\documentclass[12pt] {article} \usepackage[T1]{fontenc} 
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\textwidth 19cm \textheight 24cm \hoffset 
-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesection}{\textcolor{red}{\Roman{section}}} 

\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{section}.\arabic{subsection}}} 
\pagestyle{fancy}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}
\title{\textcolor{red}{Réunion et intersection d'intervalles}}
\date{}

\begin{document}
\maketitle
\tableofcontents

\section{\textcolor{red}{Symboles d'inégalités}}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Rappel : }}

 $<$ signifie \og{}est strictement inférieur à\fg{}

\bigskip

 $\leqslant $ signifie \og{}est  inférieur \textbf{ou égal} à\fg{}

\end{bclogo}
\bigskip
Exemples : 
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $2<7$ est vrai

\item $7<7$ est faux

\item $2\leqslant 7$ est vrai

\item $7\leqslant 7$ est vrai
\end{enumerate}

\section{\textcolor{red}{Intervalles}}

\subsection{I\textcolor{blue}{ntervalles fermés}}


\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}}
 Soient $a$ et $b$ deux réels.
 
\noindent L'ensemble des réels $x$ tels que $a\leq x\leq b $ est un intervalle, noté $[a~;~b]$. $a$ et $b$ sont les bornes.
\end{bclogo}

\bigskip

On le représente sur la droite réelle de la faÁon suivante : 

\begin{pspicture}(-6,-1)(6,1)
\psline(-4,0)(10,0)
\psline(0.2,0.5)(0,0.5)\psline(0,0.5)(0,-0.5)\psline(0.2,-0.5)(0,-0.5)
\psline(3.8,0.5)(4,0.5)\psline(4,0.5)(4,-0.5)\psline(3.8,-0.5)(4,-0.5)
\uput[dl](0,0){a}\uput[dr](4,0){b}
\psline[linecolor=red,linewidth=3pt](0,0)(4,0)
\end{pspicture}\\\\
Cet ensemble est un intervalle de $\mathbb{R}$. $a$ et $b$ sont ses bornes. Cet intervalle contient ses bornes. On dit qu'il est borné.\\


\subsection{\textcolor{blue}{Intervalles semi-ouverts}}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}}
 Soient $a$ et $b$ deux réels.
 
\noindent L'ensemble des réels $x$ tels que $a< x\leq b $ est un intervalle, noté $]a~;~b]$. $a$ et $b$ sont les bornes.

\bigskip

\noindent L'ensemble des réels $x$ tels que $a\leqslant  x< b $ est un intervalle, noté $[a~;~b[$. $a$ et $b$ sont les bornes.
\end{bclogo}

\begin{pspicture}(-6,-1)(6,1)
\psline(-4,0)(10,0)
\psline(-0.2,0.5)(0,0.5)\psline(0,0.5)(0,-0.5)\psline(-0.2,-0.5)(0,-0.5)
\psline(3.8,0.5)(4,0.5)\psline(4,0.5)(4,-0.5)\psline(3.8,-0.5)(4,-0.5)
\uput[dl](0,0){a}\uput[dr](4,0){b}
\psline[linecolor=red,linewidth=3pt](0,0)(4,0)
\end{pspicture}

\bigskip
\begin{pspicture}(-6,-1)(6,1)
\psline(-4,0)(10,0)
\psline(0.2,0.5)(0,0.5)\psline(0,0.5)(0,-0.5)\psline(0.2,-0.5)(0,-0.5)
\psline(4.2,0.5)(4.2,0.5)\psline(4,0.5)(4,-0.5)\psline(4.2,-0.5)(4.2,-0.5)
\uput[dl](0,0){a}\uput[dr](4,0){b}
\psline[linecolor=red,linewidth=3pt](0,0)(4,0)
\end{pspicture}


\subsection{\textcolor{blue}{Intervalles ouverts}}

\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}}
 Soient $a$ et $b$ deux réels.
 
\noindent L'ensemble des réels $x$ tels que $a< x< b $ est un intervalle, noté $]a~;~b[$. $a$ et $b$ sont les bornes.
\end{bclogo}

\begin{pspicture}(-6,-1)(6,1)
\psline(-4,0)(10,0)
\psline(-0.2,0.5)(0,0.5)\psline(0,0.5)(0,-0.5)\psline(-0.2,-0.5)(0,-0.5)
\psline(4.2,0.5)(4.2,0.5)\psline(4,0.5)(4,-0.5)\psline(4.2,-0.5)(4.2,-0.5)
\uput[dl](0,0){a}\uput[dr](4,0){b}
\psline[linecolor=red,linewidth=3pt](0,0)(4,0)
\end{pspicture}


\section{\textcolor{red}{Intervalles infinis}}

\subsection{\textcolor{blue}{Intervalle illimité à droite}}

\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}}

\noindent L'ensemble des réels $x$ tels que $a<  x$ est un intervalle, noté $]a~;~+\infty[$.

\noindent L'ensemble des réels $x$ tels que $a\leqslant   x$ est un intervalle, noté $[a~;~+\infty[$.
\end{bclogo}
\begin{pspicture}(-6,-1)(6,1)
\psline(-4,0)(10,0)
\psline(-0.2,0.5)(0,0.5)\psline(0,0.5)(0,-0.5)\psline(-0.2,-0.5)(0,-0.5)
%\psline(4.2,0.5)(4.2,0.5)\psline(4,0.5)(4,-0.5)\psline(4.2,-0.5)(4.2,-0.5)
\uput[dl](0,0){a}
\psline[linecolor=red,linewidth=3pt](0,0)(10,0)
\end{pspicture}\

\bigskip

\textbf{\textcolor{red}{Remarque}} : Le symbole $\infty$ , qui se lit \og{} infini \fg{} a été inventé par le mathématicien John Wallis (1616-1703). \textbf{Ce n'est pas un nombre réel}.


\subsection{\textcolor{blue}{Intervalles illimités à droite}}

\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}}

\noindent L'ensemble des réels $x$ tels que $a<  x$ est un intervalle, noté $]a~;~+\infty[$.

\noindent L'ensemble des réels $x$ tels que $a\leqslant   x$ est un intervalle, noté $[a~;~+\infty[$.
\end{bclogo}
\begin{pspicture}(-6,-1)(11,1)
\psline(-4,0)(10,0)
\psline(-0.2,0.5)(0,0.5)\psline(0,0.5)(0,-0.5)\psline(-0.2,-0.5)(0,-0.5)
%\psline(4.2,0.5)(4.2,0.5)\psline(4,0.5)(4,-0.5)\psline(4.2,-0.5)(4.2,-0.5)
\uput[dl](0,0){a}
\psline[linecolor=red,linewidth=3pt](0,0)(10,0)
\end{pspicture}\



\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}}
\noindent L'ensemble des réels $x$ tels que $x< a$ est un intervalle, noté $]-\infty~;~a[$.

\noindent L'ensemble des réels $x$ tels que $x\leqslant  a$ est un intervalle, noté $[-\infty~;~+a]$.
\end{bclogo}

\begin{pspicture}(-11,-1)(6,1)
\psline(-10,0)(6,0)
%\psline(-0.2,0.5)(0,0.5)\psline(0,0.5)(0,-0.5)\psline(-0.2,-0.5)(0,-0.5)
\psline(4.2,0.5)(4.2,0.5)\psline(4,0.5)(4,-0.5)\psline(4.2,-0.5)(4.2,-0.5)
\uput[dl](4,0){a}
\psline[linecolor=red,linewidth=3pt](-10,0)(4,0)
\end{pspicture}

\bigskip

\textbf{\textcolor{red}{Remarques :}}
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Le crochet est fermé, tourné vers l'intérieur, si l'on garde le nombre et ouvert, vers l'extérieur, so l'on rejette le nombre.

\item  $\infty$ n'est pas un nombre, donc le crocher du côté de l'infini est toujours tourné vers l'extérieur.

\end{enumerate}

\section{\textcolor{red}{Réunion et intersection de deux intervalles}}

\begin{bclogo}[couleur = cyan!20, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}}
Soient $I$et $J$ deux intervalles.
\begin{enumerate}
\item L'ensemble des réels qui appartiennent à la fois à $I$ et à $J$ est appelé l'intersection de $I$ et $J$. Cet ensemble est noté $I\cap J$.
\item L'ensemble des réels qui appartiennent à $I$ ou à $J$ est appelé la réunion de $I$ et $J$. Cet ensemble est noté $I\cup J$.
\end{enumerate}
\end{bclogo}

\textbf{\textcolor{red}{Exemples :}}\\

$[4~;~5]\cap [2~;~3]=\emptyset$\\

$[2~;~5]\cap [2~;~3]=[2~;~3]$\\

$[4~;~7]\cap[6~;~8]=[6~;~7 ]$\\

$[4~;~7]\cup[6~;~8]=[4~;~8 ]$


\section{\textcolor{red}{Exercices sur Internet}}

\textbf{\textcolor{blue}{Des exercices sont disponibles sur le site Euler de l'académie de Versailles : voir ci-dessous :}}


\begin{enumerate}
\item Indiquer si la réunion de deux intervalles est un intervalle ou non et le préciser le cas échéant :
cliquer \href{http://euler.ac-versailles.fr/webMathematica/pi/intervalles/intervalles6.jsp}{ici}

\item Caractériser un intervalle par des inégalités :
cliquer \href{http://euler.ac-versailles.fr/webMathematica/pi/intervalles/intervalles1.jsp}{ici}

\item Écrire l'intervalle ensemble des solutions d'une inéquation ou d'un système d'inéquations du premier degré à une inconnue :
cliquer \href{http://euler.ac-versailles.fr/webMathematica/pi/intervalles/intervalles2.jsp}{ici}

\item Détermination de la réunion et de l'intersection de deux intervalles :
cliquer \href{http://euler.ac-versailles.fr/webMathematica/pi/intervalles/latex/intervalles3.jsp}{ici}

\item Caractérisation d'un intervalle par des inégalités :
cliquer \href{http://euler.ac-versailles.fr/webMathematica/pi/intervalles/latex/intervalles1.jsp}{ici}

\item Écriture de l'intervalle ensemble des solutions d'une inéquation ou d'un système d'inéquations du premier degré à une inconnue :
cliquer \href{http://euler.ac-versailles.fr/webMathematica/pi/intervalles/latex/intervalles2.jsp}{ici}

\item Représentation graphique de la réunion et de l'intersection de deux intervalles :
cliquer \href{http://euler.ac-versailles.fr/webMathematica/pi/intervalles/intervalles5.jsp}{ici}

\item Caractériser des inégalités par un intervalle ou une réunion d'intervalles :
cliquer \href{http://euler.ac-versailles.fr/webMathematica/pi/intervalles/intervalles3.jsp}{ici}

\item Rechercher les intervalles dont l'intersection est un intervalle non vide :
cliquer \href{http://euler.ac-versailles.fr/webMathematica/pi/intervalles/intervalles8.jsp}{ici}

\item Rechercher les intervalles dont la réunion est un intervalle :
cliquer \href{http://euler.ac-versailles.fr/webMathematica/pi/intervalles/intervalles9.jsp}{ici}

\item Indiquer si un intervalle est inclus ou non dans un autre :
cliquer \href{http://euler.ac-versailles.fr/webMathematica/pi/intervalles/intervalles11.jsp}{ici}

\end{enumerate}





\label{fin}
\end{document}  