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% pour le pied de page central
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\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{2\up{nde} : exercices sur les  acteurs et la relation de Chasles}}\end{center}

\emph{Remarque : En 1841 Chasles enseigne à l’école polytechnique puis à la Sorbonne en 1846. Il entre à l’Académie des sciences en 1851. Chasles expose la relation qui porte son nom à la page 46/643 de son Traité de géométrie supérieure (1852)}

%http://www.math93.com/images/pdf/Seconde/ds/ds_2013_2014/Ds_Seconde_2013_Vecteurs.pdf
%Correction : http://www.math93.com/images/pdf/Seconde/ds/ds_2013_2014/Ds_Seconde_2013_Vecteurs-corr.pdf



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{}
Soient [ AC ] et [ BD ] deux diamètres d’un cercle $\mathscr{C}$.

Démontrer que $\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AC}$  

\subsection{\textcolor{blue}{Construction et démonstration}}
On considère un triangle ABC :
\begin{center}
\psset{unit=0.6}
\begin{pspicture*}
\psgrid[subgriddiv=1](0,0)(13,10)
\psdots[dotstyle=x,dotscale=2](4,5)(8,5)(5,7)
\pspolygon(4,5)(8,5)(5,7)
\uput[dl](4,5){A}
\uput[dr](8,5){B}
\uput[ul](5,7){C}
\end{pspicture*}
\end{center}


\begin{enumerate}
\item Construire les points I, J, K et L définis par : 
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $\overrightarrow{AI} =\overrightarrow{AB} +\overrightarrow{AC}$

\item $\overrightarrow{AJ} =\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}$

\item $\overrightarrow{AK} = 2\overrightarrow{AB} -\overrightarrow{AC}$

\item $\overrightarrow{BL} = - 2\overrightarrow{AC}$

\end{enumerate}
Remarque $2\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AB}$.



\item En utilisant la relation de Chasles, démontrer que $\overrightarrow{JK}=\overrightarrow{AB}$.

\item Démontrer ensuite que $\overrightarrow{CI}=\overrightarrow{AB}$

\item En déduire que le quadrilatère CIKJ est un parallélogramme. 

\item Démontrer que les points I, B, J et L sont alignés. 
\end{enumerate}


\subsection{}
Démontrer les égalités suivantes : 
\begin{enumerate}
\item $\overrightarrow{AB} -\overrightarrow{DC} +\overrightarrow{DA} =\overrightarrow{CB}$

\item $2\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OA}$

\item $\overrightarrow{FG}-\overrightarrow{FA}+\overrightarrow{FB}-\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{GB}=\overrightarrow{BF}$

\item $-\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{CA}+3\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}-2\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{BC}$

\end{enumerate}

\subsection{}
Soit I le milieu d’un segment [ AB ] et M un point n’appartenant pas à la droite ( AB ). 
\begin{enumerate}
\item Construire les points C et D tels que $\overrightarrow{IC} = \overrightarrow{IA} +\overrightarrow{IM}$ et$ \overrightarrow{ID} = \overrightarrow{IB} + \overrightarrow{IM}$.

\item Quelle est la nature des quadrilatères AIMC et IBDM ?

\item Démontrer que M est le milieu de [CD].

\item Démontrer que $\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{BM}$.

\item Soit E le symétrique de I par rapport à M.
\begin{enumerate}
\item  Traduire cette propriété par une égalité vectorielle.

\item Démontrer que $\overrightarrow{IC}+\overrightarrow{ID}=\overrightarrow{IE} $.
\end{enumerate}

\end{enumerate}



\end{multicols}
\label{fin}
\end{document} 