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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{2nde devoir sur feuille \no 2}}\end{center}


\subsection{}
Dans un repère orthonormé (O~;~I~;~J), on considère les points $A(3~;~2)$, $B(-1~;~-2)$, et $C(5~;~0)
$.

\begin{enumerate}
\item Faire une figure qui sera complétée au fur et à mesure. (On pourra prendre un grand carreau pour unité ou un cm.) 

\item Calculer les coordonnées du point $M$, milieu de $[BC]$, puis placer $M$ sur la figure.

\item Calculer $AB^2$ et en déduire la longueur $AB$ en détaillant les calculs.

\item Calculer ensuite les valeurs exactes de $AC^2$ puis AC, et de $BC^2$ puis $BC$.

\item En déduire la nature du triangle $ABC$.

\item Tracer en justifiant le cercle circonscrit au triangle ABC, puis calculer la longueur de son rayon. 

\item Déterminer par le calcul les coordonnées du point $D$, tel que $M$ est le milieu de $[AD]$. Placer $D$ sur la figure.

\item  Donner en justifiant la nature précise du quadrilatère $ABDC$.

\end{enumerate}


\subsection{}
Résoudre l'équation (après avoir trouvé l'ensemble de définition) 
\[\dfrac{2}{3x-1}-\dfrac{3x}{3x+1}=\dfrac{4}{9x^2-1}-1.\]

\subsection{}
Résoudre l'inéquation (après avoir trouvé l'ensemble de définition) 
\[\dfrac{2}{x}+\dfrac{3}{x+1}\geqslant 0\]

\subsection{}
Dans un récipient de forme cylindrique, de rayon 4 cm, on verse de l'eau jusqu'à une hauteur de 3,75 cm. Puis, on ajoute une bille dans le récipient. Le liquide recouvre alors la bille \textbf{exactement}.

\psset{unit=0.6,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=5pt 0,linewidth=1.6pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-3.,-1.)(9.,6.)
\multips(0,-1)(0,1.0){8}{\psline[linestyle=dashed,linecap=1,dash=1.5pt 1.5pt,linewidth=0.4pt,linecolor=lightgray]{c-c}(-1.,0)(9.,0)}
\multips(-1,0)(1.0,0){11}{\psline[linestyle=dashed,linecap=1,dash=1.5pt 1.5pt,linewidth=0.4pt,linecolor=lightgray]{c-c}(0,-1.)(0,6.)}
\psline[linewidth=2.pt](0.,0.)(8.,0.)
\psline[linewidth=2.pt](0.,0.)(0.,5.)
\psline[linewidth=2.pt](8.,0.)(8.,5.)
\psline[linewidth=2.pt](0.,3.75)(8.,3.75)
\psframe[fillcolor=cyan!40,fillstyle=solid](0,0)(8,3.75)
\uput[d](4,0){8 cm}
\uput[l](-0.5,2){3.75 cm}
\end{pspicture*}

\noindent \newrgbcolor{ududff}{0.30196078431372547 0.30196078431372547 1.}
\newrgbcolor{zzttqq}{0.6 0.2 0.}
\psset{unit=1,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=5pt 0,linewidth=1.6pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-4.3,-0.8)(16.9,6.3)
\multips(0,-6)(0,1.0){13}{\psline[linestyle=dashed,linecap=1,dash=1.5pt 1.5pt,linewidth=0.4pt,linecolor=lightgray]{c-c}(-4.3,0)(16.9,0)}
\multips(-4,0)(1.0,0){22}{\psline[linestyle=dashed,linecap=1,dash=1.5pt 1.5pt,linewidth=0.4pt,linecolor=lightgray]{c-c}(0,-6.62)(0,6.3)}
\psline[linewidth=2.pt](0.,0.)(8.,0.)
\psline[linewidth=2.pt](0.,0.)(0.,5.)
\psline[linewidth=2.pt](8.,0.)(8.,5.)
\psline[linewidth=2.pt](0.,4.4)(8.,4.4)
\psframe[fillcolor=cyan!40,fillstyle=solid](0,0)(8,4.4)
\pscircle[fillcolor=red!70,fillstyle=solid,linewidth=2.pt](4.,2.2){2.2}
%\psline[linewidth=2.pt,linecolor=zzttqq](3.88,-4.64)(6.08,-4.24)
%\psline[linewidth=2.pt,linecolor=zzttqq](6.08,-4.24)(4.22,-3.72)
%\psline[linewidth=2.pt,linecolor=zzttqq](4.22,-3.72)(3.88,-4.64)
\uput[d](4,0){8 cm}
\psline(4,2.2)(4,4.4)
\uput[r](4,3.3){R}
\end{pspicture*}

On veut trouver les rayons possibles de la boule. Pour cela :

\begin{enumerate}
\item Montrer que $r$ est solution de l'équation $r^3-24r+45=0$.

\item Vérifier que $r^3-24r+45=(r-3)\left(r^2+3r-15\right)$.

\item Montrer que $r^2+3r-15=\left(r+\dfrac{3}{2}\right)^2-\dfrac{69}{4}$.

\item En déduire la factorisation de $r^2+3r-15$.

\item En déduire les solutions de l'équation $r^3-24r+45=0$.

\item Quels sont les rayons possibles pour la boule ?
\end{enumerate}




\subsection{}
Soit $ABC$ un triangle quelconque. on considère les points $I$, $J$ et $K$ tels que $\overrightarrow{AI}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AJ}=3\overrightarrow{AC}$.

\begin{enumerate}
\item Exprimer $\overrightarrow{BJ}$ à l'aide des vecteurs $\overrightarrow{BA}$ et $\overrightarrow{AJ}$ en précisant la relation utilisée.

\item En déduire $\overrightarrow{BJ}$ en fonction de $\overrightarrow{IC}$.

\item Que peut-on en déduire pour les droites $(BJ)$ et $(IC)$ ?
\end{enumerate}


%\end{multicols}

\subsection{}
Lors d’un recensement de population, on a relevé le nombre d’enfants par famille dans un village de la région.

\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
Nombre d’enfants par famille&0&1&2&3&4&5&6&7&8\\
\hline
Effectifs&105&139&97&63&47&33&10&4&2\\
\hline
\end{tabularx}
\begin{enumerate}
\item Donner le nombre moyen d’enfants par famille dans ce village.

\item Donner la valeur du premier quartile $Q_1$ de la série ainsi que le troisième quartile $Q_3$.

Interpréter concrètement la valeur donnée.

\item Calculer le pourcentage des familles de ce village ayant au moins 5 enfants.
\end{enumerate}

\subsection{}
Tiphaine passe beaucoup de temps à accorder les couleurs de ses vêtements.

Elle possède par exemple quatre foulard (un noir, un bleu, un rose et un marron) et deux manteaux (un noir et un bleu).
\begin{enumerate}
\item De combien de façons différentes Tiphaine peut-elle s'habiller ?

\item De combien de façons différentes  peut-elle s'habiller avec des vêtements de couleurs différentes ?
\end{enumerate}

\subsection{}
Au prochain contrôle d'histoire-géographie, les élèves de la classe devront choisir parmi deux sujets : un sujet d'Histoire et un sujet de Géographie.

La moitié des élèves maîtrisent le sujet d'Histoire et les deux tiers maîtrisent le sujet de Géographie.

Seul un quart maîtrise les deux sujets.

On interroge un élève au hasard à la sortie du contrôle.

On note $H$ et $G$ les événements \og{}l'élève interrogé maîtrise le sujet d'Histoire\fg{} et \og{}l'élève interrogé maîtrise le sujet de Géographie\fg{}.

\begin{enumerate}
\item Déterminer $p(H)$, $p(G)$ et $p(H\cap G)$.

\item En déduire $p(H\cup G)$ et interpréter le résultat.

\item Quelle est la probabilité que l'élève interrogé ne maîtrise aucun des deux sujets ?
\end{enumerate}



\label{fin}
\end{document}  