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-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{2nde : contrôle sur les probabilités\\
1 heure}}\end{center}



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{}
 Soit $A$ et $B$ deux événements tels que :
 
\begin{enumerate}[$\bullet$]

\item $p(A)=0,7$
\item $p(B)=0,5$
\item $p(A\cap B)=0,3$
\end{enumerate}

\begin{enumerate}
\item Calculer

\begin{enumerate}
\item $p\left(\overline{A}\right)=1-p(A)=0,3$ donc $\boxed{\textcolor{red}{p\left(\overline{A}\right)=0,3}}$

\item $p(A\cup B)=p(A)+p(B)-p(A\cap B)\\
=0,7+0,5-0,3=,9$ : $\boxed{\textcolor{red}{p(A\cup B)=0,9}}$

\item $B=(A\cap B)\cup\left(\overline{A}\cap B\right)$ (réunion d'événements incompatibles).

On en déduit : $p(B)=p(A\cap B)+p\left(\overline{A}\cap B\right)$ donc $p\left(\overline{A}\cap B\right)=p(B)-p(A\cap B)\\
=0,5-0,3=\boxed{\textcolor{red}{0,2}}$.

$\boxed{\textcolor{red}{p\left(\overline{A}\cap B\right)=0,2}}$
\end{enumerate} 

\medskip

\item $p(A\cap B)=0,39$ donc $A\cap B\neq\emptyset$ donc A et B ne sont \textbf{\textcolor{red}{pas incompatibles}}.
\end{enumerate}

\subsection{}
On considère deux événements $V$ et $F$ tels que :

\begin{enumerate}[$\bullet$]
 \item $p(V)=0,4$
\item $p(F)=0,3$
 \item $p(V\cup F)=0,8$ 
\end{enumerate}

 
\bigskip

% Un élève prétend que ce n'est pas possible. 
% 
% Confirmer ou infirmer sa déclaration, en justifiant la réponse. 
Cet élève a raison de dire que ce n'et pas possible, car $p(V\cup F)=p(V)+p(F)-p(V\cap F)\leqslant p(V)+p(F)$ donc $p(V\cup F)\leqslant 0,7$ ; or $p(V\cup F)=0,8>0,7$, ce qui est impossible.

\subsection{\textcolor{blue}{Résultats au bac}}
	
 \begin{itemize}
    \item 19\:\% de l'effectif total est en classe Terminale ; $19\:\%\times 2000=\boxed{\textcolor{red}{380}}$.
     
    \item parmi ces élèves     de Terminale, 55\:\% sont des filles ; $55\:\%\times 380=\boxed{\textcolor{red}{209}}$
    \item le taux de réussite au baccalauréat dans cet     établissement est de 85\:\% ; $85\:\%\times 380=\boxed{\textcolor{red}{323}}$
    \item parmi les candidats ayant échoué, la proportion des filles a été de $\dfrac{ 8}{19}$.
    \end{itemize}
    \begin{enumerate}
        \item Recopier et compléter le tableau des effectifs regroupant les résultats au baccalauréat :
        
        On complète le tableau avec les résultats calculés ci-dessus.
        
        Le nombre d'élèves ayant échoué est \\
        $380-323=\boxed{\textcolor{red}{57}}$.
        
        $\dfrac{8}{19}\times 57=\dfrac{8\times 3\times 19}{19}=8\times 3=\boxed{\textcolor{red}{24}}$ (résultat déjà inscrit dans le tableau )
        
        Le nombre de filles ayant réussi est \\
        $209-24=185$ ; le nombre de garçons ayant réussi est alors $323-185=\boxed{\textcolor{red}{138}}$.
        
        Le nombre de garçons ayant échoué est \\
        $57-24=\boxed{\textcolor{red}{33}}$ ;
        
         le nombre total de garçons est $380-209=\boxed{\textcolor{red}{171}}$
        
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}
                \hline
                Éleves & Garçons & Filles & TOTAL \\
                \hline
                Réussite &138  &185  &323  \\
                \hline
                Échec &33  & 24 & 57 \\
                \hline
                TOTAL &171  & 209 & 380 \\
                \hline
            \end{tabularx}
%            Après la publication des résultats, on choisit au hasard un élève parmi l'ensemble des élèves de Terminale. \\
%            On considère les événements suivants : 
%            \begin{itemize}
%            \item $G$: \og l'élève est un garçon \fg;
%            \item $R$: \og l'élève a eu son baccalauréat \fg.
%            \end{itemize}
%            Dans la suite, on donnera les résultats sous forme décimale, arrondis             à $10^{-2}$ près.
            
                    \item %Définir les événements suivants par une phrase :\\
\begin{enumerate}[$\bullet$]

\item $R$ est \og{}l'événement l'élève a eu son baccalauréat\fg{} (donné dans l'énoncé !)

\item $\overline{G}\cap R $ est l'événement \og{}l'élève est une fille qui a réussi son baccalauréat\fg{}.

\end{enumerate}
         \item Calculer les probabilités des événements suivants :

\begin{enumerate}
\item               $p\left(\overline{R}\right)=\dfrac{57}{380}=\boxed{\textcolor{red}{0,15}}$

\item  $p\left(\overline{G}\cup \overline{R}\right)=p\left(\overline{G}\right)+p\left(\overline{R}\right)-p\left(\overline{G}\cap \overline{R}\right)\\
=\dfrac{209}{380}+\dfrac{57}{380}-\dfrac{24}{380}=\dfrac{242}{380}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{121}{190}\approx 0,64}}$.
\end{enumerate}

\item   On choisit un élève au hasard parmi les bacheliers.

       %Quelle est la probabilité que ce soit une fille?
       La probabilité que ce soit une fille est \\
       $\dfrac{85}{323}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{5}{19}\approx 0,26}}$.
\end{enumerate}   
 
 

\subsection{\textcolor{blue}{Tirage successif avec remise}}

On tire au hasard une carte d'un jeu de 32 cartes, on la note, puis on la remet dans le jeu avant d'en tirer une seconde.

\emph{On rappelle que les 32 cartes d'un jeu de 2 cartes sont réparties en quatre couleurs (trèfle, carreau, cœur et pique) ; les cartes sont appelées 7~;~8~;~9~;~10~;~Valet~;~Dame~;~Roi et As}.

\begin{enumerate}

\item %Est-ce une situation d'équiprobabilité ? Pourquoi ?
Oui, il y a équiprobabilité puisque chaque couple de résultats a la même chance d'être choisi.

\item %Combien y a-t-il d'issues ?
Chaque issue est de la forme $(X~;~Y)$ où $X$ est une des 32 cartes et $Y$ une des 32 cartes. Il y a $32^2$ couples possibles, donc $\boxed{\textcolor{red}{\numprint{1024}}}$ issues.

On peut imaginer un arbre avec 32 branches pour le choix de la première carte, puis de chacune de ces 32 branches partent 32 branches correspondant au choix de la seconde carte.

\item %Calculer la probabilité de :
Puisque nous avons équiprobabilité, la probabilité d'un événement est le quotient du nombre d'issues de cet événement par le nombre total d'issues.
\begin{enumerate}

\item %tirer 2 c\oe urs ;
La probabilité de tirer 2 c\oe urs est \\
$\dfrac{8\times 8}{\numprint{1024}}=\dfrac{64}{1024}=\dfrac{1}{16}$. (car il y a 8 branches contenant un cœur pour la première carte puis de nouveau 8 branches partant de chacun de ces branches contenant un cœur pour la seconde carte)

\item  %ne pas tirer de c\oe ur ;
La probabilité de ne pas tirer de c\oe ur est $\dfrac{24\times 24}{\numprint{1024}}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{9}{16}}}$ (car il y a 24 cartes qui ne sont pas un cœur)

\item %tirer exactement 1 c\oe ur ;
La probabilité de tirer exactement 1 c\oe ur est $\dfrac{8\times 24}{1024}+\dfrac{24\times 8}{1024}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{3}{8}}}$ (on distingue les cas où le cœur a été choisi en premier ou en deuxième)

\item %tirer deux fois la même carte ;
La probabilité de tirer deux fois la même carte est $\dfrac{32\times 1}{1024}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{1}{32}}}$ (pour chaque carte choisie en premier correspond une seule carte pour le deuxième choix)

\item %tirer deux cartes différentes ;
La probabilité de tirer deux cartes différentes est $\dfrac{32\times 31}{1024}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{31}{32}}}$

\item %tirer le roi de c\oe ur.
La probabilité de tirer le roi de c\oe ur est $\dfrac{1\times 31+31\times 1}{1024}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{31}{512}}}$ (si on a tiré le roi de cœur en premier, on doit choisir une des 31 autres cartes en deuxième et de même si le roi de cœur est choisi en deuxième)
\end{enumerate}	
\end{enumerate}

\end{multicols}

\subsection{}



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\begin{enumerate}
\item Sur le graphique ci-contre, tracer les représentations graphiques $\mathscr{C}_f$ et $\mathscr{C}_g$ des fonctions :\\
$f:x\mapsto f(x)=x^2$ et $g:x\mapsto g(x)= -x+6$.

$\mathscr{C}_f$ est la parabole étudiée en cours et $\mathscr{C}_g$ est une droite, représentative d'une fonction affine d'ordonnée à l'origine 6 et de coefficient directeur -1.

\item %
Les deux courbes semblent avoir deux points d'intersection, d'abscisses -3 et 2.
%Quelles semblent être leurs abscisses ?

\item Montrer que, pour tout $x\in\mathbb{R}$, on a : \\
$(x-2)(x+3)=x^2+3x-2x-6=x^2+x-6$ donc $\boxed{\textcolor{red}{x^2+x-6=(x-2)(x+3)}}$

\item %Résoudre l'équation $x^2+x-6=0$
$x^2-x+6=0\Leftrightarrow (x-2)(x+3)=0$ d'après la question précédente.

Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, l'un des facteurs est nul.

On en déduit $x=-3$ ou $x=2$ : $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\{-3~;~2\}}}$

\item %Que peut-on en déduire pour les courbes $\mathscr{C}_f$ et $\mathscr{C}_g$ ?
On en déduit que les deux courbes ont deux points d'intersection, de coordonnées $(-3~;~9)$ et $(2~;~4)$

\end{enumerate}

\begin{center}
\newrgbcolor{qqwuqq}{0. 0.39215686274509803 0.}
\newrgbcolor{ccqqqq}{0.8 0. 0.}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=0.6cm,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=5pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-4.2,-4.)(4.2,12.)
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\uput[r](3,9){$\mathscr{C}_f$}
\uput[u](-2,8){$\mathscr{C}_g$}
\psdot[dotstyle=x,dotscale=2](-3,9)
\psdot[dotstyle=x,dotscale=2](2,4)
\end{pspicture*}
\end{center}


\end{multicols}
\label{fin}
\end{document}  

Barème : 
I : 0,5+1+1,5+1
II : 2
III : 2+1,5+0,5+1+1
IV : 0,5+1+0,5*6
V : 1,5+0,5+0,5+1+0,5

Total : 22
