\documentclass[12pt] {article} \usepackage[T1]{fontenc} 
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-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{red}{\Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{fancy}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}
\title{\textcolor{red}{RAPPELS SUR LES DÉVELOPPEMENTS ET FACTORISATIONS}}
\date{}

\begin{document}

\maketitle

\tableofcontents

\subsection{\textcolor{red}{Développements}}
\begin{bclogo}[couleur =cyan!20, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}}
Développer une expression algébrique consiste à la transformer en retirant les \og enveloppes\fg{}, c'est-à-dire les parenthèses.
\end{bclogo}

\bigskip

\begin{minipage}{12cm}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!50, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Propriété fondamentale (distributivité)}}
$k(a+b)=ka+kb$

\noindent $k(a-b)=ka-kb$
\end{bclogo}
\end{minipage}

\bigskip

\textbf{\textcolor{blue}{Exemple}} : $2(x+3)=2x+2\times 3=2x+6$

\bigskip

\noindent On en déduit le développement suivant :

\noindent $\boxed{\textcolor{red}{(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd}}$

\noindent \textbf{\textcolor{red}{Démonstration}} : $(a+b)(c+d)=(a+b)c+(a+b)d=ac+bc+ad+bd=ac+ad+bc+bd$

\bigskip

\noindent \textbf{\textcolor{blue}{Remarque}} Quand on a des signes -, on développe comme ci-dessus et on tient compte de la règle des signes : (car $a-b=a+(-b)$)

\noindent \textbf{\textcolor{blue}{Exemple :}} $(2x-3)(3x-5)=2x\times 3x-2x\times 5-3\times 3x+3\times 5=6x^2-10x-9x+15=\boxed{\textcolor{red}{6x^2-19x+15}}$

\bigskip

\begin{minipage}{12cm}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!50, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{blue}{Identités remarquables}}
Il y a trois développements particuliers que l'on retrouve sans arrêt, qu'on appelle identités remarquables :
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $(a+b))2=a^2+2ab+b^2$

\item $(a-b))2=a^2-2ab+b^2$

\item $(a+b)(a-b)=(a-b)(a+b)=a^2-b^2$
\end{enumerate}
\end{bclogo}
\end{minipage}


\textbf{\textcolor{blue}{Exemples :}} \\

\begin{enumerate}[A]
\item $=(2x+3)^2=(a+b)^2$ avec $\left\{\begin{array}{l}a=2x\\b=3\end{array}\right.$

\noindent $=a^2+2ab+b^2=(2x)^2+2\times 2x\times 3+3^2=\boxed{\textcolor{red}{4x^2+6x+9}}$

\item $=(7x+5)(7x-5)=(a+b)(a-b)$ avec $\left\{\begin{array}{l}a=7x\\b=5\end{array}\right.$

\noindent $=a^2-b^2=(7x)^2-5^2=\boxed{\textcolor{red}{49x^2-25}}$

\item $=(\sqrt{7}-\sqrt{3})^2=(a-b)^2$ avec $\left\{\begin{array}{l}a=\sqrt{7}\\b=\sqrt{3}\end{array}\right.$

\noindent $=a^2-b^2=\sqrt{7}^2-\sqrt{3}^2=7+3=\boxed{\textcolor{red}{4}}$
\end{enumerate}


\subsection{\textcolor{red}{Factorisations}}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!50, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}}
Factoriser une expression algébrique consiste à la transformer(lorsque c'est possible) pour qu'elle soit sous la forme d'un produit de facteurs le plus simples possibles.
\end{bclogo}

\bigskip

\textbf{\textcolor{red}{Remarque : }} Toutes les expressions algébriques ne sont pas factorisables dans $\mathbb{R}$.

\bigskip

\textbf{\textcolor{blue}{Exemple :}} $x^4+1$ ne peut pas se factoriser dans $\mathbb{R}$.

\subsubsection{\textcolor{blue}{Règles utilisées pour factoriser une expression}}
On utilise essentiellement ces cinq règles, dont les trois identités remarquables .

\fbox{\begin{minipage}{8cm}\begin{enumerate}[$\bullet$]
\textbf{\textcolor{red}{Avec un facteur commun :}}
\item $ab+ac=a(b+c)$

\item $ab-ac=a(b-c)$

\bigskip
\textbf{\textcolor{red}{Avec une identité remarquable :}}

\item $a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$

\item $a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$

\item $a^2-b^2=(a+b)(a-b)=(a-b)(a+b)$
\end{enumerate}
\end{minipage}}

\newpage


\subsubsection{\textcolor{blue}{Comment factoriser une expression algébrique ?}}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Méthode}}
\begin{itemize}
\item \textcolor{blue}{On recherche d'abord si l'expression a un facteur commun (évident ou pas) pour utiliser l'une des deux premières règles.}

\item \textcolor{blue}{S'il n'y pas de facteur commun, on essaye de voir si l'on peut appliquer une identité remarquable.}

\item \textcolor{blue}{Il peut y avoir les deux cas combinés.}

\item \textcolor{blue}{Dans des cas rares, il faut d'abord développer, simplifier, puis factoriser le résultat.}
\end{itemize}
\end{bclogo}

\bigskip


Les exemples qui suivent ont pour but de vous montrer les différents cas possibles. La liste n'est évidemment pas exhaustive ; on ne devient \og bon \fg~dans les factorisations qu'en s'entraÓnant beaucoup.\\
(voir, par exemple le site Euler de l'académie de Versailles : cliquer \href{http://euler.ac-versailles.fr/baseeuler/recherche_fiche.jsp}{ici})

\subsubsection{\textcolor{blue}{Exemples avec un facteur commun}}
\begin{enumerate}[1)]
\item $2\textcolor{red}{x}y+3\textcolor{red}{x}z=x(2y+3z)$

\bigskip

\item $x^2-3x=\textcolor{red}{x}\times x-3\textcolor{red}{x}=x(x-3)$

\bigskip

\item \textbf{\textbf{Factoriser}} $(2x+3)(5x+7)+(2x+3)(-2x+9)$.\\
On essaye de voir comment est constituée l'expression pour voir quelle règle l'on va utiliser.\\\\
$\underbrace{\textcolor{red}{(2x+3)}}_{a}\underbrace{(5x+7)}_{b}+\underbrace{\textcolor{red}{(2x+3)}}_{a}\underbrace{(-2x+9)}_{c}\\
=ab+ac$ en posant : $\left\{\begin{array}{l}a=2x+3\\b=5x+7\\c=-2x+9\end{array}\right.\\
=a(b+c)\\
=(2x+3)\left[(5x+7)+(-2x+9)\right]\\
=(2x+3)(5x+7-2x+9)\\
=(2x+3)(3x+16)$\\
donc : $\boxed{(2x+3)(5x+7)+(2x+3)(-2x+9)=(2x+3)(3x+16)}$

\bigskip

\item \textbf{Factoriser} $(3x+5)(7x-4)-(5x-3)(3x+5)$.\\
$\underbrace{\textcolor{red}{(3x+5)}}_{a}\underbrace{(7x-4)}_{b}-\underbrace{(5x-3)}_{c}\underbrace{\textcolor{red}{(3x+5)}}_{a}\\
=\textcolor{red}{a}b-c\textcolor{red}{a}$ en posant : $\left\{\begin{array}{l}a=3x+5\\b=7x-4\\c=5x-3\end{array}\right.$\\
\textbf{\textcolor{blue}{Remarque :}} $ab-ca=ab-ac=a(b-c)$. En rempla\c cant $a$, $b$ et $c$ par leurs expressions, on trouve :\\
$(3x+5)\left[(7x-4)-(5x-3)\right]\\
=(3x+5)(7x-4-5x+3) \text{(attention au signe - devant la parenthèse)}\\
=(3x+5)(2x-1)$\\
donc : $\boxed{(3x+5)(7x-4)-(5x-3)(3x+5)=(3x+5)(2x-1)}$

\bigskip

\item \textbf{Factoriser} $(7x+1)^2-(7x+1)(3-2x)$.\\
On remarque que : $(7x+1)^2-(7x+1)(3-2x)=\underbrace{\textcolor{red}{(7x+1)}}_{a}\underbrace{(7x+1)}_{a}-\underbrace{\textcolor{red}{(7x+1)}}_{a}\underbrace{(3-2x)}_{b}\\
=\textcolor{red}{a}a-\textcolor{red}{a}b$ avec $\left\{\begin{array}{l}a=7x+1\\b=3-2x\end{array}\right.\\
=a(a-b)\\
=(7x+1)\left[(7x+1)-(2-3x)\right]\\
=(7x+1)(7x+1-2+3x)\\
=(7x+1)(10x-1)$\\
Par conséquent : $\boxed{(7x+1)^2-(7x+1)(3-2x)=(7x+1)(10x-1)}$.

\bigskip

\item \textbf{Factoriser} $(x+3)^2-(x+3)$.\\
Il est clair que $(x+3)$est un facteur commun.\\
$(x+3)^2-(x+3)\\
=\underbrace{\textcolor{red}{(x+3)}}_{a}\times \underbrace{(x+3)}_{a}-\underbrace{(x+3)}_{a}\times 1\\
=\textcolor{red}{a}\times a-\textcolor{red}{a}\times 1$ avec $a=(x+3)\\
=a(a-1)\\
=(x+3)[(x+3)-1]\\
=(x+3)(x+2)$.\\
D'où : $\boxed{(x+3)^2-(x+3)=(x+3)(x+2)}$.


\subsubsection{\textcolor{blue}{Avec un facteur commun moins apparent}}


\item \textbf{Factoriser} : $(3x+5)(2x+7)-(6x+10)(x+13)$.\\
Il n'y pas de facteur commun apparent, mais il est clair que $6x+10=2(3x+5)$.\\
Par conséquent : $(3x+5)(2x+7)-(6x+10)(x+13)=(3x+5)(2x+7)-2(3x+5)(x+13)$.\\
$\underbrace{\textcolor{red}{(3x+5)}}_{a}\underbrace{(2x+7)}_{b}-2\underbrace{\textcolor{red}{(3x+5)}}_{a}\underbrace{(x+13)}_{c}\\
=\textcolor{red}{a}b-2\textcolor{red}{a}c$ avec $\left\{\begin{array}{l}a=3x+5\\b=2x+7\\c=x+13\end{array}\right.\\
=a(b-2c)\\
=(3x+5)\left[(2x+7)-2(x+13)\right]\\
=(3x+5)(2x+7-2x-26)\\
=(3x+5)(-19)\\
=-19(3x+5)$.\\\\
Par conséquent : $\boxed{(3x+5)(2x+7)-(6x+10)(x+13)=-19(3x+5)}$

\bigskip

\item \textbf{Factoriser} $(15x-3)(2x+7)-10x+2$.\\
On remarque que : $15x-3=5(3x-1)$ et $-10x+2=-(10x-2)=-2(5x-1)$.\\\\
Par conséquent : \\
$(15x-3)(2x+7)-10x+2=3\underbrace{\textcolor{red}{(5x-1)}}_{a}\underbrace{(2x+7)}_{b}-2\underbrace{\textcolor{red}{(5x-1)}}_{a}=3\textcolor{red}{a}b-2\textcolor{red}{a}$ avec $\left\{\begin{array}{l}a=5x-1\\b=2x+7\end{array}\right.\\
=a(3b-2)\\
=(5x-1)(3(2x+7)-2)\\
=(5x-1)(6x+21-2)\\
=(5x-1)(6x+19)$.\\
D'où : $\boxed{(15x-3)(2x+7)-10x+2=(5x-1)(6x+19)}$



\subsubsection{\textcolor{blue}{Avec des identités remarquables}}

\item \textbf{Factoriser} : $9x^2+42x+49$.\\
Il n'y aucun facteur commun donc on recherche si on peut faire apparaÓtre une identité remarquable.\\\\
$9x^2+42x+49=(3x)^2+2\times (3x)\times 7+7^2=a^2+2ab+b^2$ avec $\left\{\begin{array}{l}a=3x\\b=7\end{array}\right.\\
=(a+b)^2\\
=(3a+7)^2$.\\
Par conséquent : $\boxed{9x^2+42x+49=(3x+7)^2}$

\item \textbf{Factoriser} : $100x^2-121$.\\
$100x^2-121=(10x)^2-11^2=a^2-b^2$ avec $a=10x$ et $b=11\\
=(a+b)(a-b)\\
=(10x+11)(10x-11)$.\\
D'où : $\boxed{100x^2-121=(10x+11)(10x-11)}$

\item \textbf{Factoriser} $(2x+9)^2-(3x-13)^2$.\\
On voit que l'expression est la différence de deux carrés, ce qui fait penser à une identité remarquable.\\\\
$(2x+9)^2-(3x-13)^2\\
=a^2-b^2$ avec $a=(2x+9)$ et $b=(3x-13)\\
=(a+b)(a-b)\\
=\left[(2x+9)+(3x-13)\right]\left[(2x+9)-(3x-13)\right]\\
=(2x+9+3x-13)(2x+9-3x+13)\\
=(5x-4)(-x+22)$\\\\
Par conséquent : $\boxed{(2x+9)^2-(3x-13)^2=(5x-4)(-x+22)}$


\subsubsection{\textcolor{blue}{Avec facteur commun et identités remarquables}}


\item  \textbf{Factoriser} $A=(4x-4)-(5x-13)(x-1)+x^2-1$\\
On remarque que : $4x-4=4(x-1)$ et $x^2-1=x^2-x^2=(x+1)(x-1)$ (identité remarquable).\\
Par conséquent :\\
$A=4\underbrace{\textcolor{red}{(x-1)}}_{a}-\underbrace{(5x-13)}_{b}\underbrace{\textcolor{red}{(x-1)}}_{a}+\underbrace{(x+1)}_{c}\underbrace{\textcolor{red}{(x-1)}}_{a}$\\
$=4\textcolor{red}{a}-b\textcolor{red}{a}+c\textcolor{red}{a}$ avec $a=(x-1)$ ; $b=(5x-13)$ et $=(x+1)$\\
$=a(4-b+c)\\
=(x-1)[4-(5x-13)+(x+1)]\\
=(x-1)(4-5x+13+x-1)\\
=(x-1)(-4x+16)\\
=(x-1)\times 4(-x+4)\\
=4(x-1)(-x+4)$\\\\
D'où : $\boxed{A=(4x-4)-(5x-13)(x-1)+x^2-1=4(x-1)(-x+4)}$.

\item \textbf{Factoriser} $B=x^2-4x+4+(1-5x)(2-x)+(x-2)$\\
On remarque que : $x^2-4x+4=x^2-2\times x\times 2+2^2=(x-2)^2$ (identité remarquable) et que $(2-x)=(-1)\times (x-2)=-(x-2)$.\\\\
Par conséquent : 
$B=x^2-4x+4+(1-5x)(2-x)+(x-2)\\
=(x-2)^2+(1-5x)\times (-1)\times (2-x)+(x-2)\\
=\underbrace{\textcolor{red}{(x-2)}}_{a}\underbrace{(x-2)}_{a}-\underbrace{(1-5x)}_{b}\underbrace{\textcolor{red}{(x-2)}}_{a}+\underbrace{\textcolor{red}{(x-2)}}_{a}$ avec $a=(x-2)$, $b=(1-5x)$\\
$=\textcolor{red}{a}a-b\textcolor{red}{a}+\textcolor{red}{a}\\
=a(a-b+1)\\
=(x-2)[(x-2)-(1-5x)+1]\\
=(x-2)(x-2-1+5x+1)\pm\pm
=(x-2)(6x-2)\\
=(x-2)\times 2(3x-1)\\
=2(x-2)(3x-1)$.\\\\
Par conséquent : $\boxed{B=x^2-4x+4+(1-5x)(2-x)+(x-2)=2(x-2)(3x-1)}$

\subsubsection{\textcolor{blue}{Quand on ne voit ni facteur commun, ni identité remarquable}}

\item \textbf{Factoriser} $3x^2-5x+18+(3x+2)(5x-9)$.\\
On ne voit ni facteur commun , ni identité remarquable.\\
En développant, on trouve ;\\
$A=3x^2-5x+18+(3x+2)(5x-9)\\
=3x^2-5x+18+(15x^2-27x+10x-18)\\
3x^2-5x+18+15x^2-27x+10x-18\\
=18x^2-22x\\
=9\times \textcolor{red}{2x}\times x-11\times \textcolor{red}{2x}\\
=2x(9x-11)$.\\\\
D'où : $\boxed{3x^2-5x+18+(3x+2)(5x-9)=2x(9x-11)}$
\end{enumerate}
\vspace{1cm}
\textbf{\textcolor{red}{Remarque :}}\\
Vous verrez en Première une technique pour factoriser, lorsque cela est possible, toute expression du second degré, c'est-à-dire une expression du type $ax^2+bx+c$, $a$, $b$ et $c$ réels, $a\neq 0$.

\subsection{\textcolor{red}{Pour s'entraîner sur Internet sur le site Euler}}
cliquer \href{http://euler.ac-versailles.fr/baseeuler/recherche_fiche.jsp}{ici}


\label{fin}
\end{document}  