\documentclass[11pt] {article} \usepackage[T1]{fontenc} 
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-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{fancy}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents


\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Corrigé du contrôle commun \no 1 de mathématiques}}\end{center}



\subsection{\textcolor{blue}{Vrai ou Faux}}
\label{Vrai-Faux}
Pour chacune des propositions ci-dessous, indiquer si elle est vraie ou fausse en justifiant. Toute réponse non justifiée ne sera pas prise en compte.
\begin{enumerate}
\item Si un quadrilatère a ses diagonales perpendiculaires, alors c'est un losange.

\textbf{\textcolor{red}{FAUX}}  : il faudrait de plus qu'elles aient le même milieu. \marginpar{(1,5 pt)}

\newrgbcolor{zzttqq}{0.6 0.2 0.}
\newrgbcolor{qqwuqq}{0. 0.39215686274509803 0.}
\psset{unit=0.5,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=5pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-1.,-2.)(5.,2.)
\pspolygon[linecolor=zzttqq,fillcolor=blue!30,fillstyle=solid,opacity=0.1](0.,0.)(1.,1.)(4.,0.)(1.,-1.)
\pspolygon[linecolor=qqwuqq,fillcolor=black,fillstyle=solid,opacity=0.1](1.4242640687119286,0.)(1.4242640687119286,0.4242640687119286)(1.,0.4242640687119286)(1.,0.)
\psline[linecolor=zzttqq](0.,0.)(1.,1.)
\psline[linecolor=zzttqq](1.,1.)(4.,0.)
\psline[linecolor=zzttqq](4.,0.)(1.,-1.)
\psline[linecolor=zzttqq](1.,-1.)(0.,0.)
\psline(0.,0.)(4.,0.)
\psline(1.,1.)(1.,-1.)

\end{pspicture*}
\bigskip

\item Si un point est à égale distance des extrémités d'un segment, alors ce point est le milieu du segment.

\textbf{\textcolor{red}{FAUX}} : il appartient  la médiatrice de ce segment ; par exemple, le sommet principal d'un triangle isocèle. \marginpar{(1,5 pt)}

\bigskip

\item Le point $A(2;-4)$ appartient au cercle de centre $I(1;0)$ et de rayon $\sqrt{17}$.

\textbf{\textcolor{red}{VRAI}} : $AI=\sqrt{\left[x_I-x_A\right)^2+\left(y_I-y_A\right)^2}=\sqrt{(1-2)^2+(0-(-4))^2}=\sqrt{1+16}=\boxed{\textcolor{red}{\sqrt{17}}}$ \marginpar{(1,5 pt)}

\bigskip

\item Le point $B\left(-1;\frac13\right)$ appartient à la courbe représentative de la fonction $f$ définie par $f(x)=\frac1{2x+5}$.

\textbf{\textcolor{red}{VRAI}} : $f\left(x_B\right)=f(-1)=\dfrac{1}{2\times (-1)+5}=\dfrac{1}{3}=y_B$.\marginpar{(1,5 pt)}

\bigskip

\item Si $g(-1)=0$, alors $g$ est définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x)=x^2+x$.

\textbf{\textcolor{red}{FAUX}} : L'image d'un seul nombre ne suffit pas à caractériser une fonction : par exemple, la fonction $f$ définie par $f(x)=x+1$ vérifie aussi $f(-1)=0$.\marginpar{(1,5 pt)}
\end{enumerate}


\subsection{}
\label{algorithme}
\fbox{\begin{tabular}{*{3}{l}}
1&:&Entrées : $x$\\
2&:&Sorties : $y$\\
3&:&$b\leftarrow x+3$\\
4&:&$c\leftarrow -4x^2$\\
5&:&$y\leftarrow 2b+c$\\
\end{tabular}}


\begin{enumerate}
\item %Si l'entrée est 2, quelle est la sortie de cet algorithme ? Justifier.
Si l'entrée est 2, on a successivement $x=2$, $b=2+3=5$, $c=-4x^2=-4\times 2^2=-4\times 4=-16$ et \\
$y=2b+c=2\times 5+(-16)=\boxed{\textcolor{red}{-6}}$.\marginpar{(1,5 pt)}
			
\item %Quelle est la fonction calculée par l'algorithme précédent ? Justifier.
Pour une entrée égale à $x$, on obtient $b=x+3$, $c=-4x^2$ et $y=2b+c=2(x+3)-4x^2$ donc $\boxed{\textcolor{red}{f(x)=-4x^2+2x+6}}$.\marginpar{(2 pt)}
\end{enumerate}




\subsection{}
\label{quadrilatère}
Dans un repère orthonormé $(O~;~I~;~J)$, on considère les points :

\[A(3~;~1) \ \ ; \ \ B(9~;~-1) \ \ ; \ \ C(8~;~6) \ \ \text{et} \ \ D\left(4~;~-6\right)\]

\begin{enumerate}
\item %Faire une figure.
Figure  à la fin : \marginpar{(1 pt)}


\item On cherche dans cette question à déterminer la nature exacte du quadrilatère $ACBD$.
\begin{enumerate}[$a.$]

\item %Démontrer que $ACBD$ est un parallélogramme. 
Soit $M$ le milieu de $[AB]$. On a : $x_M=\dfrac{x_A+x_B}{2}=\dfrac{3+9}{2}=6$ et $ y_M=\dfrac{ y_A+ y_B}{2}=\dfrac{1+(-1)}{2}=0$ donc $\boxed{\textcolor{red}{M(6~;~0)}}$.

Soit $M'$ le milieu de $[CD]$. On a : $x_M=\dfrac{x_ C+x_ D}{2}=\dfrac{8+4}{2}=6$ et $ y_M=\dfrac{ y_ C+ y_ D}{2}=\dfrac{6+(-6)}{2}=0$ donc $\boxed{\textcolor{red}{M'(6~;~0)}}$.

$M$ et $M'$ ont les mêmes coordonnées, donc $M=M'$. Les diagonales du quadrilatère $ACBD$ nt le même milieu : c'est un \textbf{\textcolor{red}{parallélogramme}}.\marginpar{(2 pt)}


\item %Déterminer la nature exacte du triangle $ABC$.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $AB=\sqrt{\left(x_B-x_A\right)^2+\left(y_B-y_A\right)^2}=\sqrt{(9-3)^2+(-1-(-1))^2}=\boxed{\textcolor{red}{\sqrt{40}}}$

\item $AC=\sqrt{\left(x_C-x_A\right)^2+\left(y_C-y_A\right)^2}=\sqrt{(8-3)^2+(6-1)^2}=\boxed{\textcolor{red}{\sqrt{50}}}$

\item $BC=\sqrt{\left(x_C-x_B\right)^2+\left(y_C-y_B\right)^2}=\sqrt{(8-9)^2+(6-(-1))^2}=\boxed{\textcolor{red}{\sqrt{50}}}$
\end{enumerate}
Le triangle $ABC$ est isocèle en $C$.\marginpar{(2 pt)}

\item %En déduire la nature exacte du quadrilatère $ACBD$.
On en déduit que les quatre côtés du quadrilatère $ACBD$ ont les mêmes longueurs, donc $ACBD$ un \textbf{\textcolor{red}{losange}}.\marginpar{(1 pt)}
\end{enumerate}

\item %Soit $E$ le symétrique de $D$ par rapport à $B$. Calculer les coordonnées du point $E$.
$E$ est le symétrique de $D$ par rapport à $B$ équivaut à $B$ milieu de $[DE]$.

On en déduit que : 

$x_B=\dfrac{x_D+x_E}{2}$ donc $9=\dfrac{4+x_E}{2}$ d'où $18=4+x_E$ donc $x_E=18-4=14$.

$y_B=\dfrac{y_D+y_E}{2}$ donc $-1=\dfrac{-6+y_E}{2}$ d'où $-2=-6+y_E$ donc $y_E=-2+6=4$.

On en déduit que les coordonnées de $E$ sont $\boxed{\textcolor{red}{E(14~;~4)}}$\marginpar{(2 pt)}


\item %Le point $F\left(15 \ ; \ \frac{7}{2}\right)$ appartient-il à la médiatrice du segment $[BC]$ ?
$CF=\sqrt{\left(x_F-x_C\right)^2+\left(y_F-y_C\right)^2}=\sqrt{\left(15-8\right)^2+\left(\dfrac{7}{2}-6\right)^2}=\sqrt{7^2+\left(-\dfrac{5}{2}\right)^2}=\sqrt{49+\dfrac{25}{4}}=\sqrt{\dfrac{221}{4}}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{\sqrt{221}}{2}}}$.

$BF=\sqrt{\left(x_F-x_B\right)^2+\left(y_F-y_B\right)^2}=\sqrt{\left(15-9\right)^2+\left(\dfrac{7}{2}-(-1)\right)^2}=\sqrt{6^2+\left(\dfrac{9}{2}\right)^2}=\sqrt{36+\dfrac{81}{4}}=\sqrt{\dfrac{225}{4}}=\dfrac{\sqrt{225}}{2}\\
=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{15}{2}}}$.

$CF\neq BF$ donc $F$ n'appartient pas à la médiatrice de $[BC]$.\marginpar{(2 pt)}

\end{enumerate}

\begin{center}
\newrgbcolor{zzttqq}{0.6 0.2 0.}
\psset{xunit=0.5cm,yunit=0.5cm,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=5pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-1.,-7.)(17.,7.)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1.,Dy=1.,ticksize=-2pt 0,subticks=2,linewidth=2pt]{->}(0,0)(-1.,-7.)(17.,7.)
\uput[ul](0,0){O}
\pspolygon(3.,1.)(8.,6.)(9.,-1.)(4.,-6.)
\psline[linecolor=zzttqq](3.,1.)(8.,6.)
\psline[linecolor=zzttqq](8.,6.)(9.,-1.)
\psline[linecolor=zzttqq](9.,-1.)(4.,-6.)
\psline[linecolor=zzttqq](4.,-6.)(3.,1.)
\psline(3.,1.)(9.,-1.)
\psline(8.,6.)(4.,-6.)
\psdots[dotstyle=x,dotscale=2,linecolor=blue](3.,1.)
\rput[bl](3.108168759960031,1.2744083839775269){\blue{$A$}}
\psdots[dotstyle=x,dotscale=2,linecolor=blue](9.,-1.)
\rput[bl](9.121644231963925,-0.7300834400237699){\blue{$B$}}
\psdots[dotstyle=x,dotscale=2,linecolor=blue](8.,6.)
\rput[bl](8.119398319963276,6.285637943980769){\blue{$C$}}
\psdots[dotstyle=x,dotscale=2,linecolor=blue](4.,-6.)
\rput[bl](4.1104146719606796,-5.7134728358047715){\blue{$D$}}
\psgrid[subgriddiv=1](-1.,-7.)(17.,7.)
\psdots[dotstyle=x,dotscale=2,linecolor=blue](14,4)(15,3.5)
\uput[d](14,4){E}
\uput[d](15,3.5){F}
\end{pspicture*}
\end{center}

\subsection{}
\label{lecture_graphique_courbe}
	Une entreprise fabrique chaque jour des tablettes numériques, au maximum 60 tablettes et on admet qu'elle vend
toute sa production.

On a représenté graphiquement les fonctions $C$ (coût total) et $R$ (recette) sur $[0;60]$.

Le coût total et la recette sont exprimés en euros.

On rappelle que le bénéfice se calcule en retranchant à la recette les coûts de production.

\begin{center}

\psset{xunit=0.2cm,yunit=0.001cm,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=5pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-5.,-500.)(60.,7600.)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=5.,Dy=500.,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-5.,-200.)(60.,7600.)
\psplot[linewidth=1.2pt,plotpoints=200]{0}{60.0}{120.0*x}
\psplot[linewidth=1.2pt,linecolor=red,plotpoints=200]{0}{60.0}{2.0*x^(2.0)+10.0*x+900.0}
\multido{\n=0+5}{12}{\psline[linewidth=.8pt](\n,0)(\n,7500)}
\multido{\n=0+250}{30}{\psline[linewidth=.8pt](0,\n)(65,\n)}
%\begin{scriptsize}
%\rput[bl](-11.968310450302566,-1674.1830967080946){$f$}
%\rput[bl](-11.968310450302566,786.5535044602134){\wwwwww{$g$}}
%\end{scriptsize}
\psline[linestyle=dashed,linewidth=2pt,linecolor=blue](15,0)(15,1800)
\psline[linestyle=dashed,linewidth=2pt,linecolor=blue](15,1800)(0,1800)
\psline[linestyle=dashed,linewidth=2pt,linecolor=blue](15,1500)(0,1500)
\psline[linestyle=dashed,linewidth=2pt,linecolor=blue](0,3000)(60,3000)
\psline[linestyle=dashed,linewidth=2pt,linecolor=red](0,6000)(60,6000)
\uput[d](40,4500){$C$}
\uput[u](35,4250){$R$}
\end{pspicture*}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item

\begin{enumerate}

\item %Déterminer graphiquement $C(15)$ et $R(15)$.
On lit graphiquement (voir les lignes pointillées sur le graphique) :
$\boxed{\textcolor{red}{R(15)\approx \numprint{1800}}}$ et $\boxed{\textcolor{red}{C(15)\approx \numprint{1500}}}$.\marginpar{(1 pt)}


\item %Interpréter concrètement ces résultats.
La vente de 15 tablettes rapporte \numprint{1800} \euro{} et le coût total correspondant  à 15 tablettes est de \numprint{1500}  \euro{}\marginpar{(0,5 pt)}

\item %En déduire une estimation du bénéfice réalisé par l'entreprise pour la production de 15 tablettes.
Le bénéfice pour la production de 15 tablettes est donc d'environ 300 \euro.	\marginpar{(0,5 pt)}
\end{enumerate}
	
\item 
\begin{enumerate}

\item %Résoudre graphiquement l'équation $C(x)=3000$.
Les solutions de l'équation $C(x)=\numprint{3000}$ sont les abscisses des points de la courbe correspondant à la fonction $C$ et ayant une ordonnée égale à \nombre{3000}.

On trouve $\boxed{\textcolor{red}{x\approx 30}}$\marginpar{(1 pt)}

\item %Interpréter concrètement ce résultat.
La production de 30 tablettes coûte \numprint{3000} tablettes.\marginpar{(0,5 pt)}
\end{enumerate}

\item
\begin{enumerate}
\item %Résoudre graphiquement l'inéquation $R(x)\leq 6000$.
Les solutions de l'inéquation $R(x)\leqslant \numprint{6000}$ sont les abscisses des points de la courbe représentative de $R$ et ayant une ordonnées inférieure ou égale à \numprint{6000}.

$\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=[0~;~50]}}$\marginpar{(1 pt)}

\item %Interpréter concrètement ce résultat.
Si l'entreprise fabrique moins de 50 tablettes, sa recette est inférieure ou égale à \numprint{6000} \euro.\marginpar{(0,5 pt)}

\end{enumerate}

\item

\begin{enumerate}

\item %Résoudre graphiquement l'équation $R(x)=C(x)$.
On regarde les abscisses des points d'intersection des deux courbes : l'ensemble des solutions est $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{D}=\{10~;~45\}}}$\marginpar{(1 pt)}

\item %Interpréter concrètement ce résultat.
Si l'entreprise fabrique 10 ou 45 tablettes, son bénéfice est nul.\marginpar{(0,5 pt)}
\end{enumerate}

\item %L'entreprise ne souhaite pas réaliser de pertes. Une étude est alors réalisée pour déterminer les quantités de tablettes à produire qui provoqueraient un bénéfice strictement négatif.
		
\begin{enumerate}

\item %Quelle inéquation cet agent doit-il résoudre ?
L'inéquation à résoudre est : $R(x)\leqslant C(x)$. \marginpar{(1 pt)}

\item %Résoudre cette inéquation.
Le bénéfice serait négatif pour $\boxed{\textcolor{red}{0\leqslant x\leqslant 10\text{ ou }45\leqslant x\leqslant 60}}$ donc $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=[0~;~10]\cup[45~;~60]}}$.\marginpar{(1 pt)}

\end{enumerate}
\end{enumerate}


\subsection{}
\label{antecedents-images}
Soient $f$ et $g$ les deux fonctions définies sur $\mathbb{R}$ par:
\begin{eqnarray*}
f(x)&=&-3x^2+7\\
g(x)&=&\frac{3}{7}x+6
\end{eqnarray*}

\begin{enumerate}
\item %Calculer les images de $3$, de $-1$ et de $7$ par la fonction $f$.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $f(3)=-3\times 3^2+7=-27+7=\boxed{\textcolor{red}{-20}}$

\item $f(-1)=-3\times (-1)^2+7=-3+7=\boxed{\textcolor{red}{4}}$

\item $f(7)=-3\times 7^2+7=-3\times 49+7=\boxed{\textcolor{red}{-140}}$.\marginpar{(1,5 pt)}
\end{enumerate}

\item %Calculer les valeurs exactes de $g(0)$, $g(7)$ et $g(-1)$.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $g(0)=\boxed{\textcolor{red}{6}}$

\item $g(7)=\dfrac{3}{7}\times 7+6=3+6=\boxed{\textcolor{red}{9}}$

\item $g(-1)=\dfrac{3}{7}\times (1)+6=-\dfrac{3}{7}+\dfrac{42}{7}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{39}{7}}}$\marginpar{(1,5 pt)}

\end{enumerate}

\item %Déterminer, s'ils existent et en justifiant le résultat, les éventuels antécédents de $7$, de $8$ et de $16$ par la fonction $f$.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item On résout l'équation $f(x)=7$ donc $-3x^2+7=7$ qui donne $-3x^2=0$ puis $x^2=0$ donc $x=0$ : $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\{0\}}}$.

\item On résout l'équation $f(x)=8$ donc $-3x^2+7=8$ qui donne $-3x^2=1$ qui est impossible puisque $-3x^2\leqslant 0$ et 1>0.

$\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\emptyset}}$.

\item On résout l'équation $f(x)=16$ donc $-3x^2+7=16$ qui donne $-3x^2=9$.

$\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\emptyset}}$. (même raison)\marginpar{(2 pt)}
\end{enumerate}

\item %Déterminer, s'ils existent et en justifiant le résultat, les éventuels antécédents de $0$, de $1$ et de $-2$ par la fonction $g$.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item On résout $g(x)=0$ qui donne $\dfrac{3}{7}x+6=0$ donc $\dfrac{3}{7}x=-6$ puis $3x=-6\times 7$ qui donne $x=-\dfrac{6\times 7}{3}=-14$ ; $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\{-14\}}}$

\item On résout $g(x)=1$ qui donne $\dfrac{3}{7}x+6=1$ donc $\dfrac{3}{7}x=-5$ puis $x=-\dfrac{35}{3}$ ; $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\left\{-\dfrac{35}{3}\right\}}}$

\item On résout $g(x)=-2$ qui donne $\dfrac{3}{7}x+6=-2$ donc $\dfrac{3}{7}x=-8$ puis $3x=-8\times 7$ qui donne $x=-\dfrac{8\times 7}{3}=-\dfrac{56}{3}$ ; $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\left\{-\dfrac{56}{3}\right\}}}$.\marginpar{(3 pt)}


\end{enumerate}
\item %Peut-on affimer que pour tout réel $x$ négatif ou nul, $f(x)\leq g(x)$? Justifier.
On a $f(0)=7$ et $g(0)=6$ donc $f(0)>g(0)$.

Il exsite une valeur de $x$ pour laquelle $f(x)>g(x)$ donc l'affirmation est \textbf{\textcolor{red}{fausse}}.

\item %Résoudre l'inéquation $g(x)\geq 8$. Proposer alors un intervalle de réels $I$ tel que pour tout réel $x$ appartenant à $I$, $f(x)\leq g(x)$. 
$g(x)\geqslant 8$ donc $\dfrac{3}{7}x+6\geqslant 8$ donc $\dfrac{3}{7}x\geqslant 2$ d'où $3x\geqslant 14$ qui donne $\boxed{\textcolor{red}{x\geqslant \dfrac{14}{3}}}$ \marginpar{(1 pt)}

\bigskip

Pour tout $x$ $x^2\geqslant 0$ donc $3x^2\geqslant 0$ d'où $-3x^2\leqslant 0$ et $f(x)=-3x^2+7\leqslant 7$.

Pour $x\geqslant \dfrac{14}{3}$, on a $f(x)\leqslant 7$ et $g(x)\geqslant 8$ donc $f(x)\leqslant g(x)$.

Un intervalle possible pour que $f(x)\leqslant g(x)$ est $\boxed{\textcolor{red}{\left[\dfrac{14}{3}~;~=\infty\right[}}$\marginpar{(1 pt)}
\end{enumerate}




\subsection*{Exercice bonus}
\label{bonus}
	\begin{enumerate}
		\item Pour chacune de ces deux figures, exprimer l'aire de la surface coloriée en fonction de $x$.



%\begin{multicols}{2}
%\setlength{\columnseprule}{1pt}
%\setlength{\columnsep}{2 cm}
\parbox{8cm}{
\psset{unit=0.7,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=5pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-2,-1)(5,7)
\pspolygon[fillcolor=blue!40,fillstyle=solid,opacity=0.1](0.,0.)(4.,0.)(4.,4.)(0.,4.)
\psline(0.,0.)(4.,0.)
\psline(4.,0.)(4.,4.)
\psline(4.,4.)(0.,4.)
\psline(0.,4.)(0.,0.)
\pscustom[fillcolor=white,fillstyle=solid,opacity=0.1]{\parametricplot{3.141592653589793}{4.71238898038469}{1.*2.*cos(t)+0.*2.*sin(t)+4.|0.*2.*cos(t)+1.*2.*sin(t)+4.}\lineto(4.,4.)\closepath}
\pscustom[fillcolor=white,fillstyle=solid,opacity=0.1]{\parametricplot{-1.5707963267948966}{0.0}{1.*2.*cos(t)+0.*2.*sin(t)+0.|0.*2.*cos(t)+1.*2.*sin(t)+4.}\lineto(0.,4.)\closepath}
\pscustom[fillcolor=white,fillstyle=solid,opacity=0.1]{\parametricplot{0.0}{1.5707963267948966}{1.*2.*cos(t)+0.*2.*sin(t)+0.|0.*2.*cos(t)+1.*2.*sin(t)+0.}\lineto(0.,0.)\closepath}
\pscustom[fillcolor=white,fillstyle=solid,opacity=0.1]{\parametricplot{1.5707963267948966}{3.141592653589793}{1.*2.*cos(t)+0.*2.*sin(t)+4.|0.*2.*cos(t)+1.*2.*sin(t)+0.}\lineto(4.,0.)\closepath}
\psline{<->}(0,5)(4,5)\uput[u](2,5){$x$}
\psline{<->}(-1,0)(-1,4)\uput[l](-1,2){$x$}
\psframe(0,0)(0.5,0.5)\psframe(3.5,0)(4,0.5)\psframe(3.5,3.5)(4,4)\psframe(0.5,3.5)(0,4)
\end{pspicture*}}\hfill
\parbox{8cm}{
\psset{unit=0.7,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=5pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-2,-1)(10,7)
\pspolygon(0.,0.)(4.,0.)(4.,4.)(0.,4.)
\psline(0.,0.)(4.,0.)
\psline(4.,0.)(4.,4.)
\psline(4.,4.)(0.,4.)
\psline(0.,4.)(0.,0.)
\pscustom[fillcolor=blue!40,fillstyle=solid,opacity=0.1]{\parametricplot{-1.5707963267948966}{1.5707963267948966}{1.*2.*cos(t)+0.*2.*sin(t)+4.|0.*2.*cos(t)+1.*2.*sin(t)+2.}\lineto(4.,2.)\closepath}
\pscustom[fillcolor=blue!40,fillstyle=solid,opacity=0.1]{\parametricplot{0.0}{3.141592653589793}{1.*2.*cos(t)+0.*2.*sin(t)+2.|0.*2.*cos(t)+1.*2.*sin(t)+4.}\lineto(2.,4.)\closepath}
\psline{<->}(0,5)(4,5)\uput[u](2,5){$x$}
\psline{<->}(-1,0)(-1,4)\uput[l](-1,2){$x$}
\psframe(0,0)(0.5,0.5)\psframe(3.5,0)(4,0.5)\psframe(3.5,3.5)(4,4)\psframe(0.5,3.5)(0,4)
\end{pspicture*}}

\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Pour la première figure, l'aire de la surface coloriée est égale à celle du carré, moins la somme des aires des quatre quarts de disque, chacun de rayon $\dfrac{x}{2}$, ui équivaut à celle d'un seul disque de rayon $\dfrac{x}{2}$, d'aire $\pi x^2$

Cette aire vaut donc $\mathscr{A}_1=\boxed{\textcolor{red}{x^2-\pi x^2}}$.

\item Pour la deuxième figure , nous avons la somme des aires de deux demi-disques de rayon $\dfrac{x}{2}$ qui équivaut à celle d'un disque de rayon $\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{x}{2}}}$.

$\mathscr{A}_2=\pi x^2$
\end{enumerate}


%\end{multicols}

\item %Calculer la somme de ces aires en fonction du réel $x$.
$\mathscr{A}_1+\mathscr{A}_2=x^2-\pi x^2+\pi x^2=\boxed{\textcolor{red}{x^2}}$ qui est \textbf{\textcolor{red}{l'aire du carré}}.
\end{enumerate}


\label{fin}
\end{document} 