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\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{2\up{nde} : correction des exercices sur les inéquations}}\end{center}




\subsection{}
Alice a obtenu 9 et 11 sur 20 aux deux derniers contrôles, affecté chacun d'un coefficient 1.
\begin{enumerate}[a)]
\item %Écrire l'inéquation permettant de trouver la note minimale qu'elle doit obtenir au prochain devoir affecté, lui, du coefficient 2, pour obtenir une moyenne supérieure ou égale à 12.
On note $x$ la note minimale qu'elle doit obtenir. Sa moyenne est alors $\dfrac{9+11+2x}{4}\Leftrightarrow \dfrac{20+2x}{4}\geqslant 12\Leftrightarrow \dfrac{2(10+x)}{2\times 2}\geqslant 12\Leftrightarrow \dfrac{10+x}{2}\geqslant 12$.



\item %Résoudre alors cette inéquation. 
Résolution : L'inéquation est donc $\dfrac{10+x}{2}\geqslant 12\Leftrightarrow 10+x\geqslant 24\Leftrightarrow x\geqslant 24-10=\boxed{\textcolor{red}{14}}$.

Elle doit donc avoir au moins 14 au troisième contrôle pour avoir une moyenne supérieure ou égale à 12.
\end{enumerate}

\subsection{}
On veut déterminer l'arête d'un cube devant contenir au moins deux litres d'eau.

%Mettre le problème en inéquation.
On note $x$ la longueur d'une arête en dm. on sait qu'un dm$^3$ correspond à un litre.

On doit donc avoir $\boxed{\textcolor{red}{x^3\geqslant 2}}$.

Remarque : comme la fonction $x\mapsto x^3$ est croissante (voir cours de Première), les solutions de cette inéquation forment un intervalle : $\mathscr{S}=\left[\sqrt[3]{2}~;~+\infty\right[$, où $\sqrt[3]{2}$ est la racine cubique de 2, c'est-à-dire  le nombre dont le cube est 2.

\subsection{}
Déterminer les signes des fonctions suivantes.
\begin{enumerate}[a) ]
\item $f(x)=(x+6)^2-25$

On factorise : $f(x)=(x+6)^2-5^2=[(x+6)+5][(x+6)-5]$ donc $\boxed{\textcolor{red}{f(x)=(x+11)(x+1)}}$.

$f(x)=0$ pour $x=-11$ ou $x=-1$ car un produit de facteurs est nul si, et seulement si, l'un des facteurs est nul.

\textbf{\textcolor{red}{Tableau de signes }}: 

\begin{center}
\begin{variations}
x&\mI&&-11&&-1&&\pI\\
\hline
\text{Signe de }x+11&&-&\z&+&\l&+&\\
\hline
\text{Signe de }x+1&&-&\l&-&\z&+&\\
\hline
\text{Signe de }f(x)&&+&\z&-&\z&+&\\
\hline
\end{variations}
\end{center}
	

\bigskip

\item $g(x)=(5x-3)^2-(x-4)^2$

On factorise en reconnaissant une identité remarquable, du type $a^2-b^2=(a+b)(a-b)$.

$g(x)=(5x-3)^2-(x-4)^2=[(5x-3)+(x-4)][(5x-3)-(x-4)]=(5x-3+x-4)(5x-3-x+4)=(6x-7)(4x+1)$

$g(x)$ s'annule pour $x=\dfrac{7}{6}$ ou pour $x=-\dfrac{1}{4}$

\textbf{\textcolor{red}{Tableau de signes }}: 

\begin{center}
\begin{variations}
x&\mI&&-\dfrac{1}{4}&&\dfrac{7}{6}&&\pI\\
\hline
\text{Signe de }6x-7&&-&\l&-&\z&+&\\
\hline
\text{Signe de }4x+1&&-&\z&+&\l&+&\\
\hline
\text{Signe de }g(x)&&+&\z&-&\z&+&\\
\hline
\end{variations}
\end{center}



\newpage



\item $h(x)=x^2-7x=x(x-7)$.

$h(x)$ s'annule pour $x=0$ ou $x=7$.

\textbf{\textcolor{red}{Tableau de signes}} :

\begin{center}
\begin{variations}
x&\mI&&0&&7&&\pI\\
\hline
\text{Signe de }x&&-&\z&+&\z&+&\\
\hline
\text{Signe de }x-7&&-&\l&-&\l&+&\\
\hline
\text{Signe de }h(x)&&+&\z&-&\z&+&\\
\hline
\end{variations}
\end{center}

\bigskip

\item $k(x)=(-3x+8)(7x-4)-(-3x+8)(5-2x)$.

On factorise avec comme facteur commun $-3x+8$.

$k(x)=(-3x+8)\left[(7x-4)-(5-2x)\right]=(-3x+8)(7x-4-5+2x)=(-3x+8)(9x-9)=9(-3x+8)(x-1)$.

$k(x)$ s'annule en 1 ou en $\dfrac{8}{3}$ et $k(x)$ est du signe de $(-3x+8)(x-1)$ .

\textbf{\textcolor{red}{Tableau de signes}} :

\begin{center}
\begin{variations}
x&\mI&&1&&\dfrac{8}{3}&&\pI\\
\hline
\text{Signe de }-3x+8&&+&\l&+&\z&-&\\
\hline
\text{Signe de }x-1&&-&\z&+&\l&+&\\
\hline
\text{Signe de }k(x)&&-&\z&+&\z&-&\\
\hline
\end{variations}
\end{center}
\end{enumerate}

\subsection{}
 \begin{enumerate}[a) ]
   \item $x^2> 16\Leftrightarrow x^2-16>0\Leftrightarrow x^2-4^2>0\Leftrightarrow (x+4)(x-4)>0$
   
   $(x+4)(x-4)$ s'annule pour $x=-4$ ou $x=4$.
   
   \textbf{\textcolor{red}{Tableau de signes}} :

\begin{center}
\begin{variations}
x&\mI&&-4&&4&&\pI\\
\hline
\text{Signe de }x+4&&-&\z&+&\l&+&\\
\hline
\text{Signe de }x-4&&-&\l&-&\z&+&\\
\hline
\text{Signe de }(x+4)(x-4)&&+&\z&-&\z&+&\\
\hline
\end{variations}
\end{center}
L'ensemble des solutions est donc $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\left]-\infty~;~-4\right[\cup\left]4~;~+\infty\right[}}$
\bigskip

   \item $16 x^2 + 8 x + 1 >  0\Leftrightarrow (4x)^2+2\times 4x\times 1+1^2>0\Leftrightarrow (4x+1)^2>0$ (on a reconnu une identité remarquable).

$(4x+1)^2=0$ pour $x=-\dfrac{1}{4}$ et $(4x+1)^2>0$ pour toutes les autres valeurs de $x$ car le carré d'un nombre réel est positif ou nul.

L'ensemble de solutions est donc $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\left]-\infty~;~-\dfrac{1}{4}\right[\cup\left]-\dfrac{1}{4}~;~+\infty\right[}}$
\bigskip
   
   \item $ 64 x^2 - 121 >0\Leftrightarrow (8x)^2-11^2>0\Leftrightarrow (8x+11)(8x-11)>0$.
   
   $(8x+11)(8x-11)$ s'annule pour $x=-\dfrac{11}{8}$ ou $x=\dfrac{11}{8}$

\textbf{\textcolor{red}{Tableau de signes}} :

\begin{center}
\begin{variations}
x&\mI&&-\dfrac{11}{8}&&\dfrac{11}{8}&&\pI\\
\hline
\text{Signe de }8x+11&&-&\z&+&\l&+&\\
\hline
\text{Signe de }8x-11&&-&\l&-&\z&+&\\
\hline
\text{Signe de }(8x+11)(8x-11)&&+&\z&-&\z&+&\\
\hline
\end{variations}
\end{center}
L'ensemble des solutions est donc $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\left]-\infty~;~-\dfrac{11}{8}\right[\cup\left]\dfrac{11}{8}~;~+\infty\right[}}$

   

\bigskip
   
   \item $ 49 - (3 + x)^2 \leqslant 0\Leftrightarrow 7^2-(3+x)^2\leqslant 0\Leftrightarrow [7+(3+x)][7-(3+x)]\leqslant 0\Leftrightarrow (10+x)(4-x)\leqslant 0$.
   
$(10+x)(4-x)$ s'annule pour $x=-10$ ou $x=4$

\textbf{\textcolor{red}{Tableau de signes}} :

\begin{center}
\begin{variations}
x&\mI&&-10&&4&&\pI\\
\hline
\text{Signe de }10+x&&-&\z&+&\l&+&\\
\hline
\text{Signe de }4-x&&+&\l&+&\z&-&\\
\hline
\text{Signe de }(10+x)(4-x)&&-&\z&+&\z&-&\\
\hline
\end{variations}
\end{center}
L'ensemble des solutions est donc $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\left]-\infty~;~-10\right]\cup\left[4~;~+\infty\right[}}$

  \end{enumerate}

\subsection{}
%Résoudre les inéquations :

\begin{enumerate}[a) ]
\item Soit l'inéquation $\dfrac{3 x - 1}  {   7 x -9} - \dfrac{  3 - x}  {  7 x -9}\leqslant 0$

\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item L'ensemble de définition est $\mathscr{D}=\mathbb{R}\setminus\left\{\dfrac{9}{7}\right\}$ car le dénominateur s'annule pour $x=\dfrac{9}{7}$.

\item On suppose que $s\in\mathscr{D}$ .

L'inéquation s'écrit alors : $\dfrac{(3x-1)-(3-x)}{7x-9}\leqslant 0\Leftrightarrow \dfrac{3x-1-3+x}{7x-9}\leqslant 0\Leftrightarrow \dfrac{4x-4}{7x-9}\leqslant 0\Leftrightarrow \dfrac{4(x-1)}{7x-9}\leqslant 0$ 

\item $4(x-1)$ s'annule pour $x=1$ et est du signe de $x-1$

\item Tableau de signes :
\begin{center}
\begin{variations}
x&\mI&&1&&\dfrac{9}{7}&&\pI\\
\hline
4(x-1)&&-&\z&+&\bb&+&\\
\hline
7x-9&&-&\l&-&\bb&+&\\
\hline
 \dfrac{4(x-1)}{7x-9}&&+&\z&-&\bb&+&\\
\hline
\end{variations}
\end{center}
\item On en déduit que l'ensemble des solutions est $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\left[1~;~\dfrac{9}{7}\right[}}$.

\end{enumerate}

\bigskip

\item Soit l'inéquation $\dfrac{5 + x}  {( x -6)( 7 x + 8)}\leqslant 0$
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item L'ensemble de définition est $\mathscr{D}=\mathbb{R}\setminus\left\{-\dfrac{8}{7}~;~6\right\}$ car $-\dfrac{8}{7}$ et 6 sont les deux valeurs qui annulent le dénominateur, donc les valeurs interdites.

\item $5+x=0\Leftrightarrow x=-5$

\item On en déduit le tableau de signes :
\begin{center}
\begin{variations}
x&\mI&&-5&&-\dfrac{8}{7}&&6&&\pI\\
\hline
5+x&&-&\z&+&\bb&+&\bb&+&\\
\hline
x-6&&-&\l&-&\bb&-&\bb&+&\\
\hline
7x+8&&-&\l&-&\bb&+&\bb&+&\\
\hline
\dfrac{5 + x}  {( x -6)( 7 x + 8)}&&-&\z&+&\bb&-&\bb&+&\\
\hline
\end{variations}
\end{center}

\item L'ensemble des solutions est $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=]-\infty~;~-5]\cup\left]-\dfrac{8}{7}~;~6\right[}}$
\end{enumerate}
\end{enumerate}


\label{fin}
\end{document}  