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-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}
\title{\textbf{\textcolor{red}{FONCTIONS POLYNÔMES DE DEGRÉ DEUX-FONCTIONS HOMOGRAPHIQUES}}}
\date{}
\author{}

\begin{document}

\maketitle

\tableofcontents


\subsection{\textcolor{red}{Fonction polynôme du second degré}}

\subsubsection{\textcolor{blue}{Définitions}} 

\begin{bclogo}[couleur = cyan!20, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}}
On appelle fonction \textbf{\textcolor{red}{polynôme du second degré}} toute fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ de la forme $$f(x)=ax^2+bx+c$$ o˘ $a$, $b$ et $c$ sont des réels appelés coefficients avec $a\neq0$.
\end{bclogo}

\bigskip



	
\textbf{\textcolor{blue}{Exemples}} :
   Exemples de fonctions polynômes du second degré \\
   
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
\rowcolor{yellow!60}fonctions polynôme de degré 2& coefficients \\
      \hline
      $f(x) =2x^2-5x+3$ & $a=2$, $b=-5$, $c=3$ \\
\hline
      $f(x) =-x^2+3$ & $a=-1$, $b=0$, $c=3$  \\
\hline
      $f(x) =-7x^2+3x$ &$a=-7$, $b=3$, $c=0$  \\
\hline
\end{tabularx}


\bigskip


\begin{bclogo}[couleur = cyan!20, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}}
L'expression $f(x)=ax^2+bx+c$ peut s'écrire sous la forme $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$  avec $\alpha=-\dfrac{b}{2a}$ et $\beta=f(\alpha)$. Cette forme est appelée \textbf{forme canonique}
\end{bclogo}

\bigskip

\textbf{\textcolor{red}{Démonstration  :}}\\
$ax^2+bx+c=a\left(x^2+\dfrac{b}{a}x\right)+c=a\left[ \left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2-\left(\dfrac{b}{2a}\right)^2\right]+c=a\left(x-\left(-\dfrac{b}{2a}\right)\right)^2-\dfrac{b^2}{4a}+c=\boxed{\textcolor{red}{a(x-\alpha)+\beta}}$ en  posant $\alpha=-\dfrac{b}{2a}$ ; on a alors  $\beta==-\dfrac{b^2}{4a}+c=f(\alpha)$, car en remplaçant $x$ par $\alpha$ dans $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$, on trouve  $\beta$.

\smallskip

\textbf{\textcolor{blue}{Exemples}} :\\

\begin{enumerate}
\item Soit $f(x) =2x^2-4x+5=ax^2+bx+c$ avec $a=2$, $b=-4$ et $c=5$.

On a $\alpha=-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{-4}{2\times 2}=1$

$\beta=f\left(\alpha\right)=f(1)=3$

far conséquent $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta=2(x-1)^2+3$.

\item $f(x)=-5x^2+2x-7=ax^2+bx+c$ avec $a=-5$, $b=2$ et $c=-7$.

$\alpha=-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{2}{2\times (-5)}=\dfrac{1}{5}$

$\beta=f(\alpha)=f\left(\dfrac{1}{5}\right)=-5\times \left(\dfrac{1}{5}\right)^2+2\times \dfrac{1}{5}-7=-\dfrac{34}{5}$.

On en déduit $f(x)=-5\left(x-\dfrac{1}{5}\right)^2-\dfrac{34}{5}$

\end{enumerate}


\bigskip

\textbf{\textcolor{red}{Remarque}} : $\beta=f(\alpha)$ peut facilement se calculer à la calculatrice !

\subsubsection{\textcolor{blue}{Variations et représentation graphique}}

\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Propriété}}
   La fonction polynôme de degré $2$ définir sur $\mathbb{R}$ est :
   \begin{dinglist}{169}
      \item strictement décroissante sur $]-\infty~;~\alpha]$ puis strictement croissante sur $[\alpha~;~+\infty[$ \textbf{si $a>0$},
      \item strictement croissante sur $]-\infty~;~\alpha]$puis strictement décroissante $[\alpha~;~+\infty[$ \textbf{si $a<0$},
   \end{dinglist}
\end{bclogo}

\bigskip

\textbf{\textcolor{blue}{Démonstration  dans le cas $a>0$:}}
Sur $[\alpha~;~+\infty[$ :

On prend deux nombres $x_1$ et $x_2$ avec $\alpha\leqslant x_1\leqslant x_2$.\\
$\alpha\leqslant x_1\leqslant x_2\Rightarrow 0\leqslant x_1-\alpha\leqslant x_2-\alpha\Rightarrow0\leqslant \left(x_1-\alpha\right)^2\leqslant \left(x_2-\alpha\right)^2$ (car la fonction carré est croisante sur $[0~;~+\infty[$)

On en déduit $0\leqslant 0\leqslant a\left(x_1-\alpha\right)^2\leqslant a\left(x_2-\alpha\right)^2$ puis  $\beta\leqslant a\left(x_1-\alpha\right)^2+\beta\leqslant a\left(x_2-\alpha\right)^2\beta$.

Les images sont classées sdan sel même ordre que les antécédents, donc la fonction $f$ est croissante sur $[\alpha+\infty[$.

\bigskip

\textbf{\textcolor{blue}{Démonstration analogue}} sur $]-\infty~;~\alpha]$ et dans le cas où $a<0$

\newpage

\begin{center}
\textbf{T\textcolor{red}{ableau de variations  et représentation graphique :}}
\end{center}

\parbox{8cm}{\begin{center}
$\boxed{\textcolor{red}{a>0}}$
\end{center}

\bigskip

\begin{variations}
x&-\infty&&-\dfrac{b}{2a}&&\pI\\
\hline
\m{f(x)}&\h{\pI}&\d&\beta&\c&\h{\pI}\\
\hline
\end{variations}}\hfill
\parbox{8cm}{

   \begin{pspicture}(-1,-2.5)(5,6.5)
      \psaxes[ticks=none,labels=none]{->}(0,0)(-1,-1.5)(5,5.25)
      \psplot[linecolor=red]{-0.5}{4.5}{x -2 add x -2 add mul -1 add}
      \rput(1.9,5.5){\textcolor{blue}{$x=-\frac{b}{2a}$}}
      \psline[linestyle=dashed,linecolor=blue,linewidth=0.07](2,5.25)(2,-1)
      \psline[linestyle=dashed,linecolor=blue](0,-1)(4,-1)
      \psdot(2,-1)
      \uput[ul](0,0){O}
      \rput(2,-1.4){minimum}
      \uput[l](0,-1){$\beta$}
            \uput[dr](2,0){$\alpha$}
   \end{pspicture}}
   
   \parbox{8cm}{\begin{center}
$\boxed{\textcolor{red}{a<0}}$

\bigskip

\end{center}   
   \begin{variations}
x&-\infty&&-\dfrac{b}{2a}&&\pI\\
\hline
\m{f(x)}&\mI&\c&\h{\beta}&\d&\mI\\
\hline
\end{variations}}\hfill
\parbox{8cm}{
 \begin{pspicture}(-4,-3.5)(2,5.5)
      \psaxes[ticks=none,labels=none]{->}(0,0)(-4,-2.25)(2,4.5)
      \psplot[linecolor=red]{-3.5}{1.5}{x 1 add x 1 add mul -4 add -1 mul}
      \rput(-1,-2.5){\textcolor{blue}{$x=-\frac{b}{2a}$}}
      \psline[linestyle=dashed,linecolor=blue,linewidth=0.07](-1,-2.25)(-1,4)
      \psline[linestyle=dashed,linecolor=blue](-3,4)(1,4)
      \psdot(-1,4)
            \uput[ul](0,0){O}
      \rput(-1,4.4){Maximum}
            \uput[l](0,4){$\beta$}
            \uput[dr](-1,0){$\alpha$}

   \end{pspicture}}


Dans un repère $\left(O~;~\overrightarrow{i}~;~\overrightarrow{j}\right)$, la courbe représentative d'une fonction polynôme de degré $2$ est une \textbf{\textcolor{red}{parabole}}

Cette parabole admet un \textbf{\textcolor{red}{axe de symétrie}} parallèle à l'axe des ordonnées.

\bigskip

\textbf{\textcolor{blue}{Remarque}} : pour calculer $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$, on effectue plusieurs transformations successives :

\noindent $x\mapsto (x-\alpha)^2\mapsto a(x-\alpha)^2\mapsto a(x-\alpha)^2+\beta$.

\noindent La première transformation correspond à une translation parallèlement à l'axe des abscisses de $\alpha$ unités~;~la deuxième, multiplication par $a$, correspond à une dilatation (et un renversement si $a<0$) et la troisième à une translation parallèlement à l'axe des ordonnées de $\beta$ unités.

\subsection{\textcolor{red}{Fonctions homographiques}}

\subsubsection{\textcolor{blue}{Définition}}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}}
On appelle fonction homographique toute fonction de la forme $x\mapsto \dfrac{ax+b}{cx+d}$ où $a$, $b$, $c$ et $d$ sont des réels avec $c\neq 0$ et $ad-bc\neq 0$.
\end{bclogo}

\bigskip
\begin{bclogo}[couleur = cyan!20, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Propriété}}
L'ensemble de définition de la fonction $f:x\mapsto \dfrac{ax+b}{cx+d}$ est $\mathbb{R}\setminus\left\{-\dfrac{d}{c}\right\}$.
\end{bclogo}

\bigskip
\textbf{\textcolor{blue}{Exemple}} : soit $f:x\mapsto \dfrac{2x+3}{7x+3}$.\\
$f$ est bien homographique et l'ensemble de définition est $\mathbb{R}\setminus\left\{-\dfrac{3}{7}\right\}$.

\bigskip
\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}}
La courbe représentative d'une fonction homographique est une hyperbole, constituée de deux branches.
\end{bclogo}
\bigskip
Pour la fonction $f:x\mapsto\dfrac{2x+3}{7x+3}$, la courbe représentative est :
\begin{center}
\newrgbcolor{dcrutc}{0.86 0.08 0.24}
\begin{pspicture*}(-4,-4)(4,4)
\psset{xunit=2cm,yunit=2cm,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\multips(0,-4)(0,1.0){9}{\psline[linestyle=dashed,linecap=1,dash=1.5pt 1.5pt,linewidth=0.4pt,linecolor=lightgray]{c-c}(-4,0)(4,0)}
\multips(-4,0)(1.0,0){9}{\psline[linestyle=dashed,linecap=1,dash=1.5pt 1.5pt,linewidth=0.4pt,linecolor=lightgray]{c-c}(0,-4)(0,4)}
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-4,-4)(4,4)
\psplot[plotpoints=200]{-4.0}{-0.429}{(2*x+3)/(7*x+3)}
\psplot[plotpoints=200]{-0.428}{4}{(2*x+3)/(7*x+3)}
\psline[linestyle=dashed,dash=4pt 4pt,linecolor=dcrutc](-0.43,-4)(-0.43,4)
\begin{scriptsize}
\rput[bl](-4.2,-0.08){$f$}
\rput[bl](-0.28,6){\dcrutc{$a$}}
\end{scriptsize}
\end{pspicture*}
\end{center}

\label{fin}
\end{document}