\documentclass[12pt] {article} \usepackage[T1]{fontenc} 
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{amsmath,amssymb,graphicx,multicol,mathrsfs, fancyhdr,enumerate,fourier,eurosym,alterqcm,enumerate,tabularx,variations,numprint}
\usepackage[dvips]{color}
\usepackage{bclogo}
\usepackage{pst-plot,pst-tree,pstricks,pst-node,pstricks-add,pst-math,pst-xkey,pst-eucl}
\usepackage[francais]{babel} 
\everymath{\displaystyle}
%\usepackage[colorlinks=true,pdfstartview=FitV,linkcolor=blue,citecolor=blue,urlcolor=blue]{hyperref}
\textwidth 19cm \textheight 26cm \hoffset 
-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{empty}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{ 2\up{nde} :  TD (développements-factorisations)}}\end{center}



\textbf{\textcolor{red}{Solutions} : }

\subsection{}

\begin{enumerate}
\item Développer : $\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)=\sqrt{3}^2-\sqrt{2}^2=3-2=\boxed{\textcolor{red}{1}}$

\item En utilisant l'identité remarquable $(a+b)^2$, développer $(a+b)^3$.
$(a+b)^3=(a+b)(a+b)^2=(a+b)\left(a^2+2ab+b^2\right)=a^3+a\times 2ab+ab^2+ba^2+b\times 2ab+b^3=^3+2a^2b=ab^2+a^2b++2ab^2+b^3=\boxed{\textcolor{red}{a^3+3a^2b+3ab^2+b^3}}$

\item En déduire le développement de $(a-b)^3$.

On remarque que $a-b=a+(-b)$ ; il suffit donc de remplacer $b$ par $-b$ dans l'expression précédente. On en déduit :

$\boxed{\textcolor{red}{(a-b)^3=a^3-3a^2b+ab^2-b^3}}$.

\item Développer $(a-b)\left(a^2+ab+b^2\right)$
On obtient : $a^3+a^2b+ab^2-ba^2-ab^2-b^3=\boxed{\textcolor{red}{a^3-b^3}}$

\item Pour tous nombres $a$, $b$ et $c$, on obtient : $\boxed{\textcolor{red}{ab-ac+bc-ab+ac-bc=0}}$ ; 

\end{enumerate}



\subsection{}
Développer les expressions suivantes :

\begin{enumerate}[$A$]
\item $\left (\sqrt{x}+\sqrt{y}\right )\left (\sqrt{x}-\sqrt{y}\right )=\sqrt{x}^2-\sqrt{y}^2=\boxed{\textcolor{red}{x-y}}$

\item $\left(x^2+y^2\right)^2=(a+b)^2$ avec $a=x^2$ et $b=y^2$.

D'où $\left(x^2+y^2\right)^2=(a+b)^2=a^2+2ab+b^2=\left(x^2\right)^2+2x^2y^2+\left(y^2\right)^2=\boxed{\textcolor{red}{x^4+2x^2y^2+y^4}}$

\item Pour tout $x\neq 0$, $\left(x+\dfrac{1}{x}\right)^2=x^2+2\times x\times \dfrac{1}{x}\times \left(\dfrac{1}{x}\right)^2=\boxed{\textcolor{red}{x^2+2+\dfrac{1}{x^2}}}$ 
\end{enumerate}

\subsection{}
Factoriser les expressions suivantes :

\begin{enumerate}[$A(x)=$ ]
\item $(2x+7)(x-1)-(4x+14)(3x-5)=\textcolor{red}{(2x+7)}(x-1)-2\textcolor{red}{(2x+7)}(3x-5)=(2x+7)[(x-1)-2(3x-5)]=(2x+7)(x-1-6x+10)=\boxed{\textcolor{red}{(2x+7)(-5x+9)}}$

\item $(2x-3)(4x-7)+(3-2x)(5x-1)=\textcolor{red}{(2x-3)}(4x-7)+(-1)\textcolor{red}{(2x-3)}(5x-1)\\
=(2x-3)\left[(4x-7)-(5x-1)\right]=(2x-3)(4x-7-5x+1)=\boxed{\textcolor{red}{(2x-3)(-x-6)}}$

\bigskip

En effet : $(-1)(2x-3)=-2x+3=3-2x$ donc $3-2x$ et $2x-3$ sont des nombres opposés.


\item $(x-1)(2+x)+(x+5)(1-x)=\textcolor{red}{(x-1)}(2+x)-(x+5)\textcolor{red}{(x-1)}=(x-1)\left[(2+x)-(x+5)\right]=(x-1)(2+x-x-5)\\
=\boxed{\textcolor{red}{-3(x-1)}}$

\item $\textcolor{red}{x^3+x^2}+x+1=x^2\textcolor{red}{(x+1)}+\textcolor{red}{x+1}=\boxed{\textcolor{red}{(x+1)\left(x^2+1\right)}}$
\end{enumerate}


\label{fin}
\end{document}  