\documentclass[12pt] {article} \usepackage[T1]{fontenc} 
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\textwidth 19cm \textheight 24cm \hoffset 
-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{red}{\Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{fancy}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}
\title{\textbf{\textcolor{red}{Fonctions affines}}}
\date{}
\author{}

\begin{document}

\maketitle

\tableofcontents


\subsection{\textcolor{red}{Définition :}}
\begin{bclogo}[couleur = cyan!20, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}}
Une fonction  $f$, définie sur $\mathbb{R}$, est affine s'il existe deux réels $a$ et $b$ tel que, pour tout $x$, $f(x)=ax+b$.
\end{bclogo}

\bigskip

\begin{bclogo}[couleur = yellow!50, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Proproété}}
Soit $f:x\mapsto ax+b$ une fonction affine.
\noindent
La représentation graphique d'une fonction affine est une droite.
\noindent
$a$ est le coefficient directeur et $b$ l'ordonnée à l'origine, c'est-à-dire que la droite passe par le point de coordonnées $(0~;~b)$.
\end{bclogo}

\subsection{\textcolor{red}{Variations}}

\begin{bclogo}[couleur = yellow!50, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Théorème}}
Soit $f$ une fonction affine définie par : $f(x)=ax+b$.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $f$ est croissante si, et seulement si, $a>0$.

\item $f$ est constante si, et seulement si, $a=0$.

\item $f$ est décroissante si, et seulement si, $a<0$.
\end{enumerate}
\end{bclogo}

\bigskip

\noindent \textbf{\textcolor{blue}{Démonstration :}}
\noindent
Soient deux nombres quelconques $x_1$ et $x_2$, avec $x_1<x_2$. 
\noindent
$f(x_2)-f(x_1)=\left(ax_1+b\right)-\left(ax_2+b\right)=ax_1+-ax_2-b=a(x_2-x_1)$.
\noindent
Comme $x_2-x_1$ est positif, puisque, par hypothèse, $x_1<x_2$,  , $f(x_2)-f(x_1)$ est du signe de $a$, donc positif si $a>0$ ($f$ est alors croissante), constant si $a=0$ et négatif si $a<0$.
\noindent
Si $a>0$, $x_1<x_2$ entraîne que $f\left(x_1\right)<f\left(x_2\right)$, donc $f$ respecte l'ordre et $f$ est croissante.
\noindent
Si $a=0$, $f$ est constante, car, pour tout $x$, $f(x)=0x+b=b$.
\noindent
Si $a>0$, $x_1<x_2$ entraîne que $f\left(x_1\right)>f\left(x_2\right)$, donc $f$ rencerse l'ordre et $f$ est décroissante.
\noindent

\noindent \textbf{\textcolor{blue}{Remarque :}}
\noindent
Soit $f:x\mapsto ax+b$ une fonction affine, avec $a\neq 0$.
\noindent
$f(x)=0\Leftrightarrow ax+b=0\Leftrightarrow ax=-b\Leftrightarrow x=-\dfrac{b}{a}$.
\noindent
On en déduit les tableaux de variations possibles de $f$, selon le signe de $a$.


On en déduit les tableaux de variation (selon le signe de $a$)
\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{0pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}
\fbox{\textcolor{red}{Pour $a>0$}} :
\begin{center}
\begin{variations}
x&\mI&&-\dfrac{b}{a}&&\pI\\
\hline
\m{f(x)}&&\cb&\m{0}&\ch&\\
\hline
\end{variations}
\end{center}

\columnbreak
\fbox{\textcolor{red}{Pour $a<0$}} :
\begin{center}
\begin{variations}
x&\mI&&-\dfrac{b}{a}&&\pI\\
\hline
\m{f(x)}&&\dh&\m{0}&\db&\\
\hline
\end{variations}
\end{center}

\end{multicols}


\textbf{\textcolor{blue}{Remarque :}} la représentation graphique d'une fonction affine $fr:x\mapsto ac+b$ est une droite.
\noindent
$b$ est l'ordonnée à l'origine. On a $b=f(0)$
\noindent
$a$ est le coefficient directeur.
\begin{center}
\textcolor{red}{Interprétation graphique de $b$ :}
\noindent
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-2,-2)(3,5)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-2,-2)(3,5)
\psplot[plotpoints=200]{-2.0}{3.0}{2*x+3.6}
\begin{scriptsize}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=darkgray](0,3)
\uput[r](0,3.6){\darkgray{$b$}}
\uput[dr](0,0){O}
\end{scriptsize}
\end{pspicture*}
\end{center}


\subsection{\textcolor{red}{Caractérisation d'une fonction affine}}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!50, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Théorème}}
$f$ est une fonction affine si, et seulement si, l'accroissement $\Delta y$ de l'image est proportionnel à l'accroissement $\Delta x$ de la variable.
\noindent
Autrement dit, $x_1$ et $x_2$ étant deux réels distincts, $\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}=a$ où $a$ est un nombre constant.
\end{bclogo}

\bigskip

\noindent \textbf{\textcolor{blue}{Démonstration :}}
\noindent
Si $f$ est une fonction affine, $\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}=a$.
\noindent

\noindent \textbf{\textcolor{blue}{Réciproque :} }
\noindent
Soit $f$ une fonction telle que, pour tous $x_1$ et $x_2$, $\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}=a$.
\noindent
Alors, en particulier, pour $x$ et 0, on a : $\frac{f(x)-f(0)}{x}=a$ d'où, en posant $f(0)=b$, $f(x)=ax+b$.
\noindent

Application : on connaît les images de deux nombres par une fonction affine erg l'on veut l'image d'un troisième nombre, sans trouver l'expression de la fonction affine :
\begin{center}
$\begin{array}{|l*{4}{c|}}
\hline
x&2&4&7\\
\hline
f(x)&-1&5	&\\
\hline
\end{array}$
\end{center}
Puisque $f$ est affine, on a : $\dfrac{f(4)-f(2)}{4-2}=\dfrac{f(7)-f(2)}{7-2}$ donc $\dfrac{5-(-1)}{4-2}=\dfrac{f(7)-(-1)}{7-2}$, soit $\dfrac{6}{2}=\dfrac{f(7)+1}{5}$.
\noindent
Par conséquent : $3=\dfrac{f(7)+1}{5}$ donc $f(7)+1=3\times 5=15$ d'où $f(7)=15-1=14$ : $\boxed{\textcolor{red}{f(7)=14}}$.

\bigskip

\noindent \textcolor{red}{Interprétation graphique de $m$ }:
$m=\dfrac{\Delta_{y}}{\Delta_{x}}$ donc $\Delta_{y}=m\Delta_{x}$.
\noindent
Si l'on prend $\Delta_{x}=1$, on a $\Delta_{y}=m$.
\noindent
Autrement dit : si l'on se déplace de 1 unité parallèlement à l'axe des abscisses, on se déplace en même temps de $m$ parallèlement à l'axe des ordonnées.

\begin{center}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=*,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-1,-3)(5,6)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-1,-3)(4,6)
\psplot[plotpoints=200]{-1.0}{3.0}{3*x-2}
\psline{<->}(1,1)(2,1)
\psline{<->}(2,1)(2,4)
\uput[d](1.5,1){$\Delta_{x}=1$}
\uput[r](2,2.5){$\Delta_{y}=m$}
\end{pspicture*}
\end{center}

\noindent \textbf{\textcolor{blue}{Remarque :}} si l'on se déplace de $k$ unités parallèlement à l'axe des abscisses, on se délace dans le même temps de $km$ unités parallèlement à l'axe des ordonnées.
\noindent

On peut facilement visualiser l'influence des deux paramètres, coefficient directeur et ordonnée à l'origine, à l'aide d'un ordinateur.
\noindent
On peut par exemple voir les deux fichiers suivants qui montrent ce qui se passe quand on fait varier l'ordonnée à l'origine pour le prier, le coefficient directeur pour le second. (Il faut avoir Java sur son ordinateur).
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item cliquer sur \href{http://blog.crdp-versailles.fr/jpgoualard/public/2nde-2014-2015-variation_ordonnee_a_l_origine.html}{variations de l'ordonnée à l'origine}

\item \href{http://blog.crdp-versailles.fr/jpgoualard/public/2nde-2014-2015-variation_coefficient_directeur.html}{variations du coefficient directeur}
\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{red}{Comment tracer graphiquement la représentation graphique d'une fonction affine ?}}
\subsubsection{\textcolor{blue}{À partir de  deux points :}}
\noindent \textbf{\textcolor{blue}{Exemple :}} on veut représenter graphiquement la fonction affine $f:x\mapsto \dfrac{2}{3}x+1$.
\noindent
On sait que la représentation graphique de $f$ est une droite. Pour tracer une droite, il suffit de connaître deux points de celle-ci.
\noindent
On calcule alors les coordonnées de deux points de cette droite, en esssayant d'avoir des coordonnées entières, pour qu'elles soient faciles à placer.
\noindent
L'ordonnée à l'origine vaut 1, donc la droite passe par le point de coordonnées $\left(0~;~1\right)$.
\noindent
On remarque qu'il suffit de prendre $x$ multiple de 3 ($x$ pas trop proche de 0, pour accroître la précision du tracé.)
\noindent
On remplit un tableau :
\begin{center}
\begin{minipage}{7cm}
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}} 
\hline
x&0&9\\
\hline
$y=\dfrac{2}{3}x+1$&1&$\dfrac{2}{3}\times 9+1=7$\\
\hline
\end{tabularx}
\end{center}
\end{minipage}

\end{center}
\bigskip

\begin{center}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=0.5cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-2,-2)(10,8)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-2,-2)(10,8)
\psgrid[subgriddiv=0,gridlabels=0,gridcolor=lightgray](0,0)(-2,-2)(10,8)
\psplot[plotpoints=200]{-2.0}{10.0}{2/3*x+1}
\rput[bl](-6,-3.24){$f$}
\psdots[dotstyle=x,dotsize=0.5,linecolor=blue](0,1)
\rput[bl](0.08,1.12){\blue{$A$}}
\psdots[dotstyle=x,dotsize=0.5,linecolor=darkgray](9,7)
\rput[bl](9.08,7.12){\darkgray{$B$}}
\uput[dr](0,0){0}
\end{pspicture*}
\end{center}

\subsubsection{\textcolor{blue}{En utilisant le coefficient directeur}}


\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\noindent \textbf{\textcolor{red}{Exemple}} : représenter graphiquement la fonction affine $x\mapsto 2x+3$.
\noindent
L'ordonnée à l'origine est 3, donc la droite passe par le point A de coordonnées $(0~;~3)$.
\noindent
Le coefficient directeur est 2, donc $2=\dfrac{\Delta y}{\Delta x}$, c'est-à-dire $\Delta y=2\Delta x$.
\noindent
On choisit par exemple $\Delta x=1$ ; on obtient alors $\Delta y=2\times 1=2$.
\noindent
En partant de A, on se déplace de 1 en abscisses, et alors de 2 en ordonnées.
\begin{center}
\psset{xunit=0.8cm,yunit=0.8cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-2,-2)(6,8)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-2,-2)(6,8)
\psgrid[subgriddiv=0,gridlabels=0,gridcolor=lightgray](0,0)(-2,-2)(6,8)
\uput[ul](0,0){0}
\psplot[linecolor=red,linewidth=1.5pt,plotpoints=200]{-2.0}{6.0}{2*x+3}
\rput[bl](-4.2,-5.7){$f$}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](0,3)
\rput[bl](0.08,3.12){\blue{$A$}}
\psline[linestyle=dashed,linecolor=blue,linewidth=1pt](0,3)(1,3)
\psline[linestyle=dashed,linecolor=blue,linewidth=1pt](1,3)(1,5)
\uput[ur](1,5){B}
\uput[d](0.5,3){$\Delta x=1$}
\uput[r](1,4){$\Delta y=2$}
\end{pspicture*}
\end{center}

\end{multicols}

\bigskip

\noindent \textbf{\textcolor{red}{Remarque :}}
\noindent
La représentation graphique d'une fonction affine $f\mapsto ax+b$ est une droite (sécante à l'axe de l'axe des ordonnées $(Oy)$) ; on dit que cette droite a pour \textbf{\textcolor{red}{équation réduite}} $\boxed{\textcolor{red}{y=ax+b}}$.
\noindent

\noindent \textbf{\textcolor{blue}{Exemple :}} La droite d'équation  $y=2x+3$ est la représentation graphique de la fonction $f\mapsto 2x+3$.
\begin{center}
\newrgbcolor{xdxdff}{0.49 0.49 1}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-3,-2)(5,9)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-3,-2)(3,9)
\psgrid[subgriddiv=0,gridlabels=0,gridcolor=lightgray](0,0)(-3,-2)(3,9)

\uput[dr](0,0){O}
\psplot[plotpoints=200]{-3.0}{3.0}{2*x+3}
\psline[linestyle=dashed](2,0)(2,7)
\psline[linestyle=dashed](0,7)(2,7)
\psdots(2,7)
\uput[r](2,7){$M(x~;~y=2x+3)$}
\uput[u](2,0){$x$}
\uput[l](-0.5,7){$y=2x+3$}
\end{pspicture*}
\end{center}

\bigskip

\noindent \textbf{\textcolor{red}{Exemple :}}
\noindent
Trouver l'équation de la droite passant par les points A$(2~;~5)$ et B$(7~;~-1)$.
\noindent
C'est la même chose que de chercher la fonction affine $f$ vérifiant $f(2)=5$ et $f(7)=-1$.
\noindent
Notons $m$ le coefficient directeur et $p$l'ordonnée à l'origine.
\noindent
$m=\dfrac{\Delta y}{\Delta x}=\dfrac{y_{\text{B}}-y_{\text{A}}}{x_{\text{B}}-x_{\text{A}}}=\dfrac{-1-5}{7-2}=-\dfrac{6}{5}$.
\noindent
L'équation de la droite est alors $y=-\dfrac{6}{5}x+p$.
\noindent
A appartient à la droite (AB) donc ses coordonnées vérifient cette équation :
\noindent
$y_{\text{A}}=-\dfrac{6}{5}x_{\text{A}}+p$ donc $5=-\dfrac{6}{5}\times 2+p$.
\noindent
D'où $-\dfrac{12}{5}+p=5$ et $p=5+\dfrac{12}{5}=\dfrac{25+12}{5}=\dfrac{37}{5}$.
\noindent
L'équation de la droite (AB) est $\boxed{\textcolor{red}{y=-\dfrac{6}{5}x+\dfrac{37}{5}}}$.


\label{fin}
\end{document}  