\documentclass[10pt] {article} \usepackage[T1]{fontenc} 
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{amsmath,amssymb,graphicx,multicol,mathrsfs, fancyhdr,enumerate,fourier,eurosym,alterqcm,enumerate,tabularx,variations,numprint}
\usepackage[dvips]{color}
\usepackage{bclogo}
\usepackage{pst-plot,pst-tree,pstricks,pst-node,pstricks-add,pst-math,pst-xkey,pst-eucl}
\usepackage{paralist}
\usepackage{tabto}
\usepackage[francais]{babel} 
\everymath{\displaystyle}
%\usepackage[colorlinks=true,pdfstartview=FitV,linkcolor=blue,citecolor=blue,urlcolor=blue]{hyperref}
\textwidth 19cm \textheight 26cm \hoffset 
-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{fancy}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Correction du contrôle commun \no 3 de mathématiques}}\end{center}

\subsection{}
Les questions suivantes sont \textbf{indépendantes}.
\begin{enumerate}
\item %Factoriser l'expression:
Factorisation : on remarque que l'expression a un facteur commun qui est $x-6$ :

$A(x)=(-5x+3)(x-6)-(4x+7)(x-6)=(x-6)\left[(-5x+3)-4x\right]=(x-6)(-5x+3-4x-7)=\boxed{\textcolor{red}{(x-6)(-9x-4)=-(x-6)(9x+4)}}$

\item 
	\begin{enumerate}
	\item %Dresser le tableau de variations de la fonction $f$ définie par:
$f(x)=5(x-2)^2+4=a(x-\alpha)^2+\beta$ avec $\begin{cases}a=5\\\alpha=2\\\beta=4\end{cases}$.

$a=5$ est positif donc la fonction est d'abord décroissante sur $]-\infty~;~\alpha]$ puis croissante sur $[\alpha~;~+\infty[$.

Le sommet de la parabole $S$ a pour coordonnées $(\alpha~;~\beta)=(2~;~4)$  .

On en déduit le tableau de variation de $f$ : 
\begin{center}
\begin{variations}
x&\mI&&2&&\pI\\
\hline
\m{f(x)}&&\d&4&\c&\\
\hline
\end{variations}
\end{center}

	\item %En déduire le signe de $f(x)$.
	Le minimum de $f(x)$ est 4, donc la fonction est \textbf{\textcolor{red}{positive}} sur $\mathbb{R}$.
	\end{enumerate}

%\item Soient $A$ et $B$ deux événements tels que
%\begin{eqnarray*}
%p(A)&=&0,7\\
%p(B)&=&0,2\\
%p(A\cap B)&=&0,4
%\end{eqnarray*}
%Calculer $p(A\cup B)$

\item Dans un repère, on donne les points $E(7;-4)$ et $F(4;7)$ et le vecteur $\overrightarrow{u}$ de coordonnées : $\overrightarrow{u}\begin{pmatrix}3\\33\end{pmatrix}$ . 			
	\begin{enumerate}
	\item %Calculer les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{EF}$.
	$\overrightarrow{EF}\begin{pmatrix}x_F-x_E\\y_F-y_E\end{pmatrix}$ donc $\overrightarrow{EF}\begin{pmatrix}-3\\11\end{pmatrix}$.
	
	\item %Les vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{EF}$ sont-ils colinéaires?
	$\overrightarrow{EF}\begin{pmatrix}-3\\11\end{pmatrix}$ ; $\overrightarrow{u}\begin{pmatrix}3\\33\end{pmatrix}$.
	
	$(-3\times 33)-(3\times 11)=-99-11=\boxed{\textcolor{red}{-110\neq 0}}$. 
	
	La condition de colinéarité n'est pas vérifiée : ces vecteurs ne sont \textbf{\textcolor{red}{pas colinéaires}}
	
	\end{enumerate}
\item Dans une expérience aléatoire, on considère les événements $A$ et $B$. 
	
	On sait que $P(A\cap B)=0,3$ \ , \ $P(A)=0,5$ et $P(B)=0,6$.
		\begin{enumerate}
		
		\item %Calculer $P(A\cup B)$.
		$p(A\cup B)=p(A)+p(B)-p(A\cap B)=0,35+0,5-0,6=0,25$ : $\boxed{\textcolor{red}{p(A\cup B)=0,25}}$.
		
		\item %Calculer $P(\overline{A})$ et $P(\overline{B})$.
		$p\left(\overline{A}\right)=1-p(A)=1-0,35=0,65$ : $\boxed{\textcolor{red}{p\left(\overline{A}\right)==0,65}}$
		
		$p\left(\overline{B}\right)=1-p(B)=1-0,5=0,5$ : $\boxed{\textcolor{red}{p\left(\overline{B}\right)=0,5}}$.
		
		\item %Calculer $P(\overline{A\cup B})$.
		$P(\overline{A\cup B})=1-P(A\cup B)=1-0,25=0,75$ : $\boxed{\textcolor{red}{P(\overline{A\cup B})=0,75}}$.
		
		%\item En déduire $P(\overline{A}\cap\overline{B})$ et $P(\overline{A}\cup\overline{B})$.

\end{enumerate}
\end{enumerate}

\subsection{}
\label{2nddegre}
Soit $f$ la fonction polynôme de degré 2 définie sur $\mathbb{R}$ par :
\[f (x)=4x^2-12x+5\text{ (\textbf{forme 1})}\]

\begin{enumerate}

\item %Démontrer que pour tout $x\in\mathbb{R}$,
%\[f(x)=(2 x-5)(2 x-1)\text{ (\textbf{forme 2})}.\]
Pour tout $x\in\mathbb{R}$, $(2 x-5)(2 x-1)=4x^2-2x-10x+5=4x^2-12x+5=f(x)$ donc $\boxed{\textcolor{red}{f(x)=(2 x-5)(2 x-1)}}$ (\textbf{\textcolor{red}{forme 2}})

\item %Démontrer que pour tout $x\in\mathbb{R}$ ,
%\[f (x)=4\left(x-\dfrac 32\right)^2-4\text{ (\textbf{forme 3})}.\]
$f(x)=4x^2-12x+5=ax^2+bx+c$ avec $\begin{cases}a=4\\b=-12\\c=5\end{cases}$.

La \textbf{\textcolor{red}{forme canonique}} est $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$ avec $\alpha=-\dfrac{b}{2a}$ et $\beta=f(\alpha)$.

On a : $\alpha=-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{-12}{2\times 4}=\dfrac{12}{8}=\dfrac{3}{2}$.

$\beta=f(\alpha)=f\left(\dfrac{3}{2}\right)=4\times \left(\dfrac{3}{2}\right)^2-12\times \dfrac{3}{2}+5=9-18+5=-4$

On en déduit que : $\boxed{\textcolor{red}{f(x)=4\left(x-\dfrac{3}{2}\right)^2-4}}$ (\textbf{\textcolor{red}{forme 3}})

\item En utilisant la forme de $f(x)$ la plus adaptée, répondre aux questions suivantes :
\begin{enumerate}
\item %Calculer $f(0)$.
Pour calculer $f(0)$, on utilise la forme 1 : $\boxed{\textcolor{red}{f(0)=5}}$.

\item %Établir le tableau de variation de la fonction $f$.
\textbf{\textcolor{red}{Tableau de variation :}}
On utilise la forme 3 (forme canonique) : $f(x)=4\left(x-\dfrac{3}{2}\right)^2-4$.

Le coefficient $a$ est $a=4>0$ donc la fonction est d'abord décroissante puis croissante ; les coordonnées du sommet sont $(\alpha~;~\beta)$ donc $\left(\dfrac{3}{2}~;~-4\right)$.

Le tableau de variation est : 
\begin{center}
\begin{variations}
x&\mI&&\dfrac{3}{2}&&\pI\\
\hline
\m{f(x)}&&\d&-4&\c&\\
\hline
\end{variations}
\end{center}

\item %Déterminer les antécédents éventuels de 5 par f.
Antécédents  de 5 par $f$ : on utilise la forme 1

$f(x)=5\Leftrightarrow 4x^2-12x+5=5\Leftrightarrow 4x^2-12x=0\Leftrightarrow 4x(x-3)=0$.

Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, l'un des facteurs est nul.

On en déduit que $x=0$ ou $x=3$.

\fbox{\textcolor{red}{Les antécédents de 5 par $f$ sont 0 et 3}}.

\item %Résoudre l'inéquation $f(x)\geqslant 0$.
$f(x)\geqslant 0\Leftrightarrow (2 x-5)(2 x-1)\geqslant 0$

Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, l'un des facteurs est nul, donc les racines sont $\dfrac{5}{2}$ et $\dfrac{1}{2}$.

$2x-5$ est négatif pour $x\leqslant \dfrac{5}{2}$ (fonction affine croissante)``

$2x-1$ est négatif pour $x\leqslant \dfrac{1}{2}$ (fonction affine croissante)

On en déduit le tableau de signes : 

\begin{center}
\begin{variations}
x&\mI&&\dfrac{1}{2}&&\dfrac{5}{2}&&\pI\\
\hline
2x-5&&-&\l&-&\z&+&\\
\hline
2x-1&&-&\z&+&\l&+&\\
\hline
f(x)=(2x-5)(2x-1)&&+&\z&-&\z&+&\\
\hline
\end{variations}
\end{center}
On en déduit que $f(x)\geqslant 0$ pour $x\leqslant \dfrac{1}{2}$ ou $x\geqslant \dfrac{3}{2}$.

$\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\left]-\infty~;~\dfrac{1}{2}\right]\cup\left[\dfrac{3}{2}~;~+\infty\right[}}$
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\subsection{}
\label{canonique}

\begin{center}
\psset{xunit=0.7cm,yunit=0.9cm,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=5pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-7.,-6.)(7.,8.)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1.,Dy=1.,ticksize=-2pt 0,subticks=2,linewidth=2pt]{->}(0,0)(-7.,-6.)(7.,8.)
\psgrid[subgriddiv=1,gridwidth=0.5pt,gridlabels=0](-7.,-6.)(7.,8.)
\psplot[linewidth=2pt,linecolor=black,plotpoints=200]{-7.0}{7.0}{2.0*(x-3.0)^(2.0)+4.0}
\psplot[linewidth=2pt,linecolor=black,plotpoints=200]{-7.0}{7.0}{3.0*(x+3.0)^(2.0)+4.0}
\psplot[linewidth=2pt,linecolor=black,plotpoints=200]{-7.0}{7.0}{-2.0*(x-4.0)^(2.0)+3.0}
\psplot[linewidth=2pt,linecolor=black,plotpoints=200]{-7.0}{7.0}{-(x+1.0)^(2.0)-2.0}
\psplot[linewidth=2pt,linecolor=black,plotpoints=200]{-7.0}{7.0}{5.0*x^(2.0)+1.0}
\psplot[linewidth=2pt,linecolor=black,plotpoints=200]{-7.0}{7.0}{-3.0*(x+1.0)^(2.0)+6.0}
\uput[ul](0,0){0}
\uput[ul](-4,7){$\mathscr{C}_1$}
\uput[ul](-2,3){$\mathscr{C}_2$}
\uput[dl](1,6){$\mathscr{C}_3$}
\uput[ul](-1,-2){$\mathscr{C}_4$}
\uput[ur](4,6){$\mathscr{C}_5$}
\uput[ur](5,1){$\mathscr{C}_6$}
\end{pspicture*}
\end{center}

%Associer à chacune des fonctions polynomiales de degré $2$ suivantes (données sous forme canonique) la courbe lui correspondant. 

%\textbf{Justifier soigneusement.} 


\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\begin{enumerate}[$\diamond$]
\item $f(x)= 2(x-3)^2+4$ ; 2>0 donc la fonction est décroissante puis croissante avec un minimum égal à 4 atteint pour $x=3$.

La courbe représentative de $f$ est $\mathscr{C}_5$.

\bigskip

\item $g(x)= -2(x-4)^2+3$ ; -2<0 donc la fonction est croissante puis décroissante avec un maximum égal à 3 atteint pour $x=4$.

La courbe représentative de $g$ est $\mathscr{C}_6$.

\bigskip

\item $h(x)= 3(x+3)^2+4$ ; 3>0 donc la fonction est décroissante puis croissante avec un minimum égal à 4 atteint pour $x=-3$.

La courbe représentative de $h$ est $\mathscr{C}_1$.

\bigskip

\item $i(x)= -(x+1)^2-2$; -1<0 donc la fonction est croissante puis décroissante avec un maximum égal à -2 atteint pour $x=-1$.

La courbe représentative de $i$ est $\mathscr{C}_4$.

\bigskip

\item $j(x)= 5x^2+1$ ; 5>0 donc la fonction est décroissante puis croissante avec un minimum égal à 1 atteint pour $x=0$.

La courbe représentative de $i$ est $\mathscr{C}_3$.

\bigskip

\item $k(x)= -3(x+1)^2+6$; -3<0 donc la fonction est croissante puis décroissante avec un maximum égal à 6 atteint pour $x=-1$.

La courbe représentative de $k$ est $\mathscr{C}_2$.
 \end{enumerate}

\end{multicols}

\bigskip

\textbf{\textcolor{red}{Résumé}}

\bigskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
Fonction&f&g&h&i&j&k\\
\hline
Courbe&$\mathscr{C}_5$&$\mathscr{C}_6$&$\mathscr{C}_1$&$\mathscr{C}_4$&$\mathscr{C}_3$&$\mathscr{C}_2$\\
\hline
\end{tabularx}
\subsection{}
\label{colinearite}

\begin{center}
\psset{unit=0.5cm,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=5pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-2,-2)(26,14)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1.,Dy=1.,ticksize=-2pt 0,subticks=2,linewidth=2pt,labels=none]{->}(0,0)(-2,-2)(26,14)
\psgrid[subgriddiv=1,gridwidth=.7pt,gridlabels=0](-2,-2)(26,14)
\uput[dl](0,0){0}
\psdots[dotstyle=x,dotscale=2](0,13)(13,7)(25,0)
\uput[ur](0,13){C}
\uput[ur](13,7){E}
\uput[dl](25,0){F}
%\uput[d](13,0){A}
%\uput[u](13,13){B}
\uput[dr](1,0){I}\uput[ul](0,1){J}
\psline[linewidth=2pt](1,-0.4)(1,0.4)
\psline[linewidth=2pt](-0.4,1)(0.4,1)
\end{pspicture*}
\end{center}

$(O~;~I~;~J)$ est un repère orthonormé.

Par le calcul, déterminer si les points $C$, $E$ et $F$ de la figure ci-dessus sont alignés.

Les coordonnées des points sont $C(0~;~13)$, $E(13~;~7)$ et $F(25~;~0)$.

Les coordonnées de $\overrightarrow{CE}$ sont $\overrightarrow{CE}\begin{pmatrix}13\\-6\end{pmatrix}$.

Les coordonnées de $\overrightarrow{CF}$ sont $\overrightarrow{CF}\begin{pmatrix}25\\-13\end{pmatrix}$.

$13\times (-13)-(-6)\times 25=-169+150=-19\neq 0$. D'après la condition de colinéarité, ces deux vecteurs ne sont pas colinéaires, donc les points C, E et F ne sont \textbf{\textcolor{red}{pas alignés}}.



\subsection{}
\label{vecteurs}
\textbf{Recopier} et compléter (en expliquant !) les égalités suivantes :

\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $\overrightarrow{RK}+\overrightarrow{KG}=\boxed{\textcolor{red}{\overrightarrow{RG}}}$ (d'après la relation de Chasles)

\bigskip


\item $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AB}=\boxed{\textcolor{red}{\overrightarrow{CB}}}$

\bigskip


\item $\overrightarrow{IM}-\textcolor{red}{\overrightarrow{RM}}=\overrightarrow{IR}$ car $\overrightarrow{IM}-\overrightarrow{RM}=\overrightarrow{IM}+\overrightarrow{MR}=\overrightarrow{IR}$

\bigskip

\item $\overrightarrow{KC}-\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{KB}=\overrightarrow{BK}+\overrightarrow{KC}+\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{0}+\overrightarrow{AC}=\boxed{\textcolor{red}{\overrightarrow{AC}}}$

\end{enumerate}

\subsection{}
\label{calculvectoriel}
%Dans un repère orthonormé $(O~;~I~;~J)$, on donne les points $A(3~;~6)$, $B(6~;~2)$.

%Le point $C$ est défini par $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{OI}+\dfrac{5}{2}\overrightarrow{OJ}$.
%\begin{enumerate}
%\item Calculer les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{BC}$.

%\item En déduire les coordonnées du point $C$.

%\item Déterminer les coordonnées du point $D$ tel que $ABCD$ soit un parallélogramme.
%\end{enumerate}

Dans un repère orthonormé $(O~;~I~;~J)$, on donne les points $A(5~;~-3)$, $B(7~;~1)$, $C(11~;~-2)$ et $D(9~;~-6)$.
\begin{enumerate}
\item %Démontrer que le quadrilatère $ABCD$ est un parallélogramme.
$\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}2\\4\end{pmatrix}$~;~$\overrightarrow{DC}\begin{pmatrix}2\\4\end{pmatrix}$.

Ces deux vecteurs sont égaux car ils ont les mêmes coordonnées. $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$ donc $ABCD$ est un parallélogramme.

\item Soit $E$ le point défini par l'égalité vectorielle suivante :
\[\overrightarrow{AE} = \dfrac{5}{2} \overrightarrow{BD}\]

	\begin{enumerate}
	\item %Que peut-on dire des droites $(AE)$ et $(BD)$ ?
	Puisque $\overrightarrow{AE}=\dfrac{5}{2}\overrightarrow{BD}$, les vecteurs $\overrightarrow{AE}$ et $\overrightarrow{BD}$ sont colinéaires donc les droites $(AE)$ et $(BD)$ sont parallèles.
	
	\item %Calculer les coordonnées du point $E$.
	On note $x_E$ et $y_E$ les coordonnées de $E$.

Alors  : $\overrightarrow{AE}\begin{pmatrix}x_E-5\\y_E+3\end{pmatrix}$ ; $\overrightarrow{BD}\begin{pmatrix}2\\-7\end{pmatrix}$ donc $\dfrac{5}{2}\overrightarrow{BD}\begin{pmatrix}5\\-\dfrac{35}{2}\end{pmatrix}$.

Les deux vecteurs sont égaux si, et seulement si, ils ont les mêmes coordonnées.

On doit avoir $\begin{cases}x_E-5=5\\y_E+3=-\dfrac{35}{2}\end{cases}$ d'où $\begin{cases}x_E=10\\y_E=-\dfrac{41}{2}\end{cases}$. E a pour coordonnées $\boxed{\textcolor{red}{E\left(10~;~-\dfrac{41}{2}\right)}}$

	\end{enumerate}
\end{enumerate}


\subsection{}
\label{probatableau}
Pour mieux satisfaire ses clients, une agence de voyages a envoyé un questionnaire leur demandant leurs habitudes en vacances. Les 200 réponses reçues sont répertoriées dans le tableau ci-dessous:\\

\bigskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
 &\bf{Voyage organisé }\rm &\bf{Club de vacances}\rm&\bf{Camping}\rm&\bf{Total}\rm\\ \hline
\bf{Part en famille}\rm& 29 & 55 & 26 & 110  \\ \hline
\bf{Part seul ou entre amis}\rm& 54  & 18 & 18 & 90\\ \hline
\bf{Total}\rm& 83 &  73 & 44 & 200 \\ \hline
\end{tabularx}
\\

\bigskip

On choisit un client au hasard parmi les 200 qui ont répondu au questionnaire.

\begin{enumerate}
	\item %Calculer la probabilité des événements suivants:
Soient les événements :

\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item A : \og{}le client choisi part en famille\fg{}

\item B : \og{}le client choisi préfère le camping\fg{}

\item C :  \og{}le client choisi ne part pas en club de vacances\fg{}.
\end{enumerate}
Chaque personne a la même chance d'être choisie, donc nous sommes en situation d'équiprobabilité.

On en déduit : 
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $p(A)=\dfrac{110}{200}=\dfrac{11}{20}$ : $\boxed{\textcolor{red}{p(A)=\dfrac{11}{20}}}$

\item $p(B)=\dfrac{44}{200}=\dfrac{11}{50}$ : $\boxed{\textcolor{red}{p(B)=\dfrac{11}{50}}}$

\item $p(C)=\dfrac{83+44}{200}=\dfrac{127}{200}$ : $\boxed{\textcolor{red}{p(C)=\dfrac{127}{200}}}$
\end{enumerate}

	\item %Décrire, par des phrases, les événements $A\cap B$ et $A\cup B$, puis calculer leur probabilité.
	$A\cap B$ est événement \og{}le client part en famille et préfère le camping\fg{}.
	
	$A\cup B$ est événement \og{}le client part en famille ou préfère le camping\fg{}.
	
	$p(A\cap B)=\dfrac{26}{200}=\dfrac{13}{100}$ : $\boxed{\textcolor{red}{p(A\cap B)=\dfrac{13}{100}}}$.
	
	$p(A\cup B)=p(A)+p(B)-p(A\cap B)=\dfrac{110}{200}+\dfrac{44}{200}-\dfrac{26}{200}=\dfrac{128}{200}=\dfrac{16}{25}$ ; $\boxed{\textcolor{red}{p(A\cup B)=\dfrac{16}{25}}}$.
\end{enumerate}







\label{fin}
\end{document}  