\documentclass[12pt] {article} \usepackage[T1]{fontenc} 
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{amsmath,amssymb,graphicx,multicol,mathrsfs, fancyhdr,enumerate,fourier,eurosym,alterqcm,enumerate,tabularx,variations,numprint}
\usepackage[dvips]{color}
\usepackage{bclogo}
\usepackage{pst-plot,pst-tree,pstricks,pst-node,pstricks-add,pst-math,pst-xkey,pst-eucl,tikz}
\usepackage[francais]{babel} 
\everymath{\displaystyle}
\textwidth 17cm \textheight 26cm \hoffset 
-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{fancy}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}
%\rfoot{\small{Lycée Maurice Genevoix \\Année 2016-2017}}
%\lfoot{02 février 2017}

\begin{document}
%
%\begin{tabular}{p{13cm}lr}
%(en \textbf{caractères majuscules d'imprimerie}) &\hfill jeudi 2 février 2017\\
%NOM :&\\
%PRÉNOM : &\\
%CLASSE : 2\up{nde} \no \dots&
%\end{tabular}
%
%\vspace{4cm}
%\fbox{\begin{minipage}{16cm}
%\begin{center}
%\huge Devoir commun de mathématiques \no 2 \\
%2\up{nde}
%
%\end{center}\end{minipage}}\\
%
%\vspace{4cm}
%\noindent Les exercices sont indépendants et peuvent être traités dans l'ordre voulu. \\
%
%\noindent L'usage de la calculatrice est autorisé, mais le prêt de calculatrice est interdit. \\
%
%\noindent La clarté des raisonnements et la qualité de la rédaction interviendront pour une part importante dans l'appréciation de la copie. Tout résultat devra être soigneusement justifié. \\
%
%\noindent \textbf{Les élèves d'UPE2A sont autorisés à utiliser un dictionnaire}.
%
%\vspace{1.5cm}
%\noindent \textbf{Partie réservée à la correction :}\\ 
%%\textbf{\textcolor{red}{à compléter}}\\
%
%\noindent Exercice \ref{QCM} sur 7 points : \\
%
%\noindent Exercice \ref{algorithme} sur 3 points : \\
%
%\noindent Exercice \ref{statistiques} sur 11,5 points : \\
%
%\noindent Exercice \ref{droites} sur 10 points : \\
%
%\noindent Exercice \ref{fonctionssaffines} sur 8,5 points : \\
%
%%
%%\newpage
%

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Correction  du contrôle commun \no 2 de mathématiques}}\end{center}





\subsection{\hfill \textcolor{blue}{7 points}}
\label{QCM}
Pour chacune des propositions ci-dessous, indiquer si elle est vraie ou fausse en justifiant. Toute réponse non justifiée ne sera pas prise en compte.

\begin{enumerate}

\item Si une fonction $f$ quelconque définie sur $\mathbb{R}$ vérifie $f(0)<f(1)$, alors $f$ est une fonction croissante sur $\mathbb{R}$.

\textbf{\textcolor{red}{FAUX}} : on peut avoir une fonction définie sur $\mathbb{R}$ avec $f(0)=1$ et $f(1)=2$ avec $f$ non croisante sur $\mathbb{R}$. Par exemple, une fonction dont le tableau de variation est :
\begin{center}
\begin{variations}
x&\mI&&0&&1&&\pI\\
\hline
\m{f(x)}&&\d&1&\c&\h{2}&\d&\\
\hline
\end{variations}
\end{center}\marginpar{\textcolor{blue}{1 pt}}

\item Si la moyenne de quatre notes est égale à $5$ alors la moitié de ces notes est inférieure ou égale à $5$.

\textbf{\textcolor{red}{FAUX}} : la moyenne n'est pas toujours égale à la moyenne.

Exemple : on considère la série 2~;~6~;~6~;~6.
La moyenne est 5, car $\dfrac{2+6+6+6}{4}=5$, mais la médiane est 6 (moyenne entre la deuxième et la troisième valeur), donc la moitié de ces valeurs n'est pas inférieure ou égale à 5.\marginpar{\textcolor{blue}{1 pt}}

\item Pour tout réel $x$, la fonction définie par $f(x)=5x+4$ est positive.

\textbf{\textcolor{red}{FAUX}} : exemle : $f(-2)=-6<0$\marginpar{\textcolor{blue}{1 pt}}


\item La droite d'équation $y=-x-50$ coupe l'axe des abscisses.

\textbf{\textcolor{red}{VRAI}} : on résout l'équation $-x-50=0$ et on trouve $x=-50$. La droite coupe l'axe des abscisses au point de coordonnés $(-50~;~0)$.\marginpar{\textcolor{blue}{1 pt}}

\bigskip
Soit $g$ une fonction dont le tableau de variations est le suivant :

\begin{center}
\begin{variations}
x&-40&&-24&&12&&50\\
\hline
\m{g(x)}&2&\c&\h{20}&\d&-30&\c&\h{1}\\
\hline
\end{variations}
\end{center}\marginpar{\textcolor{blue}{1 pt}}

\item Alors, on peut en déduire que $g(-18)<g(2)$.

\textbf{\textcolor{red}{FAUX}} : -18 et 2 appartiennent à [)24~;~12], intervalle sur le quel la fonction est décroissante ; $g$ renverse l'ordre. Comme $-18<2$, on a $\boxed{\textcolor{red}{g(-18)>g(2)}}$.\marginpar{\textcolor{blue}{1 pt}}

\item Alors, on peut en déduire que $g(-30)>g(20)$.

\textbf{\textcolor{red}{VRAI}} : $-30$ appartient à l'intervalle $[-40~;~-24]$ et sur cet intervalle, on a $g(x)\geqslant 2$ (car 2 est le minimum de $g$ sur cet intervalle).

De même, $20$ appartient à l'intervalle $[12~;~50]$ et $g(x)\leqslant 1$ sur cet intervalle ; on en déduit que $g(20)\leqslant 1<2\leqslant g(-30)$ donc $g(-30)>g(20)$.\marginpar{\textcolor{blue}{1 pt}}

\item Alors, on peut en déduire que $g(14)\leq g(30)$.

\textbf{\textcolor{red}{VRAI}} : 14 et 30 appartiennent tous deux à l'intervalle [12~;~50] sur lequel la fonction $g$ est croissante ; comme $14<30$, alors $\boxed{\textcolor{red}{g(14)<g(30)}}$.\marginpar{\textcolor{blue}{1 pt}}
\end{enumerate}



\newpage


\subsection{\hfill \textcolor{blue}{3 points}}
\label{algorithme}
	L'algorithme suivant donne le résultat d'un examen en fonction de deux notes $N_1$ et $N_2$ entrées par l'utilisateur :

	\fbox{\begin{minipage}{10cm}
\begin{enumerate}[~~1 : ]
\item Entrées : $N_1$, $N_2$

\item  Sorties : Aucune 

\item Lire $N_1$

\item Lire $N_2$

\vspace{.2cm}

\item $\frac{N_1+N_2}{2}\rightarrow M$

\vspace{.2cm}

\item Si $M\geqslant 10$ ALORS

\item \hspace{1cm} AFFICHER \og{}L'examen est réussi !\fg{}

\item Finsi

\item Si $M<10$ ALORS

\item \hspace{1cm}AFFICHER \og{}L'examen est échoué !\fg{}

\item Finsi
\end{enumerate}
\end{minipage}}
			

\begin{enumerate}
\item %Qu'affiche l'algorithme si l'utilisateur choisit $N_1=5$ et $N_2=17$ ? Justifier.
Si l'utilisateur choisit $N_1=5$ et $N_2=17$, l'algorithme calcule $M=\dfrac{N_1+N_2}{2}=11>10$ donc l'algorithme affiche \og{}l'examen est réussi\fg{}.\marginpar{\textcolor{blue}{1 pt}}

\item %Que représente la variable $M$ ?
$M$ représente la moyenne des nombres $N_1$ et $N_2$.\marginpar{\textcolor{blue}{1 pt}}

\item %Comment modifier l'algorithme pour qu'il affiche \og L'examen est réussi\fg\ si $10\leq M<12$ et \og L'examen est réussi avec mention\fg\ si $M\geq 12$ ?
\textbf{\textcolor{blue}{Algorithme modifié :}}

\fbox{\begin{minipage}{10cm}
\begin{enumerate}[~~1 : ]
\item Entrées : $N_1$, $N_2$

\item  Sorties : Aucune 

\item Lire $N_1$

\item Lire $N_2$

\vspace{.2cm}

\item $\frac{N_1+N_2}{2}\rightarrow M$

\vspace{.2cm}

\item Si $M\geqslant 10$ ALORS

\item Si $M\geqslant 12$ ALORS

\item AFFICHER \og L'examen est réussi avec mention\fg

\item SINON \hspace{1cm} AFFICHER \og{}L'examen est réussi !\fg{}

\item Finsi

\item SINON  \hspace{1cm}AFFICHER \og{}L'examen est échoué !\fg{}

\item Finsi
\end{enumerate}
\end{minipage}}\marginpar{\textcolor{blue}{1 pt}}
	\end{enumerate}


\newpage


\subsection{\hfill \textcolor{blue}{11,5 points}}
\label{statistiques}
	Un directeur de supermarché décide d'étudier le temps d'attente aux caisses. Pour cela, il note le lundi et le vendredi les temps d'attente en minutes, de 100 clients.

\textcolor{blue}{	\textbf{A. Étude de l'échantillon du lundi}}

	Le lundi, il obtient la répartition suivante :
	
\begin{center}
\psset{xunit=1,yunit=0.35}
\begin{pspicture}(-1,-1)(12,25)
\psaxes[Dx=1,Dy=1](0,0)(11,0)(0,23)
\psgrid[subgriddiv=1,gridwidth=0.5pt,gridlabels=0](11,0)(0,23)
\psline[linewidth=3pt](1,0)(1,14)
\psline[linewidth=3pt](2,0)(2,13)
\psline[linewidth=3pt](3,0)(3,23)
\psline[linewidth=3pt](4,0)(4,9)
\psline[linewidth=3pt](5,0)(5,14)
\psline[linewidth=3pt](6,0)(6,8)
\psline[linewidth=3pt](7,0)(7,12)
\psline[linewidth=3pt](8,0)(8,4)
\psline[linewidth=3pt](9,0)(9,1)
\psline[linewidth=3pt](10,0)(10,2)
\uput[r](11,0){\begin{minipage}{3cm}
Temps d'attente au supermarché
\end{minipage}}
\uput[u](0,23){Effectifs}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item %Remplir le tableau suivant :
Tableau complété :

\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{11}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
Temps d'attente (en min) & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10\\\hline
Effectif & 14&13 &23 &9 &14 &8 &12 &4 &1 &2\\\hline
E.C.C. & 14&27 &50 &59 &73 &81 &93 &97 &98 &100\\\hline
\end{tabularx}\marginpar{\textcolor{blue}{1 pt}}

\item %Calculer le temps moyen d'attente aux caisses du supermarché pour cet échantillon.
Le temps moyen d'attente aux caisses du supermarché pour cet échantillon est 

$\overline{x}=\dfrac{(1\times 14)+(2\times 13)+\cdots+(10\times 2)}{100}=\dfrac{\numprint{408}}{100}=\boxed{\textcolor{red}{4,08}}$.

Le temps d'attente moyen est 4,08 min, soit 4 min + $0,08\times 60$ s d'où 4 min 4,8 s.\marginpar{\textcolor{blue}{1 pt}}

\item %Déterminer la médiane, le premier et le troisième quartile de la série statistique des temps d'attente.
L'effectif total vaut $N=100$ qui est pair ; la médiane est alors : $Me=\dfrac{x_{50}+x_{51}}{2}=\dfrac{3+4}{2}=\boxed{\textcolor{red}{3,5}}$.

$\dfrac{N}{4}=25$ donc le premier quartile est $Q_1=x_{25}=\boxed{\textcolor{red}{2}}$.

$\dfrac{3N}{4}=75$ donc le troisième quartile est $Q_3=x_{75}=\boxed{\textcolor{red}{6}}$.\marginpar{\textcolor{blue}{3 pt}}

\item %Le directeur adjoint souhaite ouvrir une caisse supplémentaire si plus de 15\% des clients attendent 7 minutes ou plus en caisse.
				
%Doit-il ouvrir une nouvelle caisse le lundi ?
Le nombre de clients attendant 7 minutes ou plus est $100-81=19$ ; $\dfrac{19}{100}=19\:\%>15\:\%$.

\textbf{Le directeur adjoint doit ouvrir une nouvelle caisse}.\marginpar{\textcolor{blue}{1 pt}}
\end{enumerate}


\textcolor{blue}{\textbf{B. Étude de l'échantillon du vendredi}}

Le vendredi, il obtient la répartition suivante :

	\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
		Temps d'attente en caisse & [0;2[ & [2;4[ & [4;6[ & [6;8[ & [8;10[ & [10;12]\\\hline
		Effectif & 5 & 22 & 27 & 18 & 16 & 12\\\hline
		Fréquence &0,05 &0,22 &0,27 &0,18 &0,16 &0,12\\\hline
		Fréquence cumulée croissante (FCC) &0,05 &0,27 &0,54 &0,72 &0,88 &1\\\hline
\end{tabularx}

	\begin{enumerate}
		\item %Compléter les deux dernières lignes du tableau et calculer le temps d'attente moyen (arrondi au dixième).
		Le temps d'attente moyen est $\dfrac{(1\times 5)+\cdots+(11\times 12)}{100}=\dfrac{608}{100}=6,08$ min = 6 min 4,8 s. \marginpar{\textcolor{blue}{1 pt}}
		
		\item %Construire, en annexe, la courbe des fréquences cumulées croissantes.
		\begin{center}
\psset{xunit=1,yunit=0.1}
\begin{pspicture}(-1,-10)(13,110)
\psaxes[Dx=1,Dy=5](0,0)(0,0)(12,105)
\multido{\n=0+1}{13}{\psline(\n,0)(\n,105)}
\multido{\n=0+5}{22}{\psline(0,\n)(12,\n)}
\psline[linewidth=2pt](0,0)(2,5)(4,27)(6,54)(8,72)(10,88)(12,100)
\psdots[dotstyle=x,dotscale=2](0,0)(2,5)(4,27)(6,54)(8,72)(10,88)(12,100)
\psline[linestyle=dashed,linecolor=red,linewidth=2pt](0,25)(3.8,25)
\psline[linestyle=dashed,linecolor=red,linewidth=2pt](3.8,25)(3.8,0)
\psline[linestyle=dashed,linecolor=red,linewidth=2pt](0,50)(5.6,50)
\psline[linestyle=dashed,linecolor=red,linewidth=2pt](5.6,50)(5.6,0)
\psline[linestyle=dashed,linecolor=red,linewidth=2pt](0,75)(8.3,75)
\psline[linestyle=dashed,linecolor=red,linewidth=2pt](8.3,75)(8.3,0)
\uput[d](3.8,0){3,8}
\uput[d](5.6,0){5,6}
\uput[d](8.3,0){8,3}

\end{pspicture}
\end{center}\marginpar{\textcolor{blue}{1 pt}}
		
		\item %Déterminer graphiquement une valeur approchée de la médiane, du premier et du troisième quartile.
		On regarde les points de la courbe des fréquences cumulées croissantes ayant pour ordonnées 25, 50 et 75.
		
		Graphiquement, on trouve $\boxed{\textcolor{red}{Q_1\approx 3,8}}$, $\boxed{\textcolor{red}{Me=5,6}}$ et $\boxed{\textcolor{red}{Q_3=8,3}}$.\marginpar{\textcolor{blue}{1,5 pt}}
	\end{enumerate}

\textcolor{blue}{	\textbf{C. Comparaison des deux échantillons}}

	Les clients qualifient de tolérable un temps d'attente compris entre 2 et 6 minutes inclus.

	Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse :
	\begin{enumerate}
		\item \og{} Le vendredi, au moins un quart des clients attendent au plus trois minutes en caisse\fg.
		
		\textbf{\textcolor{red}{FAUX :}} : $Q_1\approx 3,8$ donc au moins un quart des clients attendent au plus 3,8 minutes en caisse.\marginpar{\textcolor{blue}{1 pt}}
		
		\item \og{} Il y a autant de clients qui trouvent le temps d'attente acceptable le lundi que le vendredi\fg.
		
		\textbf{\textcolor{red}{FAUX :}} : le lundi, il y a 67 clients qui attendent entre 2 et 6 minutes (donc un temps acceptable) et le vendredi, il y en a 49.\marginpar{\textcolor{blue}{1 pt}}
	\end{enumerate}



\newpage

\subsection{\hfill \textcolor{blue}{10 points}}
\label{droites}
Les questions suivantes sont indépendantes.
\begin{enumerate}
\item Déterminer l'équation réduite de chacune des droites représentées dans le repère ci-dessous :

%			\begin{center}
%				\begin{tikzpicture}[scale=.8]
%					\repere[x=-5 to 6,y=-3 to 5,grid,grad,clip];
%					\draw[domain=-6:7,green,ultra thick] plot (\x,\x-1);
%					\draw[green] (-1.5,-3)node{$C_1$};
%					\draw[domain=-6:7,red,ultra thick] plot (\x,-\x/3+1);
%					\draw[red] (6,-1.5)node{$C_2$};
%					\draw[domain=-6:7,purple,ultra thick] plot (\x,4);
%					\draw[purple] (3,4.5)node{$C_3$};
%					\draw[domain=-4:6,blue,ultra thick] plot (-3,\x);
%					\draw[blue] (-3.5,-1.5)node{$C_4$};
%				\end{tikzpicture}
%			\end{center}
\begin{center}
\psset{xunit=0.9cm,yunit=0.9cm,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=5pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-6.,-4.)(7.,6.)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1.,Dy=1.,ticksize=-2pt 0,subticks=2,linewidth=2pt]{->}(0,0)(-6.,-4.)(7.,6.)
\psgrid[subgriddiv=1,gridwidth=0.5pt,gridlabels=0](-6,-4)(7,6)
\psplot[linewidth=1.2pt,linecolor=green,plotpoints=200]{-6.0}{7.0}{x-1.0}
\psplot[linewidth=1.2pt,linecolor=red,plotpoints=200]{-6.0}{7.0}{(-x)/3.0+1.0}
\psplot[linecolor=blue,linewidth=1.5pt]{-6.}{7.}{(--4.-0.*x)/1.}
\psline[linewidth=1.5pt](-3.,-4.)(-3.,6.)
\uput[u](4,3){$\mathscr{D}_1$}
\rput[bl](-5.8,2.62){$\mathscr{D}_{2}$}
\rput[bl](-5.8,3.7){$\mathscr{D}_3$}
\uput[l](-3,-2){$\mathscr{D}_{4}$}
\end{pspicture*}
\end{center}
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Pour $\mathscr{D}_1$ ; l'ordonnée à l'origine est -1 ; on lit le coefficient directeur qui est 1 donc son équation est $\boxed{\textcolor{red}{y=x-1}}$

\item Pour $\mathscr{D}_2$ : l'ordonnée à l'origine est 1 et le coefficient directeur $-\dfrac{1}{3}$ donc son équation est $\boxed{\textcolor{red}{y=-\dfrac{1}{3}x+1}}$.

\item $\mathscr{D}_3$ est parallèle à l'axe des abscisses, donc son coefficient directeur est 0 ; son ordonnée à l'origine est 4, donc son équation est : $\boxed{\textcolor{red}{y=4}}$.

\item $\mathscr{D}_4$ est parallèle à l'axe des ordonnées donc son équation est $\boxed{\textcolor{red}{x=-3}}$.\marginpar{\textcolor{blue}{3 pt}}

\end{enumerate}		

\item Soit $(d)$ la droite d'équation $y=3x-4$.
			\begin{enumerate}
				\item %Est-ce que $A\left(\frac13~;~-3\right)$ appartient à $(d)$ ?
				$3x_A-4=3\times \dfrac{1}{3}-4=1-4=-3=y_A$ donc A \textbf{\textcolor{red}{appartient}} à (d).
				
				\item	%Est-ce que $B(-10~;~-33)$ appartient à $(d)$ ?
				$3\times (-10)-4=-30-4=-34\neq y_B$ donc B \textbf{\textcolor{red}{n'appartient pas}} à (d).\marginpar{\textcolor{blue}{3 pt}}
			\end{enumerate}
			
		\item Soient $A(2~;~3)$, $B(2~;~5)$ et $C(4~;~13)$. 
			
			\begin{enumerate}
				
				\item %Déterminer l'équation de la droite $(AB)$. 
				$x_A=x_B$ donc la droite (AB) est parallèle à l'axe des ordonnées ; son équation est $\boxed{\textcolor{red}{x=2}}$.
				
				\item %Déterminer celle de la droite $(AC)$.
				$x_A\neq x_C$ donc (AC) est sécante à laxe des ordonnées ; son équation réduite est du type $y=ax+b$.
				
				Le coefficient directeur est $a=\dfrac{y_C-y_A}{x_C-x_A}=\dfrac{13-3}{4-2}=\dfrac{10}{2}=5$.
				
				L'équation est $y=5x+b$.
				
				A appartient à cette droite donc ses coordonnées vérifient cette équation ; 
				
				On en déduit : $y_A=5x_1+b$ d'où $3=5\times 2+b$ donc $3=10+b$ ; on en déduit $b=-7$.
				
				(AC) a pour équation $\boxed{\textcolor{red}{y=5x-7}}$.\marginpar{\textcolor{blue}{3 pt}}
			\end{enumerate}
			
		\item %Est-ce que la droite $(d)$ d'équation $y=3x+1$ est parallèle à la droite $(d')$ d'équation $y=2x+1$ ? 
		%Justifier.
		Le coefficient directeur de (d) est 3, celui de (d') est 2 ; les deux droites n'ont pas le même coefficient directeur, donc elles ne sont \textbf{\textcolor{red}{pas parallèles}}.\marginpar{\textcolor{blue}{1 pt}}
	\end{enumerate}


\subsection{\hfill \textcolor{blue}{8,5 points}}
\label{fonctionssaffines}
	Les questions suivantes sont indépendantes.
	\begin{enumerate}
		\item Parmi les fonctions suivantes, préciser lesquelles sont affines. Justifier soigneusement.
			\begin{enumerate}[\textbullet]
				\item $f : x \mapsto 1+2x$ ; $f$ est \textbf{\textcolor{red}{affine}} car $1+2x=ax+b$ avec $a=2$ et $b=1$.
				
				\item $g :  x \mapsto -3x^2$ ; $g$ n'est \textbf{\textcolor{red}{pas affine}} car $-3x^2$ ,'est pas de la forme $ax+b$.
				
				\item $h : x \mapsto -2x+1$ ; $h$ est \textbf{\textcolor{red}{affine}} car $-2x+1=ax+b$ avec $a=-2$ et $b=1$.
				
				\item $i :x \mapsto \dfrac{1}{x}+2$ ; $i$ n'est \textbf{\textcolor{red}{pas affine}} car $\dfrac{1}{x}+2$ n'est pas de la forme $ax+b$ ou l'ensemble de définition de $i$ n'est pas $\mathbb{R}$.\marginpar{\textcolor{blue}{1,5 pt}}
			\end{enumerate}
			
		\item Soit $f:x\mapsto -5x+8$
			
			\begin{enumerate}
				\item %Déterminer le tableau de variations de $f$.
				Le coefficient directeur de $f$ est -5 qui est négatif, donc la fonction est décroissante ; $f(x)=0$ pour $x=\dfrac{8}{5}$.
				
				Le tableau de variation est :
				\begin{center}
\begin{variations}
x&\mI&&\dfrac{8}{5}&&\pI\\
\hline
\m{f(x)}&&\dh&\m{0}&\db&\\
\hline
\end{variations}\marginpar{\textcolor{blue}{1 pt}}
\end{center}

				\item %Déterminer le tableau de signes de $f$.
				Tableau de signes de $f$ :
\begin{center}
\begin{variations}
x&\mI&&\dfrac{8}{5}&&\pI\\
\hline
f(x)&&+&\z&-&\\
\hline
\end{variations}

\end{center}\marginpar{\textcolor{blue}{1,5 pt}}
\end{enumerate}

		\item 
			\begin{enumerate}

				\item Déterminer l'expression de la fonction affine $f$ telle que $f(0)=1$ et $f(-1)=-12$.
				
$f(x)=ax+b$ ; le coefficient directeur est $a=\dfrac{f(-1)-f(0)}{(-1)-0}=\dfrac{-12-1}{-1}=13$ donc \\
$f(x)=13x+b$.

$f(0)=1$ donne $b=1$ d'où $\boxed{\textcolor{red}{f(x)=13x+1}}$.\marginpar{\textcolor{blue}{2 pt}}

				\item Déterminer l'expression de la fonction linéaire $g$ telle que $g(-3)=7$.
				
				$g(x)=mx$ ; $g(-3)=7$ donc $-3m=7$ d'où $m=\dfrac{7}{-3}=\dfrac{7}{3}$ donc $\boxed{\textcolor{red}{g(x)=-\dfrac{7}{3}x}}$.\marginpar{\textcolor{blue}{0,5 pt}}
				
				\item Soit $h$ une fonction affine telle que $h(-1)=-5$ et $h(2)=4$. Déterminer $h(3)$. %Dans cette question, toute trace de recherche sera prise en compte dans la notation.
				
$h$ est affine donc $h(x)=ax+b$.

$a=\dfrac{h(2)-h(-1)}{2-(-1)}=\dfrac{4-(-5)}{3}=3$ donc $a=3$.

$h(x)=3x+b$ ; $h(2)=4$ donne $6+b=4$ donc $b=4-6=-2$ d'où $\boxed{\textcolor{red}{h(x)=3x-2}}$.

On en déduit que $h(3)=3\times 3-2=7$ donc $\boxed{\textcolor{red}{h(3)=7}}$.\marginpar{\textcolor{blue}{2 pt}}
			\end{enumerate}
	\end{enumerate}




\label{fin}
\end{document}  