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\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{empty}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{2\up{nde} : correction du TD sur les vecteurs (relation de Chasles et somme)}}\end{center}



%\begin{multicols}{2}
%\setlength{\columnseprule}{1pt}
%\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{}
Simplifier les expressions suivantes en utilisant la relation de Chasles :

\begin{enumerate}
\item $\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{CB}=\overrightarrow{AB}+ \overrightarrow{CA} - \overrightarrow{CB}= \overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{CB}=\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{CB}=\boxed{\textcolor{red}{\overrightarrow{0}}}$.

\item $\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{BA} +\overrightarrow{BD} -\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AB} +\overrightarrow{BD}=\boxed{\textcolor{red}{\overrightarrow{AD}}}$

\item $\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BC} - \overrightarrow{BA}=\overrightarrow{AB}  + \overrightarrow{BC} - \overrightarrow{AC}- \overrightarrow{BA}=\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AC}- \overrightarrow{BA}=-\overrightarrow{BA}=\boxed{\textcolor{red}{AB}}$
\end{enumerate}

\subsection{}
En utilisant la relation de Chasles, compléter les égalités suivantes :

\begin{enumerate}[a)]
\item $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{\textcolor{red}{B}C}$

\item $\overrightarrow{FE}=\overrightarrow{F\textcolor{red}{U} }+\overrightarrow{U\textcolor{red}{E} }$

\item $\overrightarrow{OU}+\overrightarrow{RS}+\overrightarrow{UR}=\overrightarrow{OU}+\overrightarrow{UR}+\overrightarrow{RS}=\overrightarrow{OR}+\overrightarrow{RS}=\boxed{\textcolor{red}{\overrightarrow{OS}}}$

\item $\overrightarrow{RT}=\overrightarrow{\textcolor{red}{R}I}+\overrightarrow{I\textcolor{red}{T}} $

\item $\overrightarrow{XY}=\overrightarrow{\textcolor{red}{X}M}+\overrightarrow{\textcolor{red}{M} N}+\overrightarrow{\textcolor{red}{N}\textcolor{red}{Y} }$
\end{enumerate}

%\columnbreak
\subsection{}
Dans un triangle ABC, on note A', B' et C' les milieux respectifs des segments [BC], [CA] et [AB].

Le point K vérifie $\overrightarrow{A'K}=\overrightarrow{BB'}$
\begin{enumerate}
\item %Faire une figure.
Figure :
\begin{center}
\newrgbcolor{ttqqqq}{0.2 0. 0.}
\newrgbcolor{qqqqcc}{0. 0. 0.8}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=5pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(0.,-3.)(9.,5.)
%\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1.,Dy=1.,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(0.,-3.)(9.,5.)
\pspolygon[linecolor=black,hatchcolor=ttqqqq,fillstyle=hlines,hatchangle=45.0,hatchsep=0.2](2.58,3.74)(1.14,-1.82)(8.,-1.84)
\pspolygon[fillcolor=cyan,fillstyle=solid,opacity=0.1](4.57,-1.83)(8.72,0.94)(5.29,0.95)(1.14,-1.82)
\psline(2.58,3.74)(1.14,-1.82)
\psline(1.14,-1.82)(8.,-1.84)
\psline(8.,-1.84)(2.58,3.74)
\psline[linecolor=qqqqcc](4.57,-1.83)(8.72,0.94)
\psline[linecolor=qqqqcc](8.72,0.94)(5.29,0.95)
\psline[linecolor=qqqqcc](5.29,0.95)(1.14,-1.82)
\psline[linecolor=qqqqcc](1.14,-1.82)(4.57,-1.83)
\begin{scriptsize}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](2.58,3.74)
\rput[bl](2.66,3.94){\blue{$A$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](1.14,-1.82)
\rput[bl](1.22,-1.62){\blue{$B$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](8.,-1.84)
\rput[bl](8.08,-1.64){\blue{$C$}}
\psdots[dotsize=3pt 0,dotstyle=*,linecolor=darkgray](4.57,-1.83)
\rput[bl](4.66,-1.72){\darkgray{$A'$}}
\psdots[dotsize=3pt 0,dotstyle=*,linecolor=darkgray](5.29,0.95)
\rput[bl](5.38,1.06){\darkgray{$B'$}}
\psdots[dotsize=3pt 0,dotstyle=*,linecolor=darkgray](1.86,0.96)
\rput[bl](1.94,1.08){\darkgray{$C'$}}
\psdots[dotsize=3pt 0,dotstyle=*,linecolor=darkgray](8.72,0.94)
\rput[bl](8.8,1.06){\darkgray{$K$}}
\end{scriptsize}
\end{pspicture*}
\end{center}

\item %Justifier que A'KB'B est un parallélogramme.
Par construction, $\overrightarrow{A'K}=\overrightarrow{BB'}$ donc A'KB'B est un parallélogramme.

\item %Justifier que $\overrightarrow{BA'}=\overrightarrow{A'C}$.
A' est le milieu de [BC] donc $\overrightarrow{BA'}=\overrightarrow{A'C}$.

\item %En déduire que A'CKB' est un parallélogramme;
A'KB'B est un parallélogramme, donc $\overrightarrow{BA'}=\overrightarrow{B'K}$ ; or $\overrightarrow{BA'}=\overrightarrow{A'C}$. On en déduit que : $\overrightarrow{B'K}=\overrightarrow{A'C}$.

On en déduit que A'CKB' est un parallélogramme.

\item %Montrer que $CKAC'$ est un parallélogramme.
On a par exemple :

$\overrightarrow{CK}=\overrightarrow{A'B'}=\overrightarrow{A'C}+\overrightarrow{CB'}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{BC}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{CA}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{C'A}$.

On en déduit que : $\overrightarrow{CK}=\overrightarrow{C'A}$ donc CKAC' est un parallélogramme.
\end{enumerate}

\subsection{}
ABCD est un carré de centre O ; I, J, K et L sont les milieux des côtés [AB], [BC], [CD] et [DA].
\begin{center}
\psset{unit=3,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=5pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-0.2,-0.2)(1.2,1.2)
\pspolygon[fillstyle=solid,opacity=0.1](0.,0.)(1.,0.)(1.,1.)(0.,1.)
\psline(0.,0.)(1.,0.)
\psline(1.,0.)(1.,1.)
\psline(1.,1.)(0.,1.)
\psline(0.,1.)(0.,0.)
\psline(0.,0.)(1.,1.)
\psline(1.,0.)(0.,1.)
\begin{scriptsize}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](0.,0.)
\rput[bl](-0.09210733795170002,-0.03135459871245144){\blue{$A$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](1.,0.)
\rput[bl](1.025702299565473,0.0010456806358722162){\blue{$B$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](1.,1.)
\rput[bl](1.009502159891311,1.0270545266661264){\blue{$C$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](0.,1.)
\rput[bl](0.010493546651325519,1.0270545266661264){\blue{$D$}}
\psdots[dotsize=3pt 0,dotstyle=*,linecolor=darkgray](0.5,0.)
\rput[bl](0.4586974109698055,-0.042154691828559535){\darkgray{$I$}}
\psdots[dotsize=3pt 0,dotstyle=*,linecolor=darkgray](1.,0.5)
\rput[bl](1.031102346123527,0.4843498475817024){\darkgray{$J$}}
\psdots[dotsize=3pt 0,dotstyle=*,linecolor=darkgray](0.5,1.)
\rput[bl](0.5099978532713183,1.0162544335500183){\darkgray{$K$}}
\psdots[dotsize=3pt 0,dotstyle=*,linecolor=darkgray](0.,0.5)
\rput[bl](-0.05700703532434918,0.47624977774462146){\darkgray{$L$}}
\uput[ul](0.5,0.5){O}
\end{scriptsize}
\end{pspicture*}
\end{center}
Compléter, en utilisant uniquement des points de la figure :
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $\overrightarrow{LK}+\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{LD}+\overrightarrow{DK}+\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{AL}+\overrightarrow{LO}+\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{AB}$

\item $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=2\overrightarrow{OI}=\overrightarrow{KI}$

\item $\overrightarrow{OL}+\overrightarrow{OK}=2\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{BD}$

\item $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AL}=\overrightarrow{AJ}$ (diagonale du parallélogramme)

\item $\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{LI}+\overrightarrow{BK}=\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{DO}+\overrightarrow{BK}=\overrightarrow{DO}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{DK}=\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{BK}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BK}=\overrightarrow{AK}$

\item $\overrightarrow{DK}+\overrightarrow{CO}+\overrightarrow{JO}=\overrightarrow{DK}+\overrightarrow{KL}+\overrightarrow{CO}=\overrightarrow{DL}+\overrightarrow{CO}=\overrightarrow{CO}+\overrightarrow{OI}=\overrightarrow{CI}$
\end{enumerate}


%\end{multicols}


\label{fin}
\end{document}  