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\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{2\up{nde} : corrigé du contrôle sur les vecteurs (1 heure)}}\end{center}




%\begin{multicols}{2}
%\setlength{\columnseprule}{1pt}
%\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{\textcolor{blue}{(2 points)}}
\parbox{10cm}{%Soient les points A(-2~;~-3), B = (1~;~-1) et C = (-1~;~3).
%\noindent Sur la figure ci-dessous, construire de manière précise le point D tel que ABDC soit un parallélogramme.

\noindent Pour construire D, on construit au compas la quatrième point du parallélogramme ABDC, en utilisant le fait que les longueurs AB et CD doivent être égales, de même que les longueurs  AB et CD.}\hfill
\parbox{6cm}{\begin{center}
\psset{unit=0.7,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=5pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-3.,-4.)(4.,6.)
%\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1.,Dy=1.,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-4.,-4.)(4.,6.)

\psdots[dotstyle=x,dotscale=3,linecolor=blue](-2.,-3.)
\uput[d](-2.,-3.){\blue{$A$}}
\psdots[dotstyle=x,dotscale=3,linecolor=blue](1.,-1.)
\uput[d](1.,-1.){\blue{$B$}}
\psdots[dotstyle=x,dotscale=3,linecolor=blue](-1.,3.)
\uput[u](-1.,3.){\blue{$C$}}
\psdots[dotstyle=x,dotscale=3,linecolor=blue](2.,5.)
\rput[bl](2.08,5.12){\darkgray{$D$}}
\psline(-2.,-3.)(1.,-1.)
\psline(-1.,3.)(2.,5.)
\psline(-2.,-3.)(-1.,3.)
\psline(1.,-1.)(2.,5.)

\end{pspicture*}
\end{center}
}


\subsection{\textcolor{blue}{(3 points)}}

Dans un repère (O~;~I~;~J), on considère les points A(1~;~3), B(5~;~-1) et C(2~;~5).

%\textbf{Calculer} les coordonnées du point D tel que ABCD soit un parallélogramme.
ABCD est un parallélogramme si, et seulement si, $\overrightarrow{\text{AB}}=\overrightarrow{\text{DC}}$.

$\overrightarrow{\text{AB}}\begin{pmatrix}4\\-4\end{pmatrix}$ ; $\overrightarrow{\text{DC}}\begin{pmatrix}2-x_D\\5-y_D\end{pmatrix}$.

\noindent On doit donc avoir $\begin{cases}2-x_D=4\\5-y_D=-4\end{cases}$ d'où  $\begin{cases}x_D=-2\\y_D=9\end{cases}$. D a pour coordonnées $\boxed{\textcolor{red}{D(-2~;~9)}}$




\subsection{\textcolor{blue}{(4 points)}}
Dans un repère orthonormé (O ; I ; J), on considère les points A(1~;~3), B(-2~;~1) et C(7~;~-6).

\begin{enumerate}
\item %Déterminer les coordonnées de vecteurs $\overrightarrow{\text{AB}}$, $\overrightarrow{\text{BC}}$ et $\overrightarrow{\text{AC}}$.
$\boxed{\textcolor{red}{\overrightarrow{\text{AB}}\begin{pmatrix}-3\\-2\end{pmatrix}}}$, $\boxed{\textcolor{red}{\overrightarrow{\text{BC}}\begin{pmatrix}9\\-7\end{pmatrix}}}$ et $\boxed{\textcolor{red}{\overrightarrow{\text{AC}}\begin{pmatrix}6\\-9\end{pmatrix}}}$.

\item %Calculer les longueurs AB, BC et AC.
On en déduit :
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $AB=\sqrt{(-3)^2+(-2)^2}=\sqrt{9+4}=\boxed{\textcolor{red}{\sqrt{13}}}$

\item $BC=\sqrt{9^2+(-7)^2}=\sqrt{81+49}=\boxed{\textcolor{red}{\sqrt{130}}}$

\item $AC=\sqrt{6^2+(-9)^2}=\sqrt{36+81}=\boxed{\textcolor{red}{\sqrt{117}}}$
\end{enumerate}

\item %Que peut-on déduire pour le triangle ABC ?
$BC^2=130$ ; $AB^2+AC^2=13+117=130$.

\noindent On en déduit que $\boxed{\textcolor{red}{BC^2=AB^2+AC^2}}$.

\noindent D'après la \textbf{\textcolor{red}{réciproque du théorème de Pythagore}}, le triangle ABC est \textbf{\textcolor{red}{rectangle en B}}.
\end{enumerate}

\newpage
\subsection{\textcolor{blue}{(4 points)}}
On considère les points A, B et C représentés ci-dessous.
\begin{center}
\psset{unit=0.8,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(0.,-1)(12.,7.)
\psdots[dotstyle=x,dotscale=3,linecolor=blue,linewidth=1.5pt](2,3)
\uput[l](2,3){\blue{$A$}}
\psdots[dotstyle=x,dotscale=3,linecolor=blue,linewidth=1.5pt](4,1)
\uput[d](4,1){\blue{$B$}}
\psdots[dotstyle=x,dotscale=3,linecolor=blue,linewidth=1.5pt](9,2)
\uput[d](9,2){\blue{$C$}}
\psdots[dotstyle=x,dotscale=3,linecolor=blue,linewidth=1.5pt](11,0)
\rput[bl](11,0){\darkgray{$D$}}
\psdots[dotstyle=x,dotscale=3,linecolor=blue,linewidth=1.5pt](7,4)
\rput[bl](7,4){\darkgray{$E$}}
\psgrid[subgriddiv=1,linewidth=1.2pt](0.,-1)(12,7.)
\pspolygon(2,3)(4,1)(11,0)(9,2)
\pspolygon(2,3)(4,1)(11,0)(9,2)
\end{pspicture*}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item %Construire D tel que $\overrightarrow{\text{AD}}=\overrightarrow{\text{AB}}+\overrightarrow{\text{AC}}$.
D'après le cours, le vecteur somme de deux vecteurs de même origine est le vecteur \textbf{\textcolor{red}{diagonale}} que l'on peut former sur ces deux vecteurs. (voir figure)

\item  %Construire E tel que $\overrightarrow{\text{BE}}=\overrightarrow{\text{BA}}+\overrightarrow{\text{BC}}$.
Pour E, même méthode : voir figure.

\item %Que peut-on dire des quadrilatères ABCD et BAEC. Justifier votre réponse.
Par construction, ABDC et BAEC sont des parallélogrammes.

\item %Démontrer à l'aide de vecteurs que C est le milieu de [DE].
Puisque ABDC est un parallélogramme, $\boxed{\textcolor{red}{\overrightarrow{\text{BA}}=\overrightarrow{\text{DC}}}}$.

\noindent De même, BACE est un parallélogramme, donc $\boxed{\textcolor{red}{\overrightarrow{\text{BA}}=\overrightarrow{\text{CE}}}}$.

\noindent On en déduit que $\boxed{\textcolor{red}{\overrightarrow{\text{DC}}=\overrightarrow{\text{CE}}}}=\overrightarrow{\text{BA}}$, donc C est le milieu de [DE].
\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{(3 points)}}
\noindent A, B, C et D sont quatre points quelconques.\\
Démontrer que : 
\begin{enumerate}[a)]
\item %$\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{DE}=\overrightarrow{AE}$
$\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{DE}=\overrightarrow{\text{AB}}+\overrightarrow{\text{BD}}+\overrightarrow{\text{DE}}=\overrightarrow{\text{AD}}+\overrightarrow{\text{DE}}=\boxed{\textcolor{red}{\overrightarrow{AE}}}$ (en appliquant la relation de Chasles).

\item %$\overrightarrow{BD}-\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{0}$
$\overrightarrow{BD}-\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{DA}=\left(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB}\right)+\left(\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{DA}\right)=\overrightarrow{\text{AB}}+\overrightarrow{\text{BA}}=\overrightarrow{\text{AA}}=\boxed{\textcolor{red}{\overrightarrow{0}}}$
\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{(2 points)}}
\noindent Soient les vecteurs $\overrightarrow{u}\begin{pmatrix}\sqrt{3}+1\\1\end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{v}\begin{pmatrix}2\\\sqrt{3}-1\end{pmatrix}$.\\
%Montrer que les vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont colinéaires ?
On applique la condition de colinéarité : 

$\left(\sqrt{3}+1\right)\left(\sqrt{3}-1\right)-1\times 2=\sqrt{3}^2-1^2-1=3-1-2\boxed{\textcolor{red}{=0}}$ donc ces deux vecteurs sont \textbf{\textcolor{red}{colinéaires}}.

\subsection{\textcolor{blue}{(2 points)}}
Soient les points $M(2~;~3), N(5~;~7)\text{ et }P(-7~;~-9)$.
%Ces points sont-ils alignés ?

$\boxed{\textcolor{red}{\overrightarrow{\text{MN}}\begin{pmatrix}3\\4\end{pmatrix}}}$ ; $\boxed{\textcolor{red}{\overrightarrow{\text{MP}}\begin{pmatrix}-9\\-12\end{pmatrix}}}$

Il est clair que $\overrightarrow{\text{MP}}=-3\overrightarrow{\text{MN}}$ donc les lecteurs $\overrightarrow{\text{MN}}$ et $\overrightarrow{\text{MP}}$ sont \textbf{\textcolor{red}{colinéaires}}.

\noindent Les points M, N et P sont bien \textbf{\textcolor{red}{alignés}}.

%
%\end{multicols}




\label{fin}
\end{document}  