)^2$.

.\dotfill\\
.\dotfill\\
.\dotfill\\


		\item En utilisant les questions $2. a)$ et $2. b)$, en déduire l'ensemble des solutions de $(x-7)^2\leqslant (6x+1)^2$.

		

.\dotfill\\
.\dotfill\\
.\dotfill\\
.\dotfill\\
.\dotfill

	\end{enumerate}
\end{enumerate}


\newpage


\subsection*{\textcolor{blue}{Exercice 3 :}} 

\medskip 

\noindent Un quotidien d'information s'est intéressé aux tranches d'âge de ses abonnés. Ce quotidien est disponible en ligne ou en version papier. On a obtenu les résultats suivants :
\begin{center}
\begin{tabular}{|*{4}{c|}}
\cline{2-4}\multicolumn{1}{c|}{} & Moins de 20 ans & Entre 20 et 40 ans & Plus de 40 ans \\
\hline
Version papier & 183 & 318 & 162 \\
\hline
Version en ligne & 96 & 175 & 66 \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\begin{enumerate}
	\item Au total, combien d'abonnements ont été souscrits à ce journal ? \dotfill

	
	\item On choisit au hasard l'un des abonnements souscrits. On considère les évènements suivants :
\begin{enumerate}[$\bullet$]

			\item L : \og\ L'abonnement souscrit est un abonnement en ligne\fg.
			\item A : \og\ L'abonnement a été souscrit par une personne de plus de 40 ans\fg.
			\item B : \og\ L'abonnement a été souscrit par une personne de moins de 20 ans\fg.
		\end{enumerate}
		\begin{enumerate}
			\item Calculer la probabilité de l'évènement $L$. \dotfill

			\item Décrire par une phrase l'évènement $L\cap A$ puis calculer sa probabilité.

			

			.\dotfill

			

			.\dotfill

			\item Décrire par une phrase l'évènement $L\cup B$ puis calculer sa probabilité.

			

			.\dotfill

			

			.\dotfill

		\end{enumerate}
	\item On choisit au hasard un abonnement papier. Quelle est la probabilité  que l'abonnement ait été souscrit par une personne âgée entre $20$ et $40$ ans.

	

	.\dotfill

\end{enumerate}



\subsection*{\textcolor{blue}{Exercice 4 :}} 

\medskip

\noindent Une urne contient deux boules vertes numérotées 1 et 2, que l'on note $V_1$ et $V_2$, et deux boules rouges numérotées 1 et 2, que l'on note $R_1$ et $R_2$. Les boules sont indiscernables au toucher.

On tire une boule de l'urne puis, \textbf{sans la remettre}, on en tire une deuxième.

Une issue est donc un couple que l'on notera $(V_1;R_1)$, par exemple.
\begin{enumerate}
	\item Représenter ci-dessous la situation à l'aide d'un arbre de dénombrement et en déduire le nombre total d'issues.

	

	

	

	

	

	

	

	

	

	

	

	

	

	
	\newpage
	
	\item Calculer la probabilité des évènements suivants : 
	\begin{enumerate}
		\item La boule $V_1$ a été tirée.

		

		.\dotfill

		\item Lors du tirage, le numéro 2 apparaît exactement une fois.

		

		.\dotfill

		\item Les des boules tirées sont de couleurs différentes.

		

		.\dotfill

	\end{enumerate}
\end{enumerate}


\subsection*{\textcolor{blue}{Exercice 5}}  

\medskip


\noindent On considère les quatre fonctions définies par :\\
 $f_1(x) = (x-2)^2+1$, $f_2(x) = -\frac{1}{2}\left(x-1\right)^2+2$, $f_3(x) = (x+3)^2-1$ et $f_4(x) = -\left(x-3\right)^2-1$.

On a tracé ci-dessous les quatre courbes représentatives.

\begin{center}
\psset{unit=1cm,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-5,-5)(5,5)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2,linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-5,-5)(5,4)
\psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0,gridwidth=0.3pt](-5,-5)(5,4)
\psplot[linewidth=2pt,linecolor=black]{0.3}{3.5}{(x-2)^2+1}
\psplot[linewidth=2pt,linecolor=blue]{-2.5}{4.2}{-(x-1)^2/2+2}
\psplot[linewidth=2pt,linecolor=red]{1.3}{4.2}{-(x-3)^2-1}
\psplot[linewidth=2pt,linecolor=red]{-5}{-1}{(x+3)^2-1}
\end{pspicture}

\end{center}
%$$\begin{tikzpicture}[line cap=round,line join=round,>=triangle 45,x=1cm,y=1cm]
%\begin{axis}[x=1cm,y=1cm,axis lines=middle,ymajorgrids=true,xmajorgrids=true,xmin=-4.7789381968408104,xmax=5.629791648630788,ymin=-3.6582199336834558,ymax=3.3660762810519786,xtick={-4,-3,...,5},ytick={-3,-2,...,3},]\clip(-4.7789381968408104,-3.6582199336834558) rectangle (5.629791648630788,3.3660762810519786);\draw[line width=2pt,color=qqwuqq,smooth,samples=100,domain=-4.7789381968408104:5.629791648630788] plot(\x,{((\x)-2)^(2)+1});\draw[line width=2pt,color=qqqqff,smooth,samples=100,domain=-4.7789381968408104:5.629791648630788] plot(\x,{(-1)/2*((\x)-1)^(2)+2});\draw[line width=2pt,color=zzttff,smooth,samples=100,domain=-4.7789381968408104:5.629791648630788] plot(\x,{((\x)+3)^(2)-1});\draw[line width=2pt,color=ccqqqq,smooth,samples=100,domain=-4.7789381968408104:5.629791648630788] plot(\x,{0-((\x)-3)^(2)-1});\end{axis}\end{tikzpicture}$$
Associer chaque fonction à sa courbe représentative dans le repère ci-dessous (indiquer sur le graphique ci-dessus $\mathcal{C}_1$ pour la courbe représentative de $f_1$, $\mathcal{C}_2$ pour celle de $f_2$, $\mathcal{C}_3$ pour celle de $f_3$ et $\mathcal{C}_4$ pour celle de $f_4$).



\textbf{Justifier soigneusement les réponses.}



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\subsection*{\textcolor{blue}{Exercice 6 :}} 

\medskip

\noindent Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x^2-2x-3$. On a obtenu l'écran suivant à l'aide d'un logiciel de calcul formel :

\bigskip
\begin{center}
\begin{tabular}{|*{2}{l|}}
 \multicolumn{2}{l}{Calcul formel} \\
1&Factoriser \verb?x^2-2x-3?\\
&$\rightarrow \mathbf{(x-3)(x-1)}$\\
\hline
2&FormeCanonique \verb?x^2-2x-3?\\
&$\rightarrow \mathbf{(x-1)^2-4}$\\
\end{tabular}
\end{center}


\begin{enumerate}
	\item Démontrer par le calcul que la forme factorisée de $f(x)$ est $(x-3)(x+1)$.

	

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	\item Démontrer par le calcul que la forme canonique de $f(x)$ est $(x-1)^2-4$. 

	

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	.\dotfill

	
	\item En utilisant la forme la plus adaptée de $f(x)$, répondre aux questions suivantes :
		\begin{enumerate}
			\item Calculer les images de $0$, de $-1$ et de $1$ par $f$.

			

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			\item Résoudre l'équation $f(x)=0$.

			

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			\item Dresser le tableau de variations de la fonction $f$.

			

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		\end{enumerate}
\end{enumerate}



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\subsection*{\textcolor{blue}{Exercice 7}}  

\medskip

\noindent John veut construire une serre dans son jardin. Le contour de la façade est assimilé à la parabole $\mathcal{P}$ représentée dans le repère orthonormé ci-dessous (unité : 1m) :

%$$\begin{tikzpicture}[scale=2]
%\tkzDefPoint(0,0){O}
%\tkzDefPoint(1.5,0){A}
%\tkzDefPoint[xshift=.5cm](1.5,0){A'}
%\tkzDefPoint(-1.5,0){B}
%\tkzDefPoint[xshift=-.5cm](-1.5,0){B'}
%\tkzDrawVector(B',A')
%\draw(1,.05)--(1,-.05)node[below]{1};
%\draw(-1,.05)--(-1,-.05)node[below]{-1};
%\draw(.05,1)--(-.05,1)node[left]{1};
%
%\tkzDefPoint(0,2.025){S}
%\tkzDefPoint[yshift=.5cm](0,2.025){S'}
%\tkzDrawVector(O,S')
%\draw[samples=200,domain=-1.5:1.5,red] plot (\x,{-0.9*(\x)^2+2.025});
%\draw[red](-1.3,1)node{\Large$\mathcal P$};
%
%\tkzDefPoint(0.5,0){F}
%\tkzDefPoint(-0.5,0){G}
%\tkzDefPoint(0.5,1.8){E}
%\tkzDefPoint(-0.5,1.8){H}
%\draw (G)--(H)--(E)--(F);
%
%\tkzLabelPoints[below](B,O,A,G,F)
%\tkzLabelPoints[above](H,E)
%\tkzLabelPoints[above right](S)
%\tkzDrawPoints(B,O,A,G,F,S,E,H) 
%
%% Décommander pour le marquage
%%\tkzDefPoint(0,1.8){W}
%%\tkzMarkRightAngles(A,F,E B,G,H O,W,E)
%%\tkzMarkSegments[mark=s||](G,O O,F)
%
%\end{tikzpicture}$$

\begin{center}
\psset{unit=2cm,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-2,-0.2)(2,2.5)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2,linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-1.7,0)(1.7,2.3)
\psplot{-1.5}{1.5}{-0.9*x^2+2.025}
\uput[l](-1.2,1){$\mathscr{P}$}
\uput[d](0.5,0){F}
\uput[d](-0.5,0){G}
\uput[d](-0.5,1.8){H}
\uput[d](0.5,1.8){E}
\uput[d](-1.5,0){B}
\uput[d](1.5,0){A}
\uput[ur](0,2.025){S}
\psframe(-0.5,0)(0.5,1.8)
\end{pspicture}
\end{center}

Le rectangle $EFGH$ représente la porte. $OS = 2, 025$ m et $OA = OB = 1,5$ m.
\begin{enumerate}
	\item Établir que la parabole $\mathcal{P}$ est la courbe représentative de la fonction $f$ définie sur $[\ -1,5\ ; \ 1,5 \ ]$ par : \[f(x) = -0,9x^2+2,025.\]
	\hfill

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	\item John aimerait que la porte mesure $1,5$m de large pour pouvoir passer facilement avec sa brouette.

	Quelle sera alors la hauteur, en m, de la porte ? Arrondir au centimètre près.

	

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	\item Il se rend compte qu'il ne pourra pas passer sans se baisser. Il choisit une hauteur de porte de $1,80$m.

	John pourra-t-il passer avec sa brouette ?

	

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\end{enumerate}







\label{fin}
\end{document}  