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\everymath{\displaystyle}
\textwidth 19cm \textheight 25cm \hoffset 
-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{red}{\Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{fancy}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}
\title{\textbf{\textcolor{red}{Vecteurs et translations}}}
\date{}
\author{}

\begin{document}

\maketitle

\textcolor{blue}{\tableofcontents}

\subsection{\textcolor{red}{Translations}}
On considère un pentagone dont les cinq sommets sont A, B, C, D, E.
\noindent 
On le déplace en le faisant glisser de façon à ce qu'il garde la même orientation par rapport à la feuille de papier ou au tableau.
\noindent 
Le sommet A vient en A', B vient en B' et C vient en C', etc.
\begin{center}
\psset{unit=0.7,algebraic=true,dotstyle=*,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(1,-1)(12,8)
\pspolygon[linestyle=none,fillstyle=solid,fillcolor=cyan!30,opacity=0.1](1.54,0.96)(1.48,3.26)(3.66,5.64)(5.38,3.18)(5.36,1.06)
\pspolygon[linestyle=none,fillstyle=solid,fillcolor=cyan!30,opacity=0.1](7.22,2.36)(7.16,4.66)(9.34,7.04)(11.06,4.58)(11.04,2.46)
\psline(1.54,0.96)(1.48,3.26)
\psline(1.48,3.26)(3.66,5.64)
\psline(3.66,5.64)(5.38,3.18)
\psline(5.38,3.18)(5.36,1.06)
\psline(5.36,1.06)(1.54,0.96)
\psline(7.22,2.36)(7.16,4.66)
\psline(7.16,4.66)(9.34,7.04)
\psline(9.34,7.04)(11.06,4.58)
\psline(11.06,4.58)(11.04,2.46)
\psline(11.04,2.46)(7.22,2.36)
\psdots[linecolor=blue](1.54,0.96)
\rput[bl](1.62,1.08){\blue{$A$}}
\psdots[linecolor=blue](1.48,3.26)
\uput[l](1.56,3.38){\blue{$B$}}
\psdots[linecolor=blue](3.66,5.64)
\rput[bl](3.74,5.76){\blue{$C$}}
\psdots[linecolor=blue](5.38,3.18)
\rput[bl](5.46,3.3){\blue{$D$}}
\psdots[linecolor=blue](5.36,1.06)
\rput[bl](5.44,1.18){\blue{$E$}}
\psdots[linecolor=darkgray](7.22,2.36)
\rput[l](7.3,2.48){\darkgray{$A'$}}
\psdots[linecolor=darkgray](7.16,4.66)
\uput[l](7.24,4.78){\darkgray{$B'$}}
\psdots[linecolor=darkgray](9.34,7.04)
\rput[bl](9.42,7.16){\darkgray{$C'$}}
\psdots[linecolor=darkgray](11.06,4.58)
\rput[bl](11.14,4.7){\darkgray{$D'$}}
\psdots[linecolor=darkgray](11.04,2.46)
\rput[bl](11.12,2.58){\darkgray{$E'$}}
\psline[linestyle=dashed,linecolor=red]{->}(1.54,0.96)(7.22,2.36)
\end{pspicture*}
\end{center}
On dit qu'on a effectué une \textbf{\textcolor{red}{translation}} du pentagone.
\noindent 
Faire subir une \textbf{\textcolor{red}{translation}} à un objet revient à le faire glisser en gardant la même orientation.

\newpage
\subsection{\textcolor{red}{Vecteur d'une translation}}
\noindent \textbf{\textcolor{blue}{Remarque :}} Dire qu'on a fait glisser la figure ou qu'on lui a fait subir une translation est \textbf{insuffisant}. On ne sait pas où la figure est arrivée !

\noindent Il faut préciser davantage.
\bigskip

\begin{bclogo}[couleur = cyan!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}}
En fait, puisque la figure reste inchangée et qu'elle garde la même orientation, il suffit de donner le déplacement d'un seul point de la figure.

\noindent Par exemple, il suffit de dire que A va en A' pour pouvoir construire le polygone A'B'C'D'E'.
\noindent 
On dit que l'on a effectué une translation de vecteur $\overrightarrow{AA'}$
\end{bclogo}

\bigskip

\textbf{\textcolor{blue}{Remarque : }} on aurait pu dire que B allait en en B' ou C en C'.
\noindent 
La figure a donc aussi subi une translation de vecteur $\overrightarrow{BB'}$ ou $\overrightarrow{CC'}$ etc.
\noindent 

\textbf{\textcolor{red}{Représentation}} : Si $A\neq A'$, le vecteur $\overrightarrow{AA'}$ se représente par une flèche d'origine A et d'extrémité A'.

\bigskip

\begin{bclogo}[couleur =cyan!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Vocabulaire}}
Deux droites ont la même \textbf{\textcolor{red}{direction}} lorsqu'elles sont parallèles.
\noindent 
Deux voitures qui roulent sur une même route rectiligne vont dans la même direction ; elles peuvent aller dans le même \textbf{\textcolor{red}{sens}} ou dans des \textbf{\textcolor{red}{sens}} contraires.
\noindent 
Un vecteur $\overrightarrow{AB}$ est caractérisé par sa \textbf{\textcolor{red}{direction}}, son \textbf{\textcolor{red}{sens}} et sa \textbf{\textcolor{red}{longueur}} AB.
\end{bclogo}

\bigskip

\begin{bclogo}[couleur = cyan!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}}
L'image d'un point M par une tran
slation de vecteur $\overrightarrow{AB}$ est un point M' tel que :
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item les droites (AA') et (MM') ont la même \textbf{direction} (c'est à dire sont parallèles) ;

\item les demi droites [AA') et [MM') ont le même \textbf{sens} ;

\item les segments [AA'] et [MM'] ont la même longueur; AA' = MM'
\end{enumerate}
\end{bclogo}

\bigskip

L'image $M'$ d'un point $M$ par une translation de vecteur $\overrightarrow{\text{AB}}$ se construit au compas.

\begin{center}
\newrgbcolor{xdxdff}{0.49019607843137253 0.49019607843137253 1.}
\psset{unit=0.8,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=5pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-4.,-4.)(8.,7)
\psline{->}(-1.26,0.44)(1.02,3.62)
%\pscircle(4.1,-0.5){3.912901736563289}
\psline(-1.26,0.44)(4.1,-0.5)
%\pscircle(1.02,3.62){5.441801172406063}
\parametricplot{0.623199329934066}{1.2587542052323633}{1.*3.912901736563289*cos(t)+0.*3.912901736563289*sin(t)+4.1|0.*3.912901736563289*cos(t)+1.*3.912901736563289*sin(t)+-0.5}
\parametricplot[linecolor=red]{-0.3832293111587699}{0.08405059811246454}{1.*5.441801172406063*cos(t)+0.*5.441801172406063*sin(t)+1.02|0.*5.441801172406063*cos(t)+1.*5.441801172406063*sin(t)+3.62}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](-1.26,0.44)
\uput[l](-1.26,0.44){\blue{$A$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](1.02,3.62)
\rput[bl](1.1,3.82){\blue{$B$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](4.1,-0.5)
\rput[bl](4.18,-0.3){\blue{$
M$}}
\rput[bl](-0.58,2.08){$\overrightarrow{\text{AB}}$}
\psdots[dotsize=3pt 0,dotstyle=*,linecolor=darkgray](6.38,2.68)
\rput[bl](6.46,2.8){\darkgray{$
M'$}}
%\rput[bl](2.14,2.44){$c$}
%\psdots[dotstyle=*,linecolor=xdxdff](7.277336356642987,1.7837105063371475)
%\rput[bl](7.36,1.98){\xdxdff{$E$}}
%\psdots[dotstyle=*,linecolor=xdxdff](5.301271710689519,3.223942303137507)
%\rput[bl](5.38,3.42){\xdxdff{$F$}}
%\rput[bl](1.36,-0.34){$a$}
%\rput[bl](-1.72,7.84){$d$}
%\psdots[dotstyle=*,linecolor=xdxdff](6.205893510007096,1.9708461251701577)
%\rput[bl](6.28,2.18){\xdxdff{$G$}}
%\psdots[dotstyle=*,linecolor=xdxdff](6.440740585736794,4.0983006399179525)
%\rput[bl](6.52,4.3){\xdxdff{$H$}}
%\rput[bl](6.52,2.8){$e$}
%\rput[bl](6.54,3.16){$f$}
\end{pspicture*}
\end{center}

On trace l'arc de cercle de centre B et de rayon AC (car nous devons avoir $AC=BD$).

\noindent On trace l'arc de cercle de centre C et de rayon AB (car nous devons avoir $CD=AB$).

\subsection{\textcolor{red}{Egalité de vecteurs}}
Deux vecteurs  sont égaux s'ils correspondent à la même translation.

\noindent D'après ce qu'on a vu auparavant, on en déduit la définition suivante ;

\bigskip

\begin{bclogo}[couleur = cyan!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}}
Deux vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$  sont égaux si :
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item les droites (AB) et (CD) sont parallèles ;

\item les demi-droites [AB) et [CD) ont le même sens :

\item les longueurs AB et CD sont égales.
\end{enumerate}
On écrit alors : $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}$  
\end{bclogo}

\bigskip

Soient deux vecteurs \textbf{égaux} $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$.
\noindent 
D'après ce qu'on a vu, les segments [AB] et [CD] sont alors parallèles et de même longueur : on en déduit que le quadrilatère ABDC est un parallélogramme (éventuellement aplati).
\noindent 

\noindent \textcolor{red}{Remarque} : sur la figure du I, on a : $\overrightarrow{AA'}=\overrightarrow{BB'}=\overrightarrow{CC'}=\overrightarrow{DD'}=\overrightarrow{EE'}$.
\noindent 
 
 \begin{bclogo}[couleur = yellow!50, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Propriété}}
Deux vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ sont égaux si, et seulement si, ABDC et un parallélogramme (éventuellement aplati).

\noindent Deux vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ sont égaux si, et seulement si, [AD] et [BC] ont le même milieu.
\end{bclogo}


\begin{center}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=*,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(0,2)(9,5)
\pspolygon[linestyle=none,fillstyle=solid,fillcolor=cyan!10,opacity=0.1](1.68,3.48)(5.76,4.36)(8.12,3.44)(4.04,2.56)
\psline{->}(1.68,3.48)(5.76,4.36)
\psline{->}(4.04,2.56)(8.12,3.44)
\psline(1.68,3.48)(8.12,3.44)
\psline(5.76,4.36)(4.04,2.56)
\psline(1.68,3.48)(5.76,4.36)
\psline(5.76,4.36)(8.12,3.44)
\psline(8.12,3.44)(4.04,2.56)
\psline(4.04,2.56)(1.68,3.48)
\psdots[linecolor=blue](1.68,3.48)
\rput[bl](1.76,3.6){\blue{$A$}}
\psdots[linecolor=blue](5.76,4.36)
\rput[bl](5.84,4.48){\blue{$B$}}
\psdots[linecolor=blue](4.04,2.56)
\rput[bl](4.12,2.68){\blue{$C$}}
\psdots[linecolor=darkgray](8.12,3.44)
\rput[bl](8.2,3.56){\darkgray{$D$}}
\end{pspicture*}
\end{center}  




\noindent \textbf{\textcolor{blue}{Remarque :}} si l'on ne veut pas préciser les extrémités du vecteur, on lui donne un nom avec une seule lettre, par exemple le vecteur $\overrightarrow{u}$.

\bigskip

\begin{bclogo}[couleur = yellow!50, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Propriétés}}
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AC}$ si, et seulement si B = C.

\item K est le milieu du segment [AB] si, et seulement si, $\overrightarrow{AK}=\overrightarrow{KB}$
\end{enumerate}
\end{bclogo}

\bigskip
\textbf{\textcolor{red}{Exercice :}}
\noindent 
Soient ABCD et ABEF deux parallélogrammes.
\begin{enumerate}

\item Faire une figure.

\item Que peut-on dire des vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $DC$ ? Y a-t-il un autre vecteur égal au vecteur $\overrightarrow{AB}$ ?

\item Conclure.
\end{enumerate}




\subsection{ \textcolor{red}{Somme de deux vecteurs}}

\begin{center}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=*,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-1.5,-3)(7,4)
\psline{->}(-0.94,3.36)(5.14,1.84)
\psline{->}(5.14,1.84)(6.36,-2.36)
\psline{->}(-0.94,3.36)(6.36,-2.36)
\psdots[linecolor=blue](-0.94,3.36)
\rput[bl](-0.86,3.48){\blue{$A$}}
\psdots[linecolor=blue](5.14,1.84)
\rput[bl](5.22,1.96){\blue{$B$}}
\psdots[linecolor=blue](6.36,-2.36)
\rput[bl](6.44,-2.24){\blue{$C$}}
\rput[bl](2.1,2.68){$\overrightarrow{AB}$}
\rput[bl](5.8,-0.24){$\overrightarrow{BC}$}
\uput[l]{-38}(3.8,0.56){$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}$}
\end{pspicture*}
\end{center}

Le point B est l'image du point A par la translation de vecteur  $\overrightarrow{AB}$.
\noindent 
Le point C est l'image du point B par la translation de vecteur  $\overrightarrow{BC}$.
\noindent 
On applique \textbf{\textcolor{red}{successivement}} les deux translations.
\noindent 
Cela revient à n'en appliquer qu'une seule (on va directement de A en C, sans passer par B).
Cette translation qui permet de passer de A en C est la translation de vecteur $\overrightarrow{AC}$.
\noindent 
Ainsi définit-on une définition sur les vecteurs.

\bigskip

\begin{minipage}{12cm}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!50, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Propriété (relation de Chasles)}}
Pour tous points A, B et C, on a : $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$
\end{bclogo}
\end{minipage} 

\bigskip

\textbf{\textcolor{red}{Remarque}} : Le segment d'extrémités A et C est la diagonale du parallélogramme dont $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{BC}$ sont deux côtés consécutifs.
 
 \bigskip
 
\textbf{\textcolor{blue}{Somme de deux vecteurs de même origine }}:
\noindent 
On veut construire la somme de deux vecteurs de même origine $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$.
\begin{center}
\psset{unit=0.8,algebraic=true,dotstyle=*,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(0,0)(8,4)
\psline{->}(0.22,3.52)(5.42,3.38)
\psline{->}(0.22,3.52)(1.84,0.68)
\psline[linestyle=dashed]{->}(1.84,0.68)(7.04,0.54)
\psline[linestyle=dashed]{->}(5.42,3.38)(7.04,0.54)
\psline[linecolor=red]{->}(0.22,3.52)(7.04,0.54)
\psdots[linecolor=blue](0.22,3.52)
\rput[bl](0.3,3.64){\blue{$A$}}
\psdots[linecolor=blue](5.42,3.38)
\rput[bl](5.5,3.5){\blue{$B$}}
\psdots[linecolor=blue](1.84,0.68)
\rput[bl](1.92,0.8){\blue{$C$}}
\psdots[linecolor=darkgray](7.04,0.54)
\rput[bl](7.12,0.66){\darkgray{$D$}}
\end{pspicture*}
\end{center}

On introduit le point D tel que ABDC soit un parallélogramme ($\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}$). Ce point se construit au compas, puisque l'on doit avoir AB = CD et AC = BD.
\noindent 
Alors : $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AD}$ (\textbf{\textcolor{red}{relation de Chasles}}).

\bigskip

\textbf{\textcolor{red}{Remarque}}: En appliquant la relation de Chasles, on a :
\noindent 
$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{AA}$.
\noindent 
Une translation de vecteur $\overrightarrow{AB}$ suivie d'une translation de vecteur $\overrightarrow{AB}$ correspond à une translation de vecteur $\overrightarrow{AA}$, qui laisse tous les points immobiles ; on parle alors de translation de \textbf{vecteur nul}, noté $\overrightarrow{0}$.
\noindent 
Par conséquent : $\overrightarrow{AA}=\overrightarrow{BB}=\overrightarrow{CC}=\cdots=\overrightarrow{0}$.
\noindent 

\noindent Comme $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{0}$, par analogie avec l'addition sur les nombres, on pose $\boxed{\textcolor{red}{\overrightarrow{BA}=-\overrightarrow{BA}}}$.
\noindent 

\bigskip

\noindent \textbf{\textcolor{red}{Exemple :}} Soit ABDC un parallélogramme.
\noindent 
On a vu précédemment que $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AD}$.
\noindent 
On voudrait représenter également $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}$.
\noindent 
On a : $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AB}=\boxed{\textcolor{red}{\overrightarrow{CB}}}$ en appliquant la relation de Chasles. On remarque que l'on obtient l'autre diagonale du parallélogramme.

\begin{center}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=*,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(0,0)(8,4)
\psline{->}(0.22,3.52)(5.42,3.38)
\psline{->}(0.22,3.52)(1.84,0.68)
\psline[linestyle=dashed]{->}(1.84,0.68)(7.04,0.54)
\psline[linestyle=dashed]{->}(5.42,3.38)(7.04,0.54)
\psline[linecolor=red]{->}(0.22,3.52)(7.04,0.54)
\psdots[linecolor=blue](0.22,3.52)
\rput[bl](0.3,3.64){\blue{$A$}}
\psdots[linecolor=blue](5.42,3.38)
\rput[bl](5.5,3.5){\blue{$B$}}
\psdots[linecolor=blue](1.84,0.68)
\rput[bl](1.92,0.8){\blue{$C$}}
\psdots[linecolor=darkgray](7.04,0.54)
\rput[bl](7.12,0.66){\darkgray{$D$}}
\psline[linecolor=blue]{->}(1.84,0.68)(5.42,3.38)
\rput{-20}(2,3){$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$}
\rput{30}(4,2.7){$\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}$}

\end{pspicture*}

\end{center}

\subsection{\textcolor{red}{Coordonnées d'un vecteur}}

\begin{bclogo}[couleur = cyan!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}}
Soit $\left(O~;~\overrightarrow{i}~;~\overrightarrow{j}\right)$ un repère quelconque.
\noindent 
Soient deux points $A\left(x_{A}~;~y_{A}\right)$ et $B(x_{B}~;~y_{B})$.
\noindent 
Les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{AB}$ sont $x_{B}-x_{A}$ et $y_{B}-y_{A}$ et l'on écrit : $\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}x_{B}-x_{A}
\\y_{B}-y_{A}\end{pmatrix}$
\end{bclogo}
 
\bigskip

\textcolor{blue}{Remarque :}
\noindent 
Les coordonnées d'un vecteur   servent à indiquer de combien d'unités on se déplace parallèlement à chaque axe.
\begin{center}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm}
\begin{pspicture*}(-1,-2)(8,6)
\psgrid[subgriddiv=0,gridlabels=0,gridcolor=lightgray](0,0)(-1,-2)(8,6)
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-1,-2)(8,6)
\psline{->}(2,5)(7,-1)
\begin{scriptsize}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](2,5)
\rput[bl](2.08,5.12){\blue{$A(2~;~5)$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](7,-1)
\rput[bl](7.08,-0.88){\blue{$B(7~;~-1)$}}
\psline[linestyle=dashed](2,5)(2,-1)
\psline[linestyle=dashed](2,-1)(7,-1)
\uput[r](5,3){$\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 5
\noindent -6\end{pmatrix}$}
\psline[linecolor=red,linestyle=dashed]{<->}(1.8,5)(1.8,-1)
\uput[l](1.8,2){-6}
\psline[linecolor=red,linestyle=dashed]{<->}(2,-1.2)(7,-1.2)
\uput[d](5,-1.2){5}
\end{scriptsize}
\end{pspicture*}
\end{center} 

\noindent \textbf{\textcolor{blue}{Remarque :}} deux vecteurs sont égaux si, et seulement si, ils ont les mêmes coordonnées.
\noindent 

\bigskip

\noindent \textbf{\textcolor{red}{Application}} : Déterminer les coordonnées du quatrième point d'un parallélogramme :

\noindent Soient A(2~;~ 3) , B( 3~;~4) et C( 5~;~6). On cherche les coordonnées de D tel que ABCD soit un parallélogramme.


\noindent 
ABCD est un parallélogramme si les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{DC}$ sont égaux.


\noindent 
On note $D\left(x_{D}~;~y_{D}\right)$ les coordonnées de $D$.


\noindent 
$\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{DC}\begin{pmatrix}5-x_{D}\\6-y_{D}\end{pmatrix}$.
On obtient un système de deux équations :


\noindent 
$\left\{\begin{array}{l}5-x_{D}=1


\noindent 6-y_{D}=1\end{array}\right.$.


\noindent 
$x_{D} = 4$ et $y_{D} = 5.$ donc $D(4~;~5)$.




\subsection{\textcolor{red}{Longueur d'un segment}}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!50, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Propriété}}
Soit $\left(O~;~\overrightarrow{i}~;~\overrightarrow{j}\right)$ un repère \textbf{orthonormal}.
Soient A$\left(x_{A}~;~y_{A}\right)$ et B$\left(x_{B}~;~y_{B}\right)$. Alors : 


\noindent 
$AB=\sqrt{\left(x_{B}-x_{A}\right)^{2}+\left(y_{B}-y_{A}\right)^{2}}$.
\end{bclogo}\label{fin}

\bigskip



\noindent \textbf{\textcolor{red}{Démonstration :}} on a déjà vu cette formule ; elle est basée sur l'application du théorème de Pythagore.


\noindent 

\textbf{\textcolor{blue}{Remarque}} : $\left(x_{1}-x_{B}\right)$ et $\left(y_{B}-y_{A}\right)$ sont les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{AB}$.


\noindent 

\bigskip

\textbf{\textcolor{blue}{Exemple :}} $A(2~;~-5)$ et $B(-7~;~1)$.


\noindent 
$\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} -9\\ 6\end{pmatrix}$.


\noindent 
$AB=\sqrt{(-9)^{2}+6^{2}}=\sqrt{81+36}=\sqrt{117}$

\subsection{\textcolor{red}{Multiplication d'une vecteur par un réel}}
\begin{bclogo}[couleur = cyan!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}}
Soit $\overrightarrow{u}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$ un vecteur et soit $k$ un réel.


\noindent 
Le vecteur de coordonnées $\begin{pmatrix}kx\\ ky\end{pmatrix}$ est noté $k\overrightarrow{u}$.
\end{bclogo}

\bigskip

\textbf{\textcolor{red}{Remarque}} :
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Les vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $k\overrightarrow{u}$ ont la même direction.

\item Si $k>0$, $k\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{u}$ ont le même sens. Si $k<0$, les deux vecteurs sont de sens contraire.

\item La longueur de $k\overrightarrow{u}$ est $k$ fois celle de $\overrightarrow{u}$ si $k>0$, $-k$ foix celle de $\overrightarrow{u}$ si $k<0$.
\end{enumerate}

\textbf{\textcolor{red}{Exemple}} : 
\begin{center}
\newrgbcolor{xdxdff}{0.490196078431 0.490196078431 1.}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-3.,-1.)(10.,4.)
\psline{->}(0.,0.)(6.,0.)
\psline{->}(0.,1.)(9.,1.)
\psline{->}(0.,2.)(-3.,2.)
\begin{scriptsize}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=darkgray](0.,0.)
\rput[bl](0.08,0.12){\darkgray{$A$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=xdxdff](6.,0.)
\rput[bl](6.08,0.12){\xdxdff{$B$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=xdxdff](0.,1.)
\rput[bl](0.08,1.12){\xdxdff{$C$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=xdxdff](0.,2.)
\rput[bl](0.08,2.12){\xdxdff{$D$}}
\rput[bl](3.,0.08){$\overrightarrow{u}$}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=darkgray](9.,1.)
\rput[bl](9.08,1.12){\darkgray{$E$}}
\rput[bl](4.5,1.08){$\dfrac{3}{2}\overrightarrow{u}$}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=darkgray](-3.,2.)
\rput[bl](-2.92,2.12){\darkgray{$F$}}
\rput[bl](-1.5,2.1){$-\dfrac{1}{2}\overrightarrow{u}$}
\end{scriptsize}
\end{pspicture*}
\end{center}

\subsection{\textcolor{red}{Vecteurs colinéaires}}

\subsubsection{\textcolor{blue}{Définition et caractérisation}}
\begin{bclogo}[couleur = cyan!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}}
Deux vecteurs non nuls $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont colinéaires si, et seulement si, il existe un réel $k$ tel que $\overrightarrow{v}=k\overrightarrow{u}$
\end{bclogo}

\bigskip
\begin{bclogo}[couleur = yellow!50,, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Propriété}}
Deux vecteurs non nuls $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont colinéaires si, et seulement si, leurs coordonnées sont proportionnelles
\end{bclogo}

\bigskip

En effet :  les deux vecteurs sont colinéaires si, et seulement si, $\overrightarrow{v}=k\overrightarrow{u}$.


\noindent 
Si $\overrightarrow{u}$ a pour coordonnées $\begin{pmatrix}x\\y \end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{v}\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}$, cela se traduit par $\left\{\begin{array}{l}x"=kx\\y'=ky\end{array}\right.$, donc les coordonnées sont bien proportionnelles.

\bigskip
\begin{bclogo}[couleur = yellow!50, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Propriété (condition de colinéaires)}}
Soient deux vecteurs $\overrightarrow{u}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{v}\begin{pmatrix}x'\\ y'\end{pmatrix}$.


\noindent 
$\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont colinéaires si, et seulement si, $xy'-x'y=0$
\end{bclogo}

\bigskip

Exemples : 
\begin{enumerate}
\item Soient $\overrightarrow{u}\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{v}\begin{pmatrix}6\\ 9\end{pmatrix}$.

Il est clair que $\overrightarrow{v}=3\overrightarrow{u}$ donc $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont colinéaires.

\item Soient $\overrightarrow{u}\begin{pmatrix}\sqrt{3}+\sqrt{2}\\1\end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{v}\begin{pmatrix}1\\\sqrt{3}-\sqrt{2}\end{pmatrix}$.

On applique la condition de colinéaires : 

$\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)-1\times 1=\sqrt{3}^2-\sqrt{2}^2-1=2-2-1=0$ donc $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont colinéaires.
\end{enumerate}


\subsubsection{\textcolor{blue}{Application à la géométrie}}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!50,, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Théorème}}
Soient trois points  A, B et C deux à deux distincts.


\noindent 
A, B et C sont alignés si, et seulement si, $\overrightarrow{\text{AB}}$ et $\overrightarrow{\text{AC}}$ sont colinéaires.
\end{bclogo}

\bigskip

Exemple : soient A(2~;~5), B(3~;~8) et C(-5~;~-16).

Montrer que ces trois points sont alignés.

$\overrightarrow{\text{AB}}\begin{pmatrix}1\\3\end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{\text{AC}}\begin{pmatrix}-7\\ -21\end{pmatrix}$.

Il est clair que $\overrightarrow{\text{AC}}=-7\overrightarrow{\text{AB}}$ donc ces vecteurs sont colinéaires.

Les trois points A, B et C sont bien alignés.

\bigskip

\begin{bclogo}[couleur = yellow!50,, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Théorème}}
Soient quatre points A, B, C et D deux à deux distincts.


\noindent 
Les droites (AB) et (BC) sont parallèles si, et seulement si, $\overrightarrow{\text{AB}}$ et $\overrightarrow{\text{CD}}$ sont colinéaires.
\end{bclogo}

\bigskip

\textbf{\textcolor{red}{Exemple }}: soient A(1~;~3), B(5~;~-2), C(-1~;~6) et D7~;~-4).

Montrer que les droites (AB) et (CD) sont parallèles.

$\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}4\\-5\end{pmatrix}$~;~$\overrightarrow{CD}\begin{pmatrix}8\\-10\end{pmatrix}$.

On remarque que $\overrightarrow{\text{CD}}=2\overrightarrow{\text{AB}}$.

Les deux vecteurs $\overrightarrow{\text{AB}}$ et $\overrightarrow{\text{CD}}$ sont colinéaires, donc les droites (AB) et (CD) sont parallèles.
\label{fin}
\end{document}  