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\begin{document}
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\begin{center}\section*{\textcolor{red}{2\up{nde} : Feuille d'exercices (semaine du 9 octobre)}}\end{center}



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{}
\begin{enumerate}
\item Écrire la décomposition de 48 en produit de facteurs premiers.

\item En déduire la décomposition de 144 et de 480 en produit de facteurs premiers.

\item Trouver le plus petit entier naturel non nul $n$ tel que $48n$ soit un carré.
\end{enumerate}

\subsection{}
\begin{enumerate}
\item Donner la décomposition en produit de facteurs premiers des nombres 432 et 750.
\item En déduire le PGCD de 432 et de 750, puis rendre irréductible la fraction $\frac{750}{432}$.

\item Calculer à la calculatrice les nombres $A=2^2\times 3^5\times 5\times 7^2$ et $B=2^4\times 3^2\times 5^2\times 7$
\item Trouver le PGCD des nombres suivants : \numprint{238140} et \numprint{25200}
\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{Nombres parfaits}}
On dit qu'un nombre est parfait si la somme de ses diviseurs est égale au double du nombre lui-même.
\begin{enumerate}
\item Vérifier que 6 et 28 sont parfaits.

\item Au III\ieme{} siècle avant J.-C., Euclide a donné la formule donnant tous les nombres parfaits pairs. Ce sont les nombres de la forme $2^{n-1}(2^n-1)$, où $n$ est un entier naturel non nul tel que $2^n-1$ soit un nombre premier.\\
Donner les trois premiers nombres parfaits que cette formule permet de trouver.\\\\
(\emph{Remarque : on n'a toujours pas trouvé de nombre parfait impair ; on sait seulement que s'il existe, il aurait un facteur premier supérieur à \nombre{300000} et il serait supérieur à $10^{300}$ !)}
\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{Somme de puissances de 2}}
\begin{enumerate}
\item Vérifier, pour tout entier naturel $n$, l'égalité : $2^n=2^{n+1}-2^n$.

\item En déduire une expression plus simple de la somme : $1+2+4+8+16+\cdots+2^{100}$.
\end{enumerate}

\subsection{}
Développer les expressions suivantes :

\begin{enumerate}[a)]
\item $2(x+3)$

\item $3(x-5)$

\item $x(x+2)$

\item $x(x-3)$

\item $(2x+3)(5y+7)$
\end{enumerate}


\end{multicols}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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\vspace{0.3cm}

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{2\up{nde} : Feuille d'exercices (semaine du 9 octobre)}}\end{center}



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{}
\begin{enumerate}
\item Écrire la décomposition de 48 en produit de facteurs premiers.

\item En déduire la décomposition de 144 et de 480 en produit de facteurs premiers.

\item Trouver le plus petit entier naturel non nul $n$ tel que $48n$ soit un carré.
\end{enumerate}

\subsection{}
\begin{enumerate}
\item Donner la décomposition en produit de facteurs premiers des nombres 432 et 750.
\item En déduire le PGCD de 432 et de 750, puis rendre irréductible la fraction $\frac{750}{432}$.

\item Calculer à la calculatrice les nombres $A=2^2\times 3^5\times 5\times 7^2$ et $B=2^4\times 3^2\times 5^2\times 7$
\item Trouver le PGCD des nombres suivants : \numprint{238140} et \numprint{25200}
\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{Nombres parfaits}}
On dit qu'un nombre est parfait si la somme de ses diviseurs est égale au double du nombre lui-même.
\begin{enumerate}
\item Vérifier que 6 et 28 sont parfaits.

\item Au III\ieme{} siècle avant J.-C., Euclide a donné la formule donnant tous les nombres parfaits pairs. Ce sont les nombres de la forme $2^{n-1}(2^n-1)$, où $n$ est un entier naturel non nul tel que $2^n-1$ soit un nombre premier.\\
Donner les trois premiers nombres parfaits que cette formule permet de trouver.\\\\
(\emph{Remarque : on n'a toujours pas trouvé de nombre parfait impair ; on sait seulement que s'il existe, il aurait un facteur premier supérieur à \nombre{300000} et il serait supérieur à $10^{300}$ !)}
\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{Somme de puissances de 2}}
\begin{enumerate}
\item Vérifier, pour tout entier naturel $n$, l'égalité : $2^n=2^{n+1}-2^n$.

\item En déduire une expression plus simple de la somme : $1+2+4+8+16+\cdots+2^{100}$.
\end{enumerate}

\subsection{}
Développer les expressions suivantes :

\begin{enumerate}[a)]
\item $2(x+3)$

\item $3(x-5)$

\item $x(x+2)$

\item $x(x-3)$

\item $(2x+3)(5y+7)$
\end{enumerate}


\end{multicols}

\label{fin}
\end{document}  