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-1,4cm \voffset -2.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
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% pour le pied de page central
\lhead{La vie n'est bonne qu'à étudier et à enseigner les mathématiques. \fg{} (Blaise Pascal)}
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{2\up{nde} : devoir sur feuille \no 1}}\end{center}

\emph{On soignera la rédaction ; on rappelle que chaque réponse doit être justifiée}



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{}
On munit le plan d'un repère orthonoémr (0~;~I~;~J).\\
On considère les points T(-2,2~;~1,2), A(-1,2~;~3,6), C(6~;~0,6).

\begin{enumerate}
\item Calculer les longueurs des trois côtés du triangle TAC.

\item Démontrer que ce triangle est rectangle.

\item On appelle K le milieu de [TC]. Calculer les coordonnées de K.

\item Quelles sont les coordonnées du point E tel que ECZT soit un rectangle ; expliquer !
\end{enumerate}

%\subsection{}
%Dans le repère rothonormé (0~;~I~;~J) d'unité 1 cm, on considère les points suivants :\\
%A(6~;~0), B(0~;~4), C(1~;~-1).
%\begin{enumerate}
%\item Faire ue figure.
%
%\item Prouver que le triangle ABC est rectangle.
%
%\item On appelle K le milieu de [AB].
%\begin{enumerate}
%\item Calculer les coordonnées de K.
%
%\item Prouver que K appartient à la médiatrice de [OC].
%
%\end{enumerate}
%\end{enumerate}

\subsection{}%https://mathslycee.fr/images/pdf/2dm3.pdf

\begin{enumerate}
\item Dans un repère (O ~;~I ~;~J) orthonormé d’unité 1 cm, placer les points : A(-1~;~-1), B(2~;~3), C(4~;~-1) et D(7~;~3).

Quelle semble être la nature du triangle ABC ? Le vérifier par le calcul.

\item Déterminer le périmètre du triangle ABC. On donnera d'abord la valeur \textbf{exacte}, puis la valeur arrondie au mm.

\item Placer le point H, pied de la hauteur issue de B du triangle ABC.

Quelle est la position de H sur le segment [AC] ? Justifier.

En déduire les coordonnées de H.

\item Déterminer l’aire du triangle ABC.

\item Placer le point R, milieu de [BC], puis déterminer ses coordonnées par le calcul.

\item Démontrer que R est le milieu de [AD].

\item Déduire des questions précédentes la nature exacte du quadrilatère ABDC. Justifier soigneusement la réponse.
\end{enumerate}

\subsection{}
Le parallélogramme $ABCD$ ci-dessous est-il un losange ?\\
(On a $AB=4\sqrt{5}$, $AO=8$ et $OB=4$)
\begin{center}
\newrgbcolor{zzttqq}{0.6 0.2 0}
\psset{xunit=0.6cm,yunit=0.6cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-1,-1)(15,8)
\pspolygon[linecolor=zzttqq,fillcolor=cyan!20,fillstyle=solid,opacity=0.1](0,0)(8.94,0)(14.31,7.16)(5.37,7.16)
\psline[linecolor=zzttqq](0,0)(8.94,0)
\psline[linecolor=zzttqq](8.94,0)(14.31,7.16)
\psline[linecolor=zzttqq](14.31,7.16)(5.37,7.16)
\psline[linecolor=zzttqq](5.37,7.16)(0,0)
\psline(5.37,7.16)(8.94,0)
\psline(0,0)(14.31,7.16)
\begin{scriptsize}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](0,0)
\uput[d](0,0){\blue{$A$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](8.94,0)
\uput[d](8.94,0){\blue{$B$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=darkgray](7.16,3.58)
\rput[bl](7.28,3.78){\darkgray{$O$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=darkgray](7.16,-3.58)
\rput[bl](14.44,7.33){\blue{$C$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](5.37,7.16)
\rput[bl](5.49,7.33){\blue{$D$}}
\uput[d](4,0){$4\sqrt{5}$}
\uput[u](4.28,2.34){8}\uput[u](7.96,1.98){4}
\end{scriptsize}
\end{pspicture*}
\end{center}

\subsection{}
Soit $ABC$ un triangle quelconque, $I$ tel que $\overrightarrow{IB}=2\overrightarrow{AI}$ et $D$ défini par $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+3\overrightarrow{IC}$ 
\begin{enumerate}
\item Prouver que $\overrightarrow{AB}=3\overrightarrow{AI}$.
\item À partir de sa définition, décrire $D$ comme l'image d'un point par une translation que l'on précisera.
\item Construire le point $D$.
\item Démontrer que $\overrightarrow{AD}=3\overrightarrow{AC}$. Que peut-on en déduire ?
\item Prouver que $3\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{BD}$. Comment interpréter ce résultat ?
\item Sans justifier, donner les coordonnées des points $A,B,C,D,I$ dans le repère $(A;\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC})$
\end{enumerate}

\end{multicols}	

\subsection{}
Le tableau suivant résume les résultats obtenus par la classe de seconde C d'un lycée lors d'un devoir de mathématiques.
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{16}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
   Notes & 3 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12 & 13 & 14 & 17 & 18 \\
   \hline
   Effectifs & 1 & 2 & 1 & 3 & 3 & 5 & 6 & 4 & 2 & 1 & 2 & 2 & 1 \\
\hline
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{enumerate}
   \item Combien y a-t-il d'élèves dans cette classe? Déterminer l'étendue de la série de notes. 
   
   \item Quel est le pourcentage d'élèves ayant obtenu une note inférieure ou égale à 8 ? 
    
   \item Déterminer la moyenne, la médiane et les quartiles de la série de notes en utilisant la calculatrice. 
   
   \item Sans utiliser la calculatrice, expliquer comment on peut retrouver la médiane. 
   
   \item Ce devoir était le quatrième du trimestre. Tous les devoirs ont le même coefficient et jusqu'alors Bastien avait 9 de moyenne ; après ce devoir, il a 9,5 de moyenne. Quelle note a-t-il obtenu à ce devoir? 
   
   \item Dans le lycée, les trois autres classes de seconde ont effectué le même devoir. Les moyennes par classe obtenues sont les suivantes : 
   \begin{center}
   \begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}
      \hline
      Classes & Seconde A & Seconde B & Seconde C & Seconde D \\
      \hline
      Moyennes de chaque classe & 8 & 11 & & 8,5 \\
      \hline
      Effectifs de chaque classe & 34 & $n$ & & 32 \\
      \hline
   \end{tabular}
   \end{center} 
%   \vspace*{0.5cm} 
   Sachant que la moyenne du lycée est de 9,28, calculer le nombre d'élèves $n$ de la seconde B. 
   


   \item On effectue un regroupement en classes des notes des élèves de seconde C. Compléter le tableau suivant:
   \vspace{0.2cm}
   \begin{center}
   \begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|}
      \hline
      Notes & [~0~;~5~[ & [~5~;~8~[ & [~8~;~10~[ & [~10~;~12~[ & [~12~;~15~[ & [~15~;~20~] \\
      \hline
      Effectifs & & & & & & \\
      \hline
   \end{tabular}
   \end{center}
   \item Calculer la moyenne des notes à partir du tableau précédent. Que remarque t-on ? (on utilisera les milieux de chaque intervalle) 
\end{enumerate}

\subsection{}
\begin{enumerate}
	\item Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=-\dfrac{3}{2}x+3$
\begin{enumerate}
	\item Donner le tableau du signe de $f(x)$.
	\item Soient $a$ et $b$ deux réels tels que $a < b$ comparer $f(a)$ et $f(b)$.	
	\item Dans le plan muni d'un repère orthonormé tracer la courbe $D_1$ représentative de la fonction $f$.
\end{enumerate}

\medskip

\begin{center}
\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(-12,-8)(16,10)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-12,-8)(16,10)
\psset{unit=1cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-6,-4)(8,5)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\uput[dl](8,0){\footnotesize{$x$}} \uput[dl](0,5){\footnotesize{$y$}}
\end{pspicture}
\end{center}

\item Soit $g$ la fonction affine telle que $g(-1) =-3$ et $g(2) =3$.
\begin{enumerate}
\item Tracer la courbe $D_2$ représentative de la fonction $g$ dans le repère précédent.
\item Déterminer l'expression de de $g(x)$ en fonction de $x$.
\end{enumerate}
\item Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'inéquation $f(x) \leqslant 2x -1$
\end{enumerate}

	

\label{fin}
\end{document}  