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-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{empty}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{2\up{nde} : correction de la feuille d'AP \no 1}}\end{center}




\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}


\subsection{}
ABCD est un carré dont les côtés mesurent 4 cm.

\noindent Quelle est la longueur de la diagonale [AC] ? et celle de [BD] ?

\bigskip

On commence par faire une figure !

\begin{center}
\begin{pspicture}(-1,-1)(5,5)
\psframe(0,0)(4,4)
\uput[d](0,0){A}\uput[d](4,0){B}\uput[u](4,4){C}\uput[u](0,4){D}
\psline(0,0)(4,4)
\end{pspicture}

\end{center}
\noindent Comme ABCD est un carré, le triangle ABC est rectangle en B.

\noindent D'après le théorème de Pythagore, on a :

$AC^2=AB^2+BC^2=4^2+4^2=16+16=32$.

\noindent Comme $AC$ est une longueur, $AC$ est positif donc $AC=\sqrt{32}=\sqrt{16\times 2}=\sqrt{42\times 2}=\boxed{\textcolor{red}{4\sqrt{2}}}$.

\bigskip

\textbf{\textcolor{red}{Remarque }}: si le côté du carré mesure $a$, la diagonale mesure $\boxed{\textcolor{red}{d=a\sqrt{2}}}$.

\columnbreak
\subsection{}
On donne la figure suivante :
\begin{center}
\newrgbcolor{zzttqq}{0.6 0.2 0.}
\psset{unit=0.5,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-5.,-1.)(13.,13.)
\pspolygon[linecolor=zzttqq,fillcolor=cyan!50,fillstyle=solid,opacity=0.1](0.,0.)(0.,12.)(9.,0.)
\pspolygon[linecolor=zzttqq,fillcolor=yellow!50,fillstyle=solid,opacity=0.1](-4.,0.)(0.,0.)(0.,5.)
\psline[linecolor=zzttqq](0.,0.)(0.,12.)
\psline[linecolor=zzttqq](0.,12.)(9.,0.)
\psline[linecolor=zzttqq](9.,0.)(0.,0.)
\psline[linecolor=zzttqq](-4.,0.)(0.,0.)
\psline[linecolor=zzttqq](0.,0.)(0.,5.)
\psline[linecolor=zzttqq](0.,5.)(-4.,0.)
\psframe(-1,0)(0,1)
\psframe(0,0)(1.2,1.2)

\begin{scriptsize}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](0.,0.)
\uput[d](0,0){B}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](0.,12.)
\rput[bl](0.1831975114144126,12.228831866453133){\blue{$D$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](9.,0.)
\rput[bl](9.15655454668671,0.2643558194233552){\blue{$E$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](-4.,0.)
\uput[dl](-4,0){\blue{$A$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](0.,5.)
\rput[bl](0.1831975114144126,5.249554172352429){\blue{$C$}}
\end{scriptsize}
\end{pspicture*}
\end{center}
On sait que AC = 5 cm, BC = 3 cm, BD = 12 cm, et \\DE = 15

Calculer les longueurs AB, BE puis en déduire la longueur AE.

\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Le triangle ABC est rectangle en B, donc, d'après le théorème de Pythagore, on a : $AC^2=AB^2+BC^2$ donc $5^2=AB^2+3^2$ d'où $AB^2=5^2-3^2=25-9=16$ donc $AB=\sqrt{9}=\boxed{\textcolor{red}{3}}$.

\item Le triangle BED est rectangle en B, donc, d'après le théorème de Pythagore, on a : $ED^2=BE^2+BD^2$ donc $15^2=BE^2+12^2$ d'où $BE^2=15^2-12^2=225-144=81$ donc $AB=\sqrt{81}=\boxed{\textcolor{red}{9}}$.

\item Les droites (AB) et (BE) sont perpendiculaires à la met droite donc elles sont parallèles. Comme elles ont un point commun, elles sont confondues, donc les points A, B et E sont alignés.

\noindent O en déduit que $AE=AB+BE=4+9=13$ : $\boxed{\textcolor{red}{AE=13}}$
\end{enumerate}

\columnbreak

\subsection{}
Tracer un cercle $\mathscr{C}$ dont un diamètre [AB] mesure 12 cm. Sur ce cercle, placer un point C, tel que $\text{AC}=8$  cm.

\begin{center}
\newrgbcolor{zzttqq}{0.6 0.2 0.}
\psset{xunit=0.5cm,yunit=0.5cm,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-1.,-7)(13.,15)
%\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=2.,Dy=2.,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-1.,-114.)(13.,15.826646855425071)
\pspolygon(0.,0.)(12.,0.)(5.333333333333333,5.96284793999944)
\pspolygon(12.,0.)(5.333333333333333,5.96284793999944)(12.,13.41640786499874)
\pscircle(6.,0.){3}
%\pscircle(0.,0.){}
\psline[linecolor=zzttqq](0.,0.)(12.,0.)
\psline[linecolor=zzttqq](12.,0.)(5.333333333333333,5.96284793999944)
\psline[linecolor=zzttqq](5.333333333333333,5.96284793999944)(0.,0.)
\psplot{0.}{13.}{(-0.--5.96284793999944*x)/5.333333333333333}
%\pscircle(5.333333333333333,5.96284793999944){50.}
\psline[linecolor=zzttqq](12.,0.)(5.333333333333333,5.96284793999944)
\psline[linecolor=zzttqq](5.333333333333333,5.96284793999944)(12.,13.41640786499874)
\psline[linecolor=zzttqq](12.,13.41640786499874)(12.,0.)
\begin{scriptsize}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](0.,0.)
\rput[bl](-0.49340637964390444,-0.4770836019611433){\blue{$A$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](12.,0.)
\rput[bl](12.10910196640322,0.19586587282778112){\blue{$B$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](6.,0.)
%%\rput[bl](6.113733918283715,0.19586587282778112){\blue{$I$}}
%\rput[bl](2.993695444262339,4.508860233974978){$c$}
%\rput[bl](-4.011096816040554,6.1912339209472895){$d$}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=darkgray](5.333333333333333,5.96284793999944)
\rput[bl](5.318429993533168,5.2735755462351195){\darkgray{$C$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=darkgray](5.333333333333333,-5.962847939999439)
%\rput[bl](5.9913794683220924,-0.4770836019611433){\zzttqq{$c_1$}}
%\rput[bl](8.989063492381844,3.3464929593395634){\zzttqq{$a$}}
%\rput[bl](2.290157356983009,3.315904346849158){\zzttqq{$b$}}
%\rput[bl](2.9631068317719333,2.6429548720602334){$e$}
%\rput[bl](0.33248615759704797,13.868975656039108){$f$}
%\psdots[dotstyle=*,linecolor=darkgray](12.,13.41640786499874)
\rput[bl](12.231456416364843,13.410146468683024){\darkgray{$D$}}
%\rput[bl](8.989063492381844,3.3464929593395634){\zzttqq{$d_1$}}
%\rput[bl](9.01965210487225,9.372449619949478){\zzttqq{$b_1$}}
%\rput[bl](11.497329716595107,6.711240333284185){\zzttqq{$c_2$}}
\end{scriptsize}
\end{pspicture*}
\end{center}
\begin{enumerate}
\item %Quelle est la nature du triangle ABC ?
ABC est inscrit dans le cercle de diamètre [AB], donc ABC est rectangle en C.

\item %Calculer BC (donner la valeur exacte simplifiée).
Puisque ABC est rectangle en C, on applique le théorème de Pythagore : $AB^2=AC^2+BC^2$ donc $BC^2=AB^2-AC^2=12^2-8^2=144-64=80$.

\noindent Comme $BC\geqslant 0$, on a $BC=\sqrt{80}=\sqrt{16\times 5}=\sqrt{4^2\times 5}=\boxed{\textcolor{red}{4\sqrt{5}}}$

\item %Sur la demi-droite [AC), placer le point D, tel que $\text{CD}=10 \text{ cm}$.
Voir figure

\noindent %Calculer la longueur BD (valeur exacte simplifiée)
BCD est aussi rectangle en C. D'après le théorème de Pythagore, on a : $BD^2=BC^2+CD^2=80+10^2=180$.

\noindent On en déduit que $BD=\sqrt{180}=\sqrt{36\times 5}=\sqrt{6^2\times 5}=\boxed{\textcolor{red}{6\sqrt{5}}}$

\item %Combien mesurent les côtés du triangle ABD ?
Les côtés du triangle ABD mesurent : $AB=12$, $BD=6\sqrt{5}$ et $AD=8+10=18$.

\item %Démontrer que ABD est rectangle.
Le plus grand côté est [BD]

\noindent $BD^2=18^2=\boxed{\textcolor{red}{324}}$.

\noindent $AB^2+BD^2=12^2+\left(6\sqrt{5}\right)^2=144+180=\boxed{\textcolor{red}{324}}$.

\noindent On constate que $\boxed{\textcolor{red}{BD^2=AB^2+BD^2}}$.

\noindent D'après la \textbf{\textcolor{red}{réciproque du théorème de Pythagore}}, le triangle ABD est \textbf{\textcolor{red}{rectangle}} en B.


\item%Que peut-on dire de la droite (BD) pour le cercle ?
(BD) est perpendiculaire en B au diamètre [BD] du cercle, donc (BD) est tangente au cercle en B.

\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{Brevet : Antilles-Guyane septembre 2001}}
Monsieur Dupont possède une propriété ayant la forme du schéma suivant :

\psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(-1,0)(5,5)
\psline(0,4)(0,0)(4,0)
\psline(0,0.3)(0.3,0.3)(0.3,0)
\psarc(2,2){2.828}{-45}{135}
\uput[dl](0,0){A} \uput[ul](0,4){B} \uput[dr](4,0){C} \uput[d](2,0){100 m} \uput[l](0,2){100 m}
\psdots(2,0)
\uput[d](2,0){I}
\psline(2,0)(0,4)
\end{pspicture}

\bigskip

Le côté [AB] du triangle isocèle ABC mesure 100 m, et le demi-cercle a pour diamètre [BC].

\begin{enumerate}
\item  %Calculer la valeur exacte de BC. 
$BC=100\sqrt{2}$ (diagonale d'un carré de côté 100).

\item  %Calculer la superficie exacte du terrain. P. 
Le terrain est constitué d'un triangle rectangle isocèle et d'un demi-disque.

\noindent L'aire du triangle isocèle est $\mathscr{A}_1=\dfrac{AB\times AC}{2}=\dfrac{100^2}{2}=\dfrac{\numprint{10000}}{2}=\numprint{5000}\text{ m}^2$.

\noindent Le disque a pour diamètre $100\sqrt{2}$, donc pour rayon $50\sqrt{2}$.

\noindent L'aire du demi-disque est $\mathscr{A}_2=\dfrac{\pi\times \left(50\sqrt{2}\right)^2}{2}=\dfrac{\pi\times \numprint{2500}\times 2}{2}=\numprint{2500}\pi\text{ m}^2$.

\noindent L'aire du terran P est $\mathscr{A}=\mathscr{A}_1+\mathscr{A}_2=\boxed{\textcolor{red}{\numprint{5000}+\numprint{2500}\pi}}$.

\item  %Calculer le périmètre exacte du terrain.
Le périmètre du terrain est $\mathscr{P}=CA+CB+\pi r$ où $r$ est le rayon du cercle, donc $r=50\sqrt{2}$.

\noindent $\mathscr{P}=200+\pi\times 50\sqrt{2}=200+50\sqrt{2}\pi$.

\item  %Soir I le milieu de [AC]. Calculer la mesure en degrés de l'angle $\widehat{\text{ABI}}$ (résultat arrondi au centième).
ABI est rectangle en B ; $\tan\widehat{ABI}=\dfrac{AI}{AB}=\dfrac{50}{100}=\dfrac{1}{2}$. On en déduit $\widehat{ABI}=\approx 26,57$ \degre.
\end{enumerate}



\end{multicols}
 \label{fin}
\end{document}  