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\begin{document}
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\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Exercices (milieu d'un segment et longueur)}}\end{center}



%\begin{multicols}{2}
%\setlength{\columnseprule}{1pt}
%\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{\textcolor{blue}{D'après Brevet Amiens 1974}}
\label{exo1}
Soient, dans le plan rapporté à un repère orthonormé $(O~;~I~;~J) $les points A, B, C et D définis par leurs coordonnées : 
\[A(5~;~0)~;~B(7~;~6)~;~C(1~;~4) \text{et }D(-1~;~-2).\] 

\begin{enumerate}
\item Placer les points A, B, C et D sur une figure. 

\item 
\begin{enumerate}
\item Calculer les coordonnées du milieu  P du segment [AC] et celles du milieu Q du segment [BD].

\noindent Que peut-on dire des points P et Q ? 

\item Que peut-on en déduire pour le quadrilatère ABCD ?

\item Calculer les longueurs AB et BC.

\item Que peut-on alors en déduire pour le quadrilatère ABCD ?
\end{enumerate}

\item Déterminer les coordonnées du point E tel que ACED soit un parallélogramme.

\noindent Placer E sur la figure.

\item Montrer que les points B, C et E sont alignés.

\item Montrer que C est le milieu de [DE].

\item Pourquoi les points B, E et D sont-ils cocycliques, c'est-à-dire appartiennent à un même cercle, dont on précisera le centre et le rayon ?
\end{enumerate}

%\columnbreak
\subsection{\textcolor{blue}{D'après Brevet Lille 1974}}
\label{exo2}
Soient, dans le plan rapporté à un repère $(O~;~I~;~J) $les points A, B, C et D définis par leurs coordonnées : \[A(0~;~5),~B(-3~;~4),~C(3~;~-4)\text{ et }D(6~;~-3).\]

\begin{enumerate}
\item Démontrer que $ABCD$ est un parallélogramme.

\item Montrer que O est le milieu de $[BC]$.

\item $N$ est le milieu du segment $[AD]$. Montrer (sans calculs) que OANC est un parallélogramme ?

\item 
\begin{enumerate}
\item Calculer les longueurs $OA$ et $OC$.

\item Que peut-on en déduire quant à la nature du quadrilatère $OANC$ ?

\item Quelle est la médiatrice du segment $[AC]$ ?
\end{enumerate}

\i
ontrer que le triangle ABC est rectangle en A

\end{enumerate}
%\end{multicols}


%%%%%%%%%%%%%%%%

%\vspace{0.8cm}
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%
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%\subsection{\textcolor{blue}{D'après Brevet Amiens 1974}}
%\label{exo1}
%Soient, dans le plan rapporté à un repère orthonormé $(O~;~I~;~J) $les points A, B, C et D définis par leurs coordonnées : 
%\[A(5~;~0)~;~B(7~;~6)~;~C(1~;~4) \text{et }D(-1~;~-2).\] 
%
%\begin{enumerate}
%\item Placer les points A, B, C et D sur une figure. 
%
%\item 
%\begin{enumerate}
%\item Calculer les coordonnées du milieu  P du segment [AC] et celles du milieu Q du segment [BD].
%
%\noindent Que peut-on dire des points P et Q ? 
%
%\item Que peut-on en déduire pour le quadrilatère ABCD ?
%
%\item Calculer les longueurs AB et BC.
%
%\item Que peut-on alors en déduire pour le quadrilatère ABCD ?
%\end{enumerate}
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%\item Déterminer les coordonnées du point E tel que ACED soit un parallélogramme.
%
%\noindent Placer E sur la figure.
%
%\item Montrer que les points B, C et E sont alignés.
%
%\item Montrer que C est le milieu de [DE].
%
%\item Pourquoi les points B, E et D sont-ils cocycliques, c'est-à-dire appartiennent à un même cercle, dont on précisera le centre et le rayon ?
%\end{enumerate}
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%\subsection{\textcolor{blue}{D'après Brevet Lille 1974}}
%\label{exo2}
%Soient, dans le plan rapporté à un repère $(O~;~I~;~J) $les points A, B, C et D définis par leurs coordonnées : \[A(0~;~5),~B(-3~;~4),~C(3~;~-4)\text{ et }D(6~;~-3).\]
%
%\begin{enumerate}
%\item Démontrer que $ABCD$ est un parallélogramme.
%
%\item Montrer que O est le milieu de $[BC]$.
%
%\item $N$ est le milieu du segment $[AD]$. Montrer (sans calculs) que OANC est un parallélogramme ?
%
%\item 
%\begin{enumerate}
%\item Calculer les longueurs $OA$ et $OC$.
%
%\item Que peut-on en déduire quant à la nature du quadrilatère $OANC$ ?
%
%\item Quelle est la médiatrice du segment $[AC]$ ?
%\end{enumerate}
%
%\i
%ontrer que le triangle ABC est rectangle en A
%
%\end{enumerate}
%\end{multicols}
%%%%%%%%%%%%%%%%%


%\newpage
%\begin{center}
%Figure de l'exercice \ref{exo1}
%\bigskip
%
%\newrgbcolor{zzttqq}{0.6 0.2 0.}
%\psset{unit=0.8,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
%\begin{pspicture*}(-6.,-4.)(8.,11.)
%\pspolygon[linecolor=zzttqq,fillcolor=cyan!40,fillstyle=solid,opacity=0.1](5.,0.)(7.,6.)(1.,4.)(-1.,-2.)
%\pspolygon[linecolor=zzttqq,fillcolor=yellow!40,fillstyle=solid,opacity=0.1](5.,0.)(1.,4.)(-5.,2.)(-1.,-2.)
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%\begin{center}
%Figure de l'exercice \ref{exo2}
%
%\bigskip
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%\end{center}


\label{fin}
\end{document}  