\documentclass[12pt] {article} \usepackage[T1]{fontenc} 
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\everymath{\displaystyle}
\textwidth 19cm \textheight 26cm \hoffset 
-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{fancy}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}
\rfoot{\small{Lycée Maurice Genevoix \\Année 2016-2017}}
\lfoot{10 novembre 2016}

\begin{document}

\begin{tabular}{p{13cm}lr}
(en \textbf{caractères majuscules d'imprimerie}) &\hfill jeudi 10 novembre 2016\\
NOM :&\\
PRÉNOM : &\\
CLASSE : 2\up{nde} \no \dots&
\end{tabular}

\vspace{4cm}
\fbox{\begin{minipage}{16cm}
\begin{center}
\huge Devoir commun de mathématiques \no 1 \\
2\up{nde}

\end{center}\end{minipage}}\\

\vspace{4cm}
\noindent Les exercices sont indépendants et peuvent être traités dans l'ordre voulu. \\

\noindent L'usage de la calculatrice est autorisé, mais le prêt de calculatrice est interdit. \\

\noindent La clarté des raisonnements et la qualité de la rédaction interviendront pour une part importante dans l'appréciation de la copie. Tout résultat devra être soigneusement justifié. \\

\noindent \textbf{Les élèves d'UPE2A sont autorisés à utiliser un dictionnaire}.

\vspace{1.5cm}
\noindent \textbf{Partie réservée à la correction :}\\ 
%\textbf{\textcolor{red}{à compléter}}\\

\noindent Exercice \ref{Vrai-Faux} sur  points : \\

\noindent Exercice \ref{algorithme} sur  points : \\

\noindent Exercice \ref{quadrilatère} sur  points : \\

\noindent Exercice \ref{lecture_graphique_courbe} sur 8,5 points : \\

\noindent Exercice \ref{antecedents-images} sur 10 points : \\

\noindent Exercice bonus sur 4 points : \\
%
%\newpage


\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Contrôle commun \no 1 de mathématiques}}\end{center}



\subsection{\textcolor{blue}{Vrai ou Faux}}
\label{Vrai-Faux}
Pour chacune des propositions ci-dessous, indiquer si elle est vraie ou fausse en justifiant. Toute réponse non justifiée ne sera pas prise en compte.
\begin{enumerate}
\item Si un quadrilatère a ses diagonales perpendiculaires, alors c'est un losange.
		
\bigskip

\item Si un point est à égale distance des extrémités d'un segment, alors ce point est le milieu du segment.

\bigskip

\item Le point $A(2;-4)$ appartient au cercle de centre $I(1;0)$ et de rayon $\sqrt{17}$.

\bigskip

\item Le point $B\left(-1;\frac13\right)$ appartient à la courbe représentative de la fonction $f$ définie par $f(x)=\frac1{2x+5}$.

\bigskip

\item Si $g(-1)=0$, alors $g$ est définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x)=x^2+x$.
\end{enumerate}


\subsection{}
\label{algorithme}
\fbox{\begin{tabular}{*{3}{l}}
1&:&Entrées : $x$\\
2&:&Sorties : $y$\\
3&:&$b\leftarrow x+3$\\
4&:&$c\leftarrow -4x^2$\\
5&:&$y\leftarrow 2b+c$\\
\end{tabular}}


\begin{enumerate}
\item Si l'entrée est 2, quelle est la sortie de cet algorithme ? Justifier.
			
\item Quelle est la fonction calculée par l'algorithme précédent ? Justifier.
\end{enumerate}




\subsection{}
\label{quadrilatère}
Dans un repère orthonormé $(O~;~I~;~J)$, on considère les points :

\[A(3~;~1) \ \ ; \ \ B(9~;~-1) \ \ ; \ \ C(8~;~6) \ \ \text{et} \ \ D\left(4~;~-6\right)\]

\begin{enumerate}
\item Faire une figure.

\item On cherche dans cette question à déterminer la nature exacte du quadrilatère $ACBD$.
\begin{enumerate}[$a.$]

\item Démontrer que $ACBD$ est un parallélogramme. 

\item Déterminer la nature exacte du triangle $ABC$.

\item En déduire la nature exacte du quadrilatère $ACBD$.
\end{enumerate}

\item Soit $E$ le symétrique de $D$ par rapport à $B$. Calculer les coordonnées du point $E$. 

\item Le point $F\left(15 \ ; \ \frac{7}{2}\right)$ appartient-il à la médiatrice du segment $[BC]$ ?
\end{enumerate}



\subsection{}
\label{lecture_graphique_courbe}
	Une entreprise fabrique chaque jour des tablettes numériques, au maximum 60 tablettes et on admet qu'elle vend
toute sa production.

On a représenté graphiquement les fonctions $C$ (coût total) et $R$ (recette) sur $[0;60]$.

Le coût total et la recette sont exprimés en euros.

On rappelle que le bénéfice se calcule en retranchant à la recette les coûts de production.

%%\begin{center}
%%\begin{tikzpicture}[yscale=.5]
%%	\clip (-2,-1)rectangle(12.5,30.5);
%%	\draw (8,17)node{$C$};
%%	\draw (11,25)node{$R$};
%%	\repere[x=0 to 12,y=0 to 30,grid,fleche];
%%	\draw[domain=0:12] plot (\x,{12*\x/5});
%%	\draw[domain=0:12] plot (\x,{(5*(\x)^2+5*\x+90)/25)});
%%	\foreach \i in {500,1000,...,7500}
%%		\draw (0,\i/250)node[left]{\i};
%%	\foreach \i in {5,10,...,60}
%%		\draw (\i/5,0)node[below]{\i};
%%\end{tikzpicture}
%%\end{center}
\begin{center}

\psset{xunit=0.2cm,yunit=0.002cm,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=5pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-5.,-500.)(60.,7600.)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=5.,Dy=500.,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-5.,-200.)(60.,7600.)
\psplot[linewidth=1.2pt,plotpoints=200]{0}{60.0}{120.0*x}
\psplot[linewidth=1.2pt,linecolor=red,plotpoints=200]{0}{60.0}{2.0*x^(2.0)+10.0*x+900.0}
\multido{\n=0+5}{12}{\psline[linewidth=.8pt](\n,0)(\n,7500)}
\multido{\n=0+250}{30}{\psline[linewidth=.8pt](0,\n)(65,\n)}
%\begin{scriptsize}
%\rput[bl](-11.968310450302566,-1674.1830967080946){$f$}
%\rput[bl](-11.968310450302566,786.5535044602134){\wwwwww{$g$}}
%\end{scriptsize}
\end{pspicture*}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item

\begin{enumerate}

\item Déterminer graphiquement $C(15)$ et $R(15)$.

\item Interpréter concrètement ces résultats.

\item En déduire une estimation du bénéfice réalisé par l'entreprise pour la production de 15 tablettes.
\end{enumerate}
	
\item 
\begin{enumerate}

\item Résoudre graphiquement l'équation $C(x)=3000$.

\item Interpréter concrètement ce résultat.
\end{enumerate}

\item
\begin{enumerate}
\item Résoudre graphiquement l'inéquation $R(x)\leq6000$.

\item Interpréter concrètement ce résultat.

\end{enumerate}

\item

\begin{enumerate}

\item Résoudre graphiquement l'équation $R(x)=C(x)$.

\item Interpréter concrètement ce résultat.
\end{enumerate}

\item L'entreprise ne souhaite pas réaliser de pertes. Une étude est alors réalisée pour déterminer les quantités de tablettes à produire qui provoqueraient un bénéfice strictement négatif.
		
\begin{enumerate}

\item Quelle inéquation cet agent doit-il résoudre ?

\item Résoudre cette inéquation.
\end{enumerate}
\end{enumerate}


\subsection{}
\label{antecedents-images}
Soient $f$ et $g$ les deux fonctions définies sur $\mathbb{R}$ par:
\begin{eqnarray*}
f(x)&=&-3x^2+7\\
g(x)&=&\frac{3}{7}x+6
\end{eqnarray*}

\begin{enumerate}
\item Calculer les images de $3$, de $-1$ et de $7$ par la fonction $f$.

\item Calculer les valeurs exactes de $g(0)$, $g(7)$ et $g(-1)$.

\item Déterminer, s'ils existent et en justifiant le résultat, les éventuels antécédents de $7$, de $8$ et de $16$ par la fonction $f$.

\item Déterminer, s'ils existent et en justifiant le résultat, les éventuels antécédents de $0$, de $1$ et de $-2$ par la fonction $g$.

\item Peut-on affimer que pour tout réel $x$ négatif ou nul, $f(x)\leq g(x)$? Justifier.

\item Résoudre l'inéquation $g(x)\geq 8$. Proposer alors un intervalle de réels $I$ tel que pour tout réel $x$ appartenant à $I$, $f(x)\leq g(x)$. 
\end{enumerate}




\subsection*{Exercice bonus}
\label{bonus}
	\begin{enumerate}
		\item Pour chacune de ces deux figures, exprimer l'aire de la surface coloriée en fonction de $x$.

%			\begin{center}
%			\begin{tikzpicture}[scale=3]
%				\coordinate (A) at (0,0);
%				\coordinate (B) at (1,0);
%				\coordinate (C) at (1,1);
%				\coordinate (D) at (0,1);
%				\draw (0,0)--(1,0)--(1,1)--(0,1)--cycle;
%				\draw[right angle length=.5ex,right angle symbol={C}{B}{A}];
%				\draw[right angle quadrant=2,right angle length=.5ex,right angle symbol={B}{C}{D}];
%				\draw[right angle quadrant=2,right angle length=.5ex,right angle symbol={A}{D}{C}];
%				\draw[right angle length=.5ex,right angle symbol={D}{A}{B}];
%				\fill[help lines] (.5,0)arc(0:90:.5)arc(-90:0:.5)arc(180:270:.5)arc(90:180:.5);
%				\draw[yshift=2mm,<->] (0,1)--(1,1)node[midway,above]{$x$};
%				\draw[xshift=-2mm,<->] (0,0)--(0,1)node[midway,left]{$x$};
%
%				\begin{scope}[xshift=2cm]
%					\coordinate (A) at (0,0);
%					\coordinate (B) at (1,0);
%					\coordinate (C) at (1,1);
%					\coordinate (D) at (0,1);
%					\fill[help lines] (0,1)arc(180:0:.5);
%					\fill[help lines] (1,1)arc(90:-90:.5);
%					\draw (0,0)--(1,0)--(1,1)--(0,1)--cycle;
%					\draw[right angle length=.5ex,right angle symbol={C}{B}{A}];
%					\draw[right angle quadrant=2,right angle length=.5ex,right angle symbol={B}{C}{D}];
%					\draw[right angle quadrant=2,right angle length=.5ex,right angle symbol={A}{D}{C}];
%					\draw[right angle length=.5ex,right angle symbol={D}{A}{B}];
%					\draw[yshift=2mm,<->] (0,1)--(1,1)node[midway,above]{$x$};
%					\draw[xshift=-2mm,<->] (0,0)--(0,1)node[midway,left]{$x$};
%				\end{scope}
%			\end{tikzpicture}
%\end{center}



\parbox{8cm}{
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=5pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-2,-1)(5,7)
\pspolygon[fillcolor=blue!40,fillstyle=solid,opacity=0.1](0.,0.)(4.,0.)(4.,4.)(0.,4.)
\psline(0.,0.)(4.,0.)
\psline(4.,0.)(4.,4.)
\psline(4.,4.)(0.,4.)
\psline(0.,4.)(0.,0.)
\pscustom[fillcolor=white,fillstyle=solid,opacity=0.1]{\parametricplot{3.141592653589793}{4.71238898038469}{1.*2.*cos(t)+0.*2.*sin(t)+4.|0.*2.*cos(t)+1.*2.*sin(t)+4.}\lineto(4.,4.)\closepath}
\pscustom[fillcolor=white,fillstyle=solid,opacity=0.1]{\parametricplot{-1.5707963267948966}{0.0}{1.*2.*cos(t)+0.*2.*sin(t)+0.|0.*2.*cos(t)+1.*2.*sin(t)+4.}\lineto(0.,4.)\closepath}
\pscustom[fillcolor=white,fillstyle=solid,opacity=0.1]{\parametricplot{0.0}{1.5707963267948966}{1.*2.*cos(t)+0.*2.*sin(t)+0.|0.*2.*cos(t)+1.*2.*sin(t)+0.}\lineto(0.,0.)\closepath}
\pscustom[fillcolor=white,fillstyle=solid,opacity=0.1]{\parametricplot{1.5707963267948966}{3.141592653589793}{1.*2.*cos(t)+0.*2.*sin(t)+4.|0.*2.*cos(t)+1.*2.*sin(t)+0.}\lineto(4.,0.)\closepath}
\psline{<->}(0,5)(4,5)\uput[u](2,5){$x$}
\psline{<->}(-1,0)(-1,4)\uput[l](-1,2){$x$}
\psframe(0,0)(0.5,0.5)\psframe(3.5,0)(4,0.5)\psframe(3.5,3.5)(4,4)\psframe(0.5,3.5)(0,4)
\end{pspicture*}}\hfill
\parbox{8cm}{
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=5pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-2,-1)(10,7)
\pspolygon(0.,0.)(4.,0.)(4.,4.)(0.,4.)
\psline(0.,0.)(4.,0.)
\psline(4.,0.)(4.,4.)
\psline(4.,4.)(0.,4.)
\psline(0.,4.)(0.,0.)
\pscustom[fillcolor=blue!40,fillstyle=solid,opacity=0.1]{\parametricplot{-1.5707963267948966}{1.5707963267948966}{1.*2.*cos(t)+0.*2.*sin(t)+4.|0.*2.*cos(t)+1.*2.*sin(t)+2.}\lineto(4.,2.)\closepath}
\pscustom[fillcolor=blue!40,fillstyle=solid,opacity=0.1]{\parametricplot{0.0}{3.141592653589793}{1.*2.*cos(t)+0.*2.*sin(t)+2.|0.*2.*cos(t)+1.*2.*sin(t)+4.}\lineto(2.,4.)\closepath}
\psline{<->}(0,5)(4,5)\uput[u](2,5){$x$}
\psline{<->}(-1,0)(-1,4)\uput[l](-1,2){$x$}
\psframe(0,0)(0.5,0.5)\psframe(3.5,0)(4,0.5)\psframe(3.5,3.5)(4,4)\psframe(0.5,3.5)(0,4)
\end{pspicture*}}



\item Calculer la somme de ces aires en fonction du réel $x$.
\end{enumerate}



\label{fin}
\end{document} 