\documentclass[12pt] {article} \usepackage[T1]{fontenc} 
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-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{fancy}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}
\rfoot{\small{Lycée Maurice Genevoix \\Année 2016-2017}}
\lfoot{02 février 2017}

\begin{document}

\begin{tabular}{p{13cm}lr}
(en \textbf{caractères majuscules d'imprimerie}) &\hfill jeudi 2 février 2017\\
NOM :&\\
PRÉNOM : &\\
CLASSE : 2\up{nde} \no \dots&
\end{tabular}

\vspace{4cm}
\fbox{\begin{minipage}{16cm}
\begin{center}
\huge Devoir commun de mathématiques \no 2 \\
2\up{nde}

\end{center}\end{minipage}}\\

\vspace{4cm}
\noindent Les exercices sont indépendants et peuvent être traités dans l'ordre voulu. \\

\noindent L'usage de la calculatrice est autorisé, mais le prêt de calculatrice est interdit. \\

\noindent La clarté des raisonnements et la qualité de la rédaction interviendront pour une part importante dans l'appréciation de la copie. Tout résultat devra être soigneusement justifié. \\

\noindent \textbf{Les élèves d'UPE2A sont autorisés à utiliser un dictionnaire}.

\vspace{1.5cm}
\noindent \textbf{Partie réservée à la correction :}\\ 
%\textbf{\textcolor{red}{à compléter}}\\

\noindent Exercice \ref{QCM} sur 7 points : \\

\noindent Exercice \ref{algorithme} sur 3 points : \\

\noindent Exercice \ref{statistiques} sur 11,5 points : \\

\noindent Exercice \ref{droites} sur 10 points : \\

\noindent Exercice \ref{fonctionssaffines} sur 8,5 points : \\

%
%\newpage


\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Contrôle commun \no 2 de mathématiques}}\end{center}





\subsection{\hfill \textcolor{blue}{7 points}}
\label{QCM}
Pour chacune des propositions ci-dessous, indiquer si elle est vraie ou fausse en justifiant. Toute réponse non justifiée ne sera pas prise en compte.

\begin{enumerate}

\item Si une fonction $f$ quelconque définie sur $\mathbb{R}$ vérifie $f(0)<f(1)$, alors $f$ est une fonction croissante sur $\mathbb{R}$.

\item Si la moyenne de quatre notes est égale à $5$ alors la moitié de ces notes est inférieure ou égale à $5$.

\item Pour tout réel $x$, la fonction définie par $f(x)=5x+4$ est positive.

\item La droite d'équation $y=-x-50$ coupe l'axe des abscisses.

\bigskip
Soit $g$ une fonction dont le tableau de variations est le suivant :

\begin{center}
\begin{variations}
x&-40&&-24&&12&&50\\
\hline
g(x)&2&\c&\h{20}&\d&-30&\c&\h{1}\\
\hline
\end{variations}
\end{center}

\item Alors, on peut en déduire que $g(-18)<g(2)$.

\item Alors, on peut en déduire que $g(-30)>g(20)$.

\item Alors, on peut en déduire que $g(14)\leq g(30)$.
\end{enumerate}



\subsection{\hfill \textcolor{blue}{3 points}}
\label{algorithme}
	L'algorithme suivant donne le résultat d'un examen en fonction de deux notes $N_1$ et $N_2$ entrées par l'utilisateur :

	\fbox{\begin{minipage}{10cm}
\begin{enumerate}[~~1 : ]
\item Entrées : $N_1$, $N_2$

\item  Sorties : Aucune 

\item Lire $N_1$

\item Lire $N_2$

\vspace{.2cm}

\item $\frac{N_1+N_2}{2}\rightarrow M$

\vspace{.2cm}

\item Si $M\geqslant 10$ ALORS

\item \hspace{1cm} AFFICHER \og{}L'examen est réussi !\fg{}

\item Finsi

\item Si $M<10$ ALORS

\item \hspace{1cm}AFFICHER \og{}L'examen est échoué !\fg{}

\item Finsi
\end{enumerate}
\end{minipage}}
			

\begin{enumerate}
\item Qu'affiche l'algorithme si l'utilisateur choisit $N_1=5$ et $N_2=17$ ? Justifier.

\item Que représente la variable $M$ ?

\item Comment modifier l'algorithme pour qu'il affiche \og L'examen est réussi\fg\ si $10\leq M<12$ et \og L'examen est réussi avec mention\fg\ si $M\geq 12$ ?
	\end{enumerate}


\newpage


\subsection{\hfill \textcolor{blue}{11,5 points}}
\label{statistiques}
	Un directeur de supermarché décide d'étudier le temps d'attente aux caisses. Pour cela, il note le lundi et le vendredi les temps d'attente en minutes, de 100 clients.

	\textbf{A. Étude de l'échantillon du lundi}

	Le lundi, il obtient la répartition suivante :
	
\begin{center}
\psset{xunit=1,yunit=0.35}
\begin{pspicture}(-1,-1)(12,25)
\psaxes[Dx=1,Dy=1](0,0)(11,0)(0,23)
\psgrid[subgriddiv=1,gridwidth=0.5pt,gridlabels=0](11,0)(0,23)
\psline[linewidth=3pt](1,0)(1,14)
\psline[linewidth=3pt](2,0)(2,13)
\psline[linewidth=3pt](3,0)(3,23)
\psline[linewidth=3pt](4,0)(4,9)
\psline[linewidth=3pt](5,0)(5,14)
\psline[linewidth=3pt](6,0)(6,8)
\psline[linewidth=3pt](7,0)(7,12)
\psline[linewidth=3pt](8,0)(8,4)
\psline[linewidth=3pt](9,0)(9,1)
\psline[linewidth=3pt](10,0)(10,2)
\uput[r](11,0){\begin{minipage}{3cm}
Temps d'attente au supermarché
\end{minipage}}
\uput[u](0,23){Effectifs}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Remplir le tableau suivant :

\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{11}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
Temps d'attente (en min) & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10\\\hline
Effectif & & & & & & & & & &\\\hline
E.C.C. & & & & & & & & & &\\\hline
\end{tabularx}

\item Calculer le temps moyen d'attente aux caisses du supermarché pour cet échantillon.

\item Déterminer la médiane, le premier et le troisième quartile de la série statistique des temps d'attente.

\item Le directeur adjoint souhaite ouvrir une caisse supplémentaire si plus de 15\% des clients attendent 7 minutes ou plus en caisse.
				
Doit-il ouvrir une nouvelle caisse le lundi ?
\end{enumerate}


\textbf{B. Étude de l'échantillon du vendredi}

Le vendredi, il obtient la répartition suivante :

	\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
		Temps d'attente en caisse & [0;2[ & [2;4[ & [4;6[ & [6;8[ & [8;10[ & [10;12]\\\hline
		Effectif & 5 & 22 & 27 & 18 & 16 & 12\\\hline
		Fréquence & & & & & &\\\hline
		Fréquence cumulée croissante (FCC) & & & & & &\\\hline
\end{tabularx}

	\begin{enumerate}
		\item Compléter les deux dernières lignes du tableau et calculer le temps d'attente moyen (arrondi au dixième).
		\item Construire, en annexe, la courbe des fréquences cumulées croissantes.
		\item Déterminer graphiquement une valeur approchée de la médiane, du premier et du troisième quartile.
	\end{enumerate}

	\textbf{C. Comparaison des deux échantillons}

	Les clients qualifient de tolérable un temps d'attente compris entre 2 et 6 minutes inclus.

	Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse :
	\begin{enumerate}
		\item \og{} Le vendredi, au moins un quart des clients attendent au plus trois minutes en caisse\fg.
		\item \og{} Il y a autant de clients qui trouvent le temps d'attente acceptable le lundi que le vendredi\fg.
	\end{enumerate}


\newpage

\subsection{\hfill \textcolor{blue}{10 points}}
\label{droites}
Les questions suivantes sont indépendantes.
\begin{enumerate}
\item Déterminer l'équation réduite de chacune des droites représentées dans le repère ci-dessous :

%			\begin{center}
%				\begin{tikzpicture}[scale=.8]
%					\repere[x=-5 to 6,y=-3 to 5,grid,grad,clip];
%					\draw[domain=-6:7,green,ultra thick] plot (\x,\x-1);
%					\draw[green] (-1.5,-3)node{$C_1$};
%					\draw[domain=-6:7,red,ultra thick] plot (\x,-\x/3+1);
%					\draw[red] (6,-1.5)node{$C_2$};
%					\draw[domain=-6:7,purple,ultra thick] plot (\x,4);
%					\draw[purple] (3,4.5)node{$C_3$};
%					\draw[domain=-4:6,blue,ultra thick] plot (-3,\x);
%					\draw[blue] (-3.5,-1.5)node{$C_4$};
%				\end{tikzpicture}
%			\end{center}
\begin{center}
\psset{xunit=0.9cm,yunit=0.9cm,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=5pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-6.,-4.)(7.,6.)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1.,Dy=1.,ticksize=-2pt 0,subticks=2,linewidth=2pt]{->}(0,0)(-6.,-4.)(7.,6.)
\psgrid[subgriddiv=1,gridwidth=0.5pt,gridlabels=0](-6,-4)(7,6)
\psplot[linewidth=1.2pt,linecolor=green,plotpoints=200]{-6.0}{7.0}{x-1.0}
\psplot[linewidth=1.2pt,linecolor=red,plotpoints=200]{-6.0}{7.0}{(-x)/3.0+1.0}
\psplot[linecolor=blue,linewidth=1.5pt]{-6.}{7.}{(--4.-0.*x)/1.}
\psline[linewidth=1.5pt](-3.,-4.)(-3.,6.)
\uput[u](4,3){$\mathscr{D}_1$}
\rput[bl](-5.8,2.62){$\mathscr{D}_{2}$}
\rput[bl](-5.8,3.7){$\mathscr{D}_3$}
\uput[l](-3,-2){$\mathscr{D}_{4}$}
\end{pspicture*}
\end{center}
		\item Soit $(d)$ la droite d'équation $y=3x-4$.
			\begin{enumerate}
				\item Est-ce que $A\left(\frac13~;~-3\right)$ appartient à $(d)$ ?
				\item	Est-ce que $B(-10~;~-33)$ appartient à $(d)$ ?
			\end{enumerate}
		\item Soient $A(2~;~3)$, $B(2~;~5)$ et $C(4~;~13)$. 
			\begin{enumerate}
				\item Déterminer l'équation de la droite $(AB)$. 
				\item Déterminer celle de la droite $(AC)$.
			\end{enumerate}
		\item Est-ce que la droite $(d)$ d'équation $y=3x+1$ est parallèle à la droite $(d')$ d'équation $y=2x+1$ ? Justifier.
	\end{enumerate}


\subsection{\hfill \textcolor{blue}{8,5 points}}
\label{fonctionssaffines}
	Les questions suivantes sont indépendantes.
	\begin{enumerate}
		\item Parmi les fonctions suivantes, préciser lesquelles sont affines. Justifier soigneusement.
			\begin{enumerate}[\textbullet]
				\item $f : x \mapsto 1+2x$
				\item $g :  x \mapsto -3x^2$ 
				\item $h : x \mapsto -2x+1$
				\item $i :x \mapsto \dfrac{1}{x}+2$
			\end{enumerate}
		\item Soit $f:x\mapsto -5x+8$
			\begin{enumerate}
				\item Déterminer le tableau de variations de $f$.
				\item Déterminer le tableau de signes de $f$.
			\end{enumerate}
		\item 
			\begin{enumerate}
				\item Déterminer l'expression de la fonction affine $f$ telle que $f(0)=1$ et $f(-1)=-12$.
				\item Déterminer l'expression de la fonction linéaire $g$ telle que $g(-3)=7$.
				\item Soit $h$ une fonction affine telle que $h(-1)=-5$ et $h(2)=4$. Déterminer $h(3)$. Dans cette question, toute trace de recherche sera prise en compte dans la notation.
			\end{enumerate}
	\end{enumerate}

\newpage
\begin{tabular}{p{13cm}lr}
(en \textbf{caractères majuscules d'imprimerie}) &\hfill jeudi 2 février 2017\\
NOM :&\\
PRÉNOM : &\\
CLASSE : 2\up{nde} \no \dots&
\end{tabular}

\vspace{2cm}

\begin{center}
Annexe (à rendre avec la copie)
\end{center}

\begin{center}
\psset{xunit=1,yunit=0.1}
\begin{pspicture}(-1,-10)(13,110)
\psaxes[Dx=1,Dy=5](0,0)(0,0)(12,105)
\multido{\n=0+1}{13}{\psline(\n,0)(\n,105)}
\multido{\n=0+5}{22}{\psline(0,\n)(12,\n)}
\end{pspicture}

\end{center}


\label{fin}
\end{document}  