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-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{fancy}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}
\title{\textcolor{red}{Inéquations}}
\date{}

\begin{document}
\maketitle

\tableofcontents




\subsection{\textcolor{blue}{Définition}}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}}
Une inéquation est une inégalité comportant une ou plusieurs nombres inconnu

\noindent Résoudre une inéquation consiste à trouver toutes les valeurs possibles que peuvent prendre ces nombres inconnus pour obtenir une inégalité vraie.

\end{bclogo}


\subsection{\textcolor{blue}{Signe de l'expression $ax +b$}}

On considère l'expression $ax +b$  avec $a\neq 0$.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $ax +b = 0\iff x = -\dfrac{b}{a}$.

\item $ax +b > 0\iff ax > -b$.\\


\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}
Si $a > 0$, $ax > -b\iff x > -\dfrac{b}{a}$\\

Si $a < 0$, $ax > -b\iff x < -\dfrac{b}{a}$ \\
\end{multicols}
(car l'inégalité change de sens quand on divise les deux membres par un nombre
négatif )

\item $ax +b < 0\iff ax < -b$.\\


\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}
Si $a > 0$, $ax < -b\iff x < -\dfrac{b}{a}$\\

Si $a < 0$, $ax < -b\iff x < -\dfrac{b}{a}$ \\
\end{multicols}
(car l'inégalité change de sens quand on divise les deux membres par un nombre
négatif )

\end{enumerate} 

On récapitule cela dans un tableau de signes :

\bigskip

\textbf{\textcolor{red}{Nous avons deux cas possibles :}}\\


\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\noindent $\boxed{\textcolor{red}{a > 0}}$
\begin{center}
\begin{variations}
x&\mI&&-\dfrac{b}{a}&&\pI\\
\filet
\text{Signe de }ax+b&&-&\z&+&\\
\end{variations}
\end{center}

\noindent $\boxed{\textcolor{red}{a < 0}}$
\begin{center}
\begin{variations}
x&\mI&&-\dfrac{b}{a}&&\pI\\
\filet
\text{Signe de }ax+b&&+&\z&-&\\
\end{variations}
\end{center}

\end{multicols}

\textbf{\textcolor{blue}{En résumé, on obtient }}:
\begin{center}
\begin{variations}
x&\mI&&-\dfrac{b}{a}&&\pI\\
\filet
\text{Signe de }ax+b&&\textcolor{red}{\text{Signe de }-a}&\z&\textcolor{red}{\text{Signe de }a}&\\
\end{variations}
\end{center}

\noindent \textbf{\textcolor{red}{Exemples :}}


\begin{enumerate}[a)]
\item  Trouver en fonction de $x$ le signe de $3x +4$.
$3x +4$ s'annule pour $x = -\dfrac{4}{3}$. \\
Le coefficient 3 est positif, donc on a :
\begin{center}
\begin{variations}
x&\mI&&-\dfrac{4}{3}&&\pI\\
\filet
\text{Signe de }3x+4&&-&\z&+&\\
\end{variations}
\end{center}

\item Trouver en fonction de $x$ le signe de $-2x +5$.
$-2x +5$ s'annule pour $x =\dfrac{5}{2}$\\
Le coefficient -2 est négatif, donc on a :
\begin{center}
\begin{variations}
x&\mI&&\dfrac{5}{2}&&\pI\\
\filet
\text{Signe de }-2x+5&&+&\z&-&\\
\end{variations}
\end{center}
\end{enumerate}



\subsection{\textcolor{blue}{Signe d'un produit}}
\textbf{\textcolor{red}{Méthode :}}\\
On étudie le signe de chaque facteur du produit, on renseigne un tableau de signes et on conclut dans le
tableau en appliquant la règle du signe d'un produit.\\

\noindent \textbf{\textcolor{blue}{Exemple :}} \\
Déterminer le signe de l'expression $A(x) = (2x +3)(5x -4)$.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $2x +3= 0\iff x = -\dfrac{3}{2}$

\item  $5x -4= 0\iff x =\dfrac{4}{5}$

\item On renseigne un tableau de signes :
\begin{center}
\begin{variations}
x&\mI&&-\frac32&&\frac54&&\pI\\
\filet
\text{Signe de }2x+3&&-&\z&+&\l&+&\\
\filet
\text{Signe de }5x-4&&-&\l&-&\z&+&\\
\filet
\text{Signe de }(2x+3)(5x-4)&&+&\z&-&\z&+&\\
\end{variations}

\end{center}
\end{enumerate}
\textbf{\textcolor{red}{Conclusion :}}
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $(2x +3)(5x -4)<0$ pour $x\in\left]-\dfrac{3}{2}~;~\dfrac{4}{5}\right]$

\item $(2x +3)(5x -4)=0$ pour $x=-\dfrac{3}{2}$ ou $x=\dfrac{4}{5}$

\item $(2x +3)(5x -4)>0$ pour $x\in\left]-\infty-\dfrac{3}{2}\right[\cup \left]\dfrac{5}{4}~;~+\infty\right[$
\end{enumerate}



\subsection{\textcolor{blue}{Inéquations se ramenant à un produit}}
\textbf{\textcolor{red}{Exemple :}} Résoudre $x^2-7x < (5-x)(x -7)$\\

\noindent \textbf{\textcolor{blue}{Méthode : }}on se ramène à une inéquation du type A(x) < 0, puis on factorise.\\
$x^2-7x < (5-x)(x -7)\iff x^2-7x -(5-x)(x -7) < 0\iff x(x -7)-(5-x)(x -7) < 0\\
\iff (x -7)[x -(5-x)] < 0\iff (x -7)(2x -5)< 0$
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item  $x -7 = 0\iff x = 7$

\item $2x -5= 0\iff x =\dfrac{5}{2}$
\end{enumerate}
On renseigne un tableau de signes :
\begin{center}
\begin{variations}
x&\mI&&\frac52&&7&&\pI\\
\filet
\text{Signe de }x-7&&-&\l&-&\z&+&\\
\filet
\text{Signe de }2x-5&&-&\z&+&\l&+&\\
\filet
\text{Signe de }(x-7)(2x-5)&&+&\z&-&\z&+&\\
\end{variations}
\end{center}
%

\subsection{\textcolor{blue}{Inéquations sous forme de quotients}}
\textbf{\textcolor{red}{Exemple :}} Résoudre l'inéquation $\dfrac{-3x +5}{x +1}\geqslant 2$.\\

\textbf{\textcolor{blue}{Méthode :}} On commence par chercher l'ensemble de définition, puis on se ramène à une comparaison à 0. On factorise et enfin, on renseigne un tableau de signes.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item L'ensemble de définition est : $\mathscr{D} = \mathbb{R}\setminus\{-1\}$.

\item Pour $x\in\mathscr{D}$, $\dfrac{-3x +5}{x +1}\geqslant 2\iff \dfrac{ -3x +5}{x +1} -2\geqslant  0\iff \dfrac{(-3x +5)-2(x +1)}{x +1}\geqslant  0\iff  \dfrac{-5x +3}{x +1}\geqslant  0$.

\item $-5x +3= 0\iff x =\dfrac{3}{5}$

\item  $x +1 = 0$ pour $x = -1$

\item  Tableau de signes :
\begin{center}
\begin{variations}
x&\mI&&-1&&\frac53&&\pI\\
\filet
\text{Signe de }-3x+5&&+&\bb&+&\z&-&\\
\filet
\text{Signe de }x+1&&-&\bb&+&\l&+&\\
\filet
\text{Signe de }(-3x+5)(x+1)&&-&\bb&+&\z&-&\\
\end{variations}
\end{center}
On en déduit que l'ensemble des solutions est : $\mathscr{S} =]-\infty~;~-1[\cup\left[\dfrac{5}{3}~;~=\infty\right[$.
\end{enumerate}
\label{fin}
\end{document}  