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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{2\up{nde} : TD sur les vecteurs colinéaires}}\end{center}

\subsection{\textcolor{blue}{Autour d'un mot caché}}
Construire les 18 points $C$, $D$, $E$, $F$, $G$, $H$, $I$, $J$, $K$, $L$, $M$, $N$, $P$, $Q$, $R$, $S$, $T$ et $U$ définis respectivement par les égalités vectorielles ci-dessous :
Tous les vecteurs seront construits au crayon à papier et les 18 points seront marqués au stylo. Gommer ensuite tous les vecteurs qui ont servi à la construction des points, ainsi qu'éventuellement tous les points inutiles, pour ne garder que les points O, A, B, C, D, E, F, G, H, I, J, K, L, M, N, P, Q, R, S, T et U. Tracer alors au stylo les segments [FG], [FC], [DE], [BI], [BJ], [OA], [IH], [MN], [LK], [RQ], [RS], [SU], [QR] et [PT].

\noindent Vous découvrez alors le mot caché!\\

\textbf{\textcolor{red}{Égalités vectorielles :}}\\
$\begin{array}{lclclcl}
\overrightarrow{OC}=-\cfrac{5}{2}\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}& ; & \overrightarrow{CD}=\overrightarrow{OB} &;&
 \overrightarrow{CE}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB} &;& \overrightarrow{DF}=\overrightarrow{OB}\\
  \overrightarrow{DG}=2\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB} &;&   \overrightarrow{OH}=2\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB} &;& 
   \overrightarrow{HI}=-2\overrightarrow{OA} &;&  \overrightarrow{BJ}=2\overrightarrow{OA}\\
  \overrightarrow{HK}=\cfrac{3}{2}\overrightarrow{OA}&;&  \overrightarrow{KL}=2\overrightarrow{OB}&;&
  \overrightarrow{LM}=-\overrightarrow{OA}&;&
  \overrightarrow{AN}=\cfrac{7}{2}\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}\\
 \overrightarrow{AP}=4\overrightarrow{OA}&;&  \overrightarrow{PQ}=2\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}&;&
  \overrightarrow{QR}=-2\overrightarrow{OA}&;&
  \overrightarrow{RS}=-2\overrightarrow{OB}\\
\overrightarrow{ST}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}&;&  \overrightarrow{TU}=\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}&&&&\\
\end{array}$.

\begin{center}
\psset{xunit=0.6,yunit=0.6}
\begin{pspicture}(-6,-5)(16,5)
\psgrid[subgriddiv=0,gridlabels=0,gridwidth=0.6pt](-6,-5)(16,5)
\psdots[dotstyle=x,dotscale=2](0,0)(2,0)(0,4)
\uput[d](0,0){$O$}\uput[d](2,0){$A$}\uput[l](0,4){$B$}
\psline[linewidth=2pt]{->}(2,0)
\psline[linewidth=2pt]{->}(0,4)
\end{pspicture}
\end{center}




\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

%\subsection{}
%$A$ et $B$ sont deux points distincts. 
%\begin{enumerate}
%\item Placer le point $C$ tel que $\overrightarrow{AC}=-\frac{3}{2}\overrightarrow{AB}$.
%\item Déterminer les nombres $x$, $y$ et $z$ tels que : \\
%$\overrightarrow{AC}=x\overrightarrow{BC}\qquad$ ; $\qquad\overrightarrow{BC}=y\overrightarrow{AB}\qquad$ ; $\qquad \overrightarrow{CB}=z\overrightarrow{AC}$
%\end{enumerate}


\subsection{}
$A$ et $B$ sont deux points distincts. $M$ est le point tel que : \[3\overrightarrow{AB}-2\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{0}.\]
Justifier que les vecteurs $\overrightarrow{AM}$ et $\overrightarrow{AB}$ sont colinéaires. Que peut-on en déduire pour les points $A$, $M$ et $B$. Placer $M$.


\subsection{}
$ABC$ est un triangle. $I$ est le milieu de $[AB]$.

Les points $J$ et $K$ sont tels que $\overrightarrow{JC}=2\overrightarrow{JA}$ et \\
$\overrightarrow{KB}=-\dfrac{1}{2}\overrightarrow{KC}$.

\begin{enumerate}
\item Exprimer $\overrightarrow{AJ}$ et $\overrightarrow{KC}$ en fonction de $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$.

\item Prouver alors que les points $I$, $J$ et $K$ sont alignés.
\end{enumerate}

\subsection{}
$ABCD$ est un parallélogramme. $I$ est le milieu de $[AB]$. $E$ est le point tel que $\overrightarrow{DE}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{DI}$.
\begin{enumerate}
\item Prouver que $\overrightarrow{AE}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AD}$.

\item En déduire que les points $A$, $C$ et $E$ sont alignés.
\end{enumerate}


\end{multicols}
\label{fin}
\end{document}  