\documentclass[12pt] {article} \usepackage[T1]{fontenc} 
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{amsmath,amssymb,graphicx,multicol,mathrsfs, fancyhdr,enumerate,fourier,eurosym,alterqcm,enumerate,tabularx,variations,numprint}
\usepackage[dvips]{color}
\usepackage{bclogo}
\usepackage{pst-plot,pst-tree,pstricks,pst-node,pstricks-add,pst-math,pst-xkey,pst-eucl}
\usepackage[francais]{babel} 
\everymath{\displaystyle}
%\usepackage[colorlinks=true,pdfstartview=FitV,linkcolor=blue,citecolor=blue,urlcolor=blue]{hyperref}
\textwidth 19cm \textheight 26cm \hoffset 
-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{empty}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{2\up{nde} : TD (vecteurs-inéquations)}}\end{center}

\subsection{\textcolor{blue}{Trois méthodes pour montrer le même résultat}}
\parbox{10cm}{Soit ABCD un rectangle. Soit  E le point du segment [AB] tel que $\text{AE}=\dfrac{2}{3}\text{AB}$ et le point F du segment [BC] tel que $\text{BF} =\dfrac{1}{3}\text{BC}$.\\

\noindent  \textbf{\textcolor{red}{Méthode 1 : solution analytique}}
\begin{enumerate}
\item  Dans le repère $(A~;~\overrightarrow{\text{AB}}~;~\overrightarrow{\text{AD}})$, quelles sont les coordonnées des points A, B, C, D, E, F?  

\item  Démontrer que les vecteurs $\overrightarrow{\text{AC}}$ et $\overrightarrow{\text{EF}}$ sont colinéaires. Que peut-on en déduire ? 
\end{enumerate}

\noindent \textbf{\textcolor{red}{Méthode 2 : solution vectorielle}}\\
Démontrer (à l'aide de la relation de Chasles) que \\
$\overrightarrow{\text{EF}}= \dfrac{1}{3} \overrightarrow{\text{AC}}$. (indication : faire intervenir le point B)

\noindent  Que peut-on en déduire pour les droites (EF) et (AC) ?\\

\noindent \textbf{\textcolor{red}{Méthode 3 : utilisant les configurations}}\\
En utilisant la réciproque du théorème de Thalès, démontrer que les droites (AC) et (EF) sont parallèles.}\hfill
\parbox{8cm}{
\begin{center}
\psset{xunit=0.8cm,yunit=0.8cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-1,-1)(8,4)
\psline(0,0)(7,0)
\psline(7,0)(7,3)
\psline(7,3)(0,3)
\psline(0,3)(0,0)
\psplot{-1}{8}{(-0--3*x)/7}
\psplot{-1}{8}{(-4.67--1*x)/2.33}
\begin{scriptsize}
\rput[bl](0.08,0.12){\blue{$A$}}
\rput[bl](7.08,0.12){\blue{$B$}}
\rput[bl](7.08,3.12){\blue{$C$}}
\rput[bl](0.08,3.12){\blue{$D$}}
\rput[bl](4.74,0.12){\darkgray{$E$}}
\rput[bl](7.08,1.12){\darkgray{$F$}}
\end{scriptsize}
\end{pspicture*}
\end{center}}

\subsection{}
Soit $ABCD$ un parallélogramme. $I$ est le milieu de $[BC]$ et $E$ est le point défini par $\overrightarrow{AE}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}$.\\
Démontrer que les points $D$, $E$ et $I$ sont alignés.

\subsection{}
Résoudre les inéquations suivantes :
\begin{enumerate}[a) ]
\item $(2x+5)(7x+1)\leqslant 0$

\item $(-2x+5)(3x+7)\geqslant 0$

\item $(4x^2-49)(x^2-1)>0$

\item $\dfrac{-5}{x(x-1)}\geqslant 0$ (on précisera les valeurs interdites)

\item $\dfrac{x}{x+2}-\dfrac{1}{x+1}<0$
\end{enumerate}

\subsection{}

\begin{enumerate}
\item  Vérifiez que, pour tout réel x, $x^{2} - 2x - 3 = (x - 1)^{2} - 4$.

\item Utilisez ce résultat pour résoudre l'inéquation $x^{2} - 2x - 3 < 0$. 
\end{enumerate}

\label{fin}
\end{document}  