\documentclass[12pt] {article} \usepackage[T1]{fontenc} 
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\textwidth 19cm \textheight 26cm \hoffset 
-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{empty}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Correction du TD}}\end{center}


\subsection{}
Un sac contient des jetons carrés ou ronds, de couleur verte, bleue ou noire.

\noindent Il y a 10 jetons verts dont 4 carrés ; 10 des 12 jetons bleus sont carrés ; 14 des 18 jetons noirs sont ronds.
\begin{enumerate}
\item %Compléter le tableau suivant :
On complète le tableau : en gras, les données calculées à partir des données de l'énoncé. 
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{2}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
\backslashbox{Forme}{Couleur}&Vert&Bleu&Noir&Total\\
\hline
Carré&4&10&\textbf{\textcolor{red}{4}}&\textbf{\textcolor{red}{18}}\\
\hline
Rond&\textbf{\textcolor{red}{6}}&\textbf{\textcolor{red}{2}}&14&\textbf{\textcolor{red}{22}}\\
\hline
Total&10&12&18&\textbf{\textcolor{red}{40}}\\
\hline
\end{tabularx}

\end{center}


\item On tire un jeton au hasard : on est en situation d'équiprobabilité.\\
La probabilité d'un événement est le nombre d'éléméents de cet événement divisé par le nombre d'éléments de l'univers.\\

Soit A l'événement : \og{} le jeton est vert \fg{}, B l'événement : \og{} le jeton est carré \fg{} et C l'événement : \og{} le jeton est carré et n'est pas bleu \fg{}.
\begin{enumerate}
\item %Calculer les probabilités respectives de A, de B et de C.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $p(A)=\dfrac{10}{40}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{1}{4}}}$

\item $p(B)=\dfrac{18}{40}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{9}{20}}}$

\item $p(C)=\dfrac{8}{40}=\dfrac{1}{5}$ (car il y a quatre jetons carrés verts et quatre jetons carrés noirs).
\end{enumerate}

\item %Exprimer par une phrase l'événement $\overline{\text{A}}$.
$\overline{\text{A}}$ est l'événement \og{}\textbf{\textcolor{red}{le jeton n'est pas vert}}\fg{} ou \og{}\textbf{\textcolor{red}{le jeton est noir ou bleu}}\fg{}.

\item %Calculer les probabilités des événements contraires de A, de B et de C.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $p\left(\overline{A}\right)=1-p(A)=\dfrac{3}{4}$

\item $p\left(\overline{B}\right)=1-p(B)=\dfrac{11}{20}$

\item $p\left(\overline{C}\right)=\dfrac{4}{5}$
\end{enumerate}

\item %Exprimer par une phrase les événements $A\cap B$ et $A\cup B$ et calculer leurs probabilités.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $\text{A}\cap \text{B}$ est l'événement \og{}le jeton est vert \textbf{et} carré\fg{}.

\noindent $p(\text{A}\cap \text{B})=\dfrac{4}{40}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{1}{10}}}$.

\item $\text{A}\cup \text{B}$ est l'événement \og{}le jeton est vert \textbf{ou} carré\fg{}.

\noindent $p(\text{A}\cup \text{B})=p(\text{A})+p(\text{B})-p(\text{A}\cap \text{B})=\dfrac{1}{4}+\dfrac{9}{20}-\dfrac{1}{10}=\dfrac{5}{20}+\dfrac{9}{20}-\dfrac{2}{20}=\dfrac{12}{20}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{3}{5}}}$.
\end{enumerate}

\end{enumerate}
\end{enumerate}


\newpage


\subsection{}
%Mathieu va à la cantine. Il a le choix entre :

%\begin{itemize}
%\item trois entrées (salade, avocat, charcuterie)
%
%\item deux plats (poisson, viande)
%
%\item deux desserts (fruit, yaourt)
%\end{itemize}

\begin{enumerate}
\item %Représenter la situation à l'aide d'un arbre.
Représentons la  situation à l'aide d'un arbre :

\begin{center}
%\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}
\psset{nodesep=0mm,levelsep=55mm,treesep=2mm}
\pstree[treemode=R]{\Tdot}
{
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{salade}\taput{ $$}}
{
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{poisson}\taput{ $$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{fruit}\taput{ $$}
\Tdot~[tnpos=r]{yaourt}\tbput{ $$}
}
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{viande}\tbput{ $$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{fruit}\taput{ $$}
\Tdot~[tnpos=r]{yaourt}\tbput{ $$}
}
}
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{avocat}\taput{ $$}}
{
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{poisson}\taput{ $$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{fruit}\taput{ $$}
\Tdot~[tnpos=r]{yaourt}\tbput{ $$}
}
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{viande}\tbput{ $$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{fruit}\taput{ $$}
\Tdot~[tnpos=r]{yaourt}\tbput{ $$}
}
}
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{charcuterie}\tbput{ $$}}
{
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{poisson}\taput{ $$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{fruit}\taput{ $$}
\Tdot~[tnpos=r]{yaourt}\tbput{ $$}
}
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{viande}\tbput{ $$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{fruit}\taput{ $$}
\Tdot~[tnpos=r]{yaourt}\tbput{ $$}
}
}
}


\end{center}

\item %Combien de menus peut-il confectionner ? (on admet qu'il prend une entrée, un plat et un dessert)
Il peut confectionner douze menus différents puisqu'il y a douze branches dans l'arbre.

\item Mathieu choisit  au hasard chacune des composantes de son menu.

\noindent %Quelle est a probabilité que celui-ci comporte une salade et un fruit ?
La probabilité que celui-ci comporte une salade et un fruit  est $\dfrac{2}{12}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{1}{6}}}$, car deux menus comportent une salade et un fruit.

\end{enumerate}



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{}
Une fourmi se déplace sur les arêtes dun tétraèdre ABCD. Depuis un sommet quelconque, elle se déplace vers un sommet voisin.
\psset{xunit=0.7cm,yunit=0.7cm}
\begin{center}
\psset{algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(2.,0.)(8.,7)
\psline(3.44,3.)(5.56,1.2)
\psline(5.56,1.2)(7.2,2.92)
\psline[linestyle=dashed](3.44,3.)(7.2,2.92)
\psline(3.44,3.)(5.54,5.9)
\psline(5.56,1.2)(5.54,5.9)
\psline(7.2,2.92)(5.54,5.9)
\begin{scriptsize}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](3.44,3.)
\uput[l](3.44,3){\blue{$A$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](5.56,1.2)
\uput[d](5.56,1.2){\blue{$B$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](7.2,2.92)
\rput[bl](7.28,3.04){\blue{$C$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](5.54,5.9)
\rput[bl](5.62,6.02){\blue{$D$}}
\end{scriptsize}
\end{pspicture*}
\end{center}

La fourmi se trouve en A ; elle parcourt \textbf{deux} arêtes.

Traçons un arbre illustrant la situation
\begin{center}
%\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}
\psset{nodesep=0mm,levelsep=35mm,treesep=4mm}
\pstree[treemode=R]{\Tcircle{A}}
{
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$B$}\taput{ $$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$A$}\taput{ $$}
\Tdot~[tnpos=r]{$C$}\taput{ $$}
\Tdot~[tnpos=r]{$D$}\tbput{ $$}
}
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$C$}\taput{ $$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$A$}\taput{ $$}
\Tdot~[tnpos=r]{$B$}\taput{ $$}
\Tdot~[tnpos=r]{$D$}\tbput{ $$}
}
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$D$}\tbput{ $$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$A$}\taput{ $$}
\Tdot~[tnpos=r]{$B$}\taput{ $$}
\Tdot~[tnpos=r]{$C$}\tbput{ $$}
}
}


\end{center}
L'univers est constitué des neuf trajets $\left(3^2\right)$ possibles.

$\Omega=\{ABA-ABC-ABD-ACA-ACB-ACD-ADA-ADB-ADC\}$

\begin{enumerate}
\item %Quelle est la probabilité que la fourmi se trouve :

\begin{enumerate}
\item %en A ?
La probabilité que la fourmi se trouve en A au bout du trajet de deux arêtes est $p(\text{A})=\dfrac{3}{9}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{1}{3}}}$

\item %en B ?
La probabilité que la fourmi se trouve en B au bout du trajet de deux arêtes est $p(\text{B})=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{2}{9}}}$


\item % En C ?
La probabilité que la fourmi se trouve en C au bout du trajet de deux arêtes est $p(\text{C})=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{2}{9}}}$


\item %En D ?
La probabilité que la fourmi se trouve en D au bout du trajet de deux arêtes est $p(\text{D})=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{2}{9}}}$

\end{enumerate}

\item %Quelle relation doit vérifier ces quatre nombres ?

%Vérifier que c'est bien le cas.
La somme de ces quatre nombres doit être égale à 1.

$\dfrac{3}{9}+\dfrac{2}{9}+\dfrac{2}{9}+\dfrac{2}{9}=\dfrac{9}{9}=1$
\end{enumerate}


\newpage


\subsection{}
%Pour organiser le passage à l’oral de leur épreuve de langue, les élèves tirent au hasard trois cartons, un dans chacune des trois urnes.
%
%La première urne contient les lettres \og{}A\fg{}, \og{}B\fg{} et \og{}C\fg{}.
%
%La seconde urne contient les nombres \og{}25\fg{} et \og{}27\fg{}.
%
%La dernière urne contient les mots \og{}M\fg{} et \og{}AM\fg{}.
%
%Obtenir le tirage (A~;~25~;~M) signifie que l’élève passera son oral le 25 juin au matin avec le sujet A.

\begin{enumerate}
\item %Décrire la situation à l’aide d’un arbre.
Arbre :
\begin{center}
%\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}
\psset{nodesep=0mm,levelsep=25mm,treesep=3mm}
\pstree[treemode=R]{\Tdot}
{
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$A$}\taput{ $$}}
{
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$25$}\taput{ $$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{M}\taput{ $$}
\Tdot~[tnpos=r]{AM}\tbput{ $$}
}
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$27$}\tbput{ $$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$M$}\taput{ $$}
\Tdot~[tnpos=r]{$AM$}\tbput{ $$}
}
}
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$B$}\taput{ $$}}
{
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$25$}\taput{ $$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$M$}\taput{ $$}
\Tdot~[tnpos=r]{$AM$}\tbput{ $$}
}
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$27$}\tbput{ $$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$M$}\taput{ $$}
\Tdot~[tnpos=r]{$AM$}\tbput{ $$}
}
}
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$C$}\tbput{ $$}}
{
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$25$}\taput{ $$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$M$}\taput{ $$}
\Tdot~[tnpos=r]{$AM$}\tbput{ $$}
}
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$27$}\tbput{ $$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$M$}\taput{ $$}
\Tdot~[tnpos=r]{$AM$}\tbput{ $$}
}
}
}
\end{center}

\item %Combien y a-t-il de tirages possibles ?
On voit que l'arbre qu'il y a \textbf{12} tirages possibles ($3\times 2\times 2=12$).

\item Après le tirage on choisit un élève au hasard.
\begin{enumerate}
\item %Quelle est la probabilité que l’élève choisi passe le matin 
6 branches aboutissent à M, donc la probabilité que l'élève choisi passe le matin est $\dfrac{6}{12}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{1}{2}}}$ (moitié des chemins possibles)

\item %Quelle est la probabilité que l’élève choisi passe le 27 juin 
La probabilité que l’élève choisi passe le 27 juin est $\dfrac{6}{12}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{1}{2}}}$. (6 tirages possibles sur les 12)

\item %Quelle est la probabilité que l’élève choisi soit interrogé sur le sujet C ?
La probabilité que l’élève choisi soit interrogé sur le sujet C est $\dfrac{4}{12}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{1}{3}}}$. (4 chemins issus de C)

\item %Quelle est la probabilité que l’élève choisi passe l’après-midi avec le sujet B ?
La probabilité que l’élève choisi passe l’après-midi avec le sujet B est $\dfrac{2}{12}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{1}{6}}}$. (2 chemins possibles, correspondant aux deux dates possibles)
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{multicols}

\label{fin}
\end{document}  