\documentclass[11pt] {article} \usepackage[T1]{fontenc} 
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\everymath{\displaystyle}
\textwidth 17cm \textheight 26cm \hoffset 
-0,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{Exercice \Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{fancy}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}
\rfoot{\small{Lycée Maurice Genevoix \\Année 2015-2016}}
\lfoot{11 février 2016}
\title{\textcolor{red}{Correction du contrôle commun \no 2}}
\date{}
\begin{document}
\maketitle

%\begin{tabular}{p{13cm}lr}
%(en \textbf{caractères majuscules d'imprimerie}) &\hfill jeudi 11 février 2016\\
%NOM :&\\
%PRÉNOM : &\\
%CLASSE : 2\up{nde} \no \dots&
%\end{tabular}
%
%\vspace{4cm}
%\fbox{\begin{minipage}{16cm}
%\begin{center}
%\huge Devoir commun de mathématiques \no 1 \\
%2\up{nde}
%
%\end{center}\end{minipage}}\\
%
%\vspace{4cm}
%\noindent Les exercices sont indépendants et peuvent être traités dans l'ordre voulu. \\
%
%\noindent L'usage de la calculatrice est autorisé, mais le prêt de calculatrice est interdit. \\
%
%\noindent La clarté des raisonnements et la qualité de la rédaction interviendront pour une part importante dans l'appréciation de la copie. Tout résultat devra être soigneusement justifié. \\
%
%\noindent \textbf{Les élèves d'UPE2A sont autorisés à utiliser un dictionnaire}.\\
%
%\noindent Le sujet comporte \pageref{fin} pages. La dernière page contient une \textbf{annexe}, à rendre avec la copie.
%
%\vspace{1.5cm}
%\noindent \textbf{Partie réservée à la correction :}\\ 
%%\textbf{\textcolor{red}{à compléter}}\\
%
%\noindent Exercice I sur 6 points : \\[0.2cm]
%\noindent Exercice II sur 6,5 points : \\[0.2cm]
%\noindent Exercice III sur 8,5 points : \\[0.2cm]
%\noindent Exercice IV sur 6 points : \\[0.2cm]
%\noindent Exercice V sur 6 points : \\[0.2cm]
%\noindent Exercice VI sur 2 points : \\[0.2cm]
%\noindent Exercice VII sur 5 points : \\[0.2cm]
%\noindent Exercice bonus sur 2 points : \\[0.2cm]
%%
%\newpage
%
%
%\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Contrôle commun \no 2 de mathématiques}}\end{center}


\subsection{}
\label{stats-discret}

\medskip

\noindent Voici les notes au dernier contrôle commun de deux classes de Seconde d'un lycée.

%$$\includegraphics[scale=0.6]{diagramme-batons.eps}$$


\begin{center}
\psset{unit=0.8}
\begin{pspicture}(-1,-1)(21,13)
\psaxes[Dx=1,Dy=1,linewidth=1pt]{->}(0,0)(0,-1)(21,11)
%\multido{\n=0+1}{12}{\psline[linewidth=1pt](0,\n)(21,\n)}
%\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=cyan!60](2.8,0)(3.2,2)
%\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=cyan!60](3.8,0)(4.2,5)
%\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=cyan!60](5.8,0)(6.2,6)
%\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=cyan!60](7.8,0)(8.2,10)
%\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=cyan!60](9.8,0)(10.2,10)
%\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=cyan!60](10.8,0)(11.2,7)
%\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=cyan!60](11.8,0)(12.2,7)
%\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=cyan!60](13.8,0)(14.2,9)
%\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=cyan!60](14.8,0)(15.2,8)
%\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=cyan!60](15.8,0)(16.2,5)
%\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=cyan!60](17.8,0)(18.2,1)
\psline[linewidth=0.4cm,linecolor=blue](3,0)(3,2) 
\psline[linewidth=0.4cm,linecolor=blue](4,0)(4,5) 
\psline[linewidth=0.4cm,linecolor=blue](6,0)(6,6) 
\psline[linewidth=0.4cm,linecolor=blue](8,0)(8,10)
\psline[linewidth=0.4cm,linecolor=blue](10,0)(10,10)
\psline[linewidth=0.4cm,linecolor=blue](11,0) (11,7) 
\psline[linewidth=0.4cm,linecolor=blue](12,0)(12,7)
\psline[linewidth=0.4cm,linecolor=blue](14,0) (14,9)
\psline[linewidth=0.4cm,linecolor=blue](15,0) (15,8)
\psline[linewidth=0.4cm,linecolor=blue](16,0) (16,5) 
\psline[linewidth=0.4cm,linecolor=blue](18,0)(18,1)`
\multido{\n=0+1}{12}{\psline(0,\n)(21,\n)}
\uput[d](19,-1){Notes}
\uput[u](0,11){Effectifs}
\end{pspicture}
\end{center}


\begin{enumerate}
\item Compléter le tableau suivant :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{12}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
Notes & 3    & 4 & 6 & 8 & 10 & 11 & 12 & 14 & 15 & 16 & 18 \\
\hline
Effectifs &  2&   5&6   &  10 & 10   & 7   & 7   &9    & 8   &  5& 1\\
\hline
E.C.C. & 2 &7 &13  &23  & 33 & 40 &47 &  56& 64 &69  & 70\\
\hline
\end{tabularx}%\marginpar{1 pt}
%\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
%$$\begin{tabular}{|c|p{0.4cm}|p{0.4cm}|p{0.4cm}|p{0.4cm}|p{0.4cm}|p{0.4cm}|p{0.4cm}|p{0.4cm}|p{0.4cm}|p{0.4cm}|p{0.4cm}|}
%\hline
%Notes & 3    & 4 & 6 & 8 & 10 & 11 & 12 & 14 & 15 & 16 & 18 \\
%\hline
%Effectifs &  &   &   &   &    &    &    &    &    &  & \\
%\hline
%E.C.C. &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  \\
%\hline
%\end{tabular}$$

\item %Calculer la moyenne de la série statistique.
La moyenne de cette série statistique est :
\[\overline{x}=\dfrac{(3\times 2)+\cdots+(18\times 1)}{70}=\dfrac{747}{70}\approx 10,7. \boxed{\textcolor{red}{\overline{x}\approx 10,7}}.\]%\marginpar{1 pt}

\item %Calculer la médiane, le premier quartile et le troisième quartile de la série statistique.
L'effectif total est $N=70$, nombre pair.

\noindent $70=2\times 35$.

\noindent La médiane est la moyenne entre les valeurs de rang 35 et 356 : $\text{Me}=\dfrac{x_{35}+x_{36}}{2}=\dfrac{11+11}{2}=\boxed{\textcolor{red}{11}}$.

\noindent $\dfrac{N}{4}=17,5$ donc le premier quartile $Q_1$ est la valeur de rang 18 : $Q_1=x_{18}=\boxed{\textcolor{red}{8}}$.

\noindent $3\times \dfrac{N}{4}=52,5$ donc le troisième quartile $Q_3$ est la valeur de rang 53 : $Q_3=x_{53}=\boxed{\textcolor{red}{14}}$.

Par conséquent : $\boxed{\textcolor{red}{Q_1=8}}$, $\boxed{\textcolor{red}{\text{Me}=11}}$ et $\boxed{\textcolor{red}{Q_3=14}}$%\marginpar{4 pt}

%\item Construire le diagramme en boîte de la série.
\end{enumerate}


\medskip





\subsection{}
\label{stats-continu}

\medskip

\noindent Une agence bancaire a réalisé une enquête de marché sur la possibilité de faire payer les chèques bancaires aux clients émetteurs.\\
$1500$ chèques ont été étudiés. Ils sont classés suivant leur montant, exprimé en euros, et les résultats de cette enquête figurent dans le tableau suivant.

\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
classes&[0~;~60[&[60~;~80[&[80~;~100[&[100~;~120[&[120~;~140[&[140~;~160[&[160~;~200[\\
\hline
effectifs&152&183&224&297&256&238&150\\
\hline
fréquences&0,10&0,12&0,15&0,20&0,17&0,16&0,10\\
\hline
F.C.C.&0,10&0,22&0,37&0,57&0,74&0,90&1,00\\
\hline
\end{tabularx}
L'effectif total est \numprint{1500}.
La première fréquence est $\dfrac{152}{1500}\approx 0,10$ et de même pour les autres.%\marginpar{1,5 pt}


%$$\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}
%\hline
%classes & [ 0 ; 60[ & [ 60 ; 80[ & [ 80 ; 100[ & [ 100 ; 120[ & [ 120 ; 140[ & [ 140 ; 160[ & [ 160 ; 200[ \\
%\hline
%effectifs & 152 & 183 & 224 & 297 & 256 & 238 & 150 \\
%\hline
%fréquences &   &      &     &     &    &      & \\
%\hline
%F.C.C. &       &    &    &     &  &  &\\
%\hline
%\end{tabular}$$

\begin{enumerate}

\item %Compléter le tableau ci-dessus. On arrondira les résultats au centième.
Voir tableau ci-dessus.
 
\item %Déterminer le \textbf{pourcentage} de chèques dont le montant est supérieur ou égal à $100$ euros et strictement inférieur à $160$ euros.
La fréquence cherchée est $0,20+0,17+0,16\approx 0,53$, donc $\boxed{\textcolor{red}{53\:\%}}$. %\marginpar{0,5 pt}

\bigskip

		
\item %Construire sur la feuille fournie en annexe la courbe des fréquences cumulées croissantes.

\begin{center}
\psset{xunit=0.08cm,yunit=12cm}
\begin{pspicture}(-5,-0.3)(205,1)
\psaxes[Dx=10,Dy=0.05]{->}(0,0)(-5,-0.1)(205,1)
\multido{\n=0+10}{21}{\psline(\n,0)(\n,1)}
\multido{\r=0+0.05}{22}{\psline(0,\r)(210,\r)}
\psline[linewidth=2pt,linecolor=red](0,0)(60,0.10)(80,0.22)(100,0.37)(120,0.57)(140,0.74)(160,0.90)(200,1)
\psline[linecolor=blue,linestyle=dashed,linewidth=4pt](0,0.25)(84,0.25)
\psline[linecolor=blue,linestyle=dashed,linewidth=4pt](84,0)(84,0.25)
\psline[linecolor=blue,linestyle=dashed,linewidth=4pt](0,0.5)(113,0.5)
\psline[linecolor=blue,linestyle=dashed,linewidth=4pt](114,0)(113,0.5)

\psline[linecolor=blue,linestyle=dashed,linewidth=4pt](0,0.75)(140,0.75)
\psline[linecolor=blue,linestyle=dashed,linewidth=4pt](140,0)(140,0.75)
\end{pspicture}

\end{center}%\marginpar{1,5 pt}

\item %Déterminer la médiane et les quartiles de la série statistique.
On trouve graphiquement $\boxed{\textcolor{red}{Q_1\approx 84}}$, $\boxed{\textcolor{red}{\text{Me}\approx 113}}$ et $\boxed{\textcolor{red}{Q_3\approx 140}}$, correspondant respectivement à des fréquences de 0,25, 0,5 et 0,75.%\marginpar{1,5 pt}

\item %Interpréter par une phrase les valeurs obtenues pour la médiane, le premier et le troisième quartile.
La moitié des chèques ont un montant inférieur à la médiane.

25\:\% des chèques ont un montant inférieur ou égal à $Q_1$ et 75\:\% des chèques ont un montant inférieur ou égal à $Q_3$.
\end{enumerate}%\marginpar{1,5 pt}


\newpage

\subsection{}

\medskip

\label{equations-inequations}

\noindent Résoudre les équations et les inéquations suivantes :\\

\begin{enumerate}[a) ]
\item $2x-9=8x+3$ donne $2x-8x=3+9$ donc $-6x=12$ d'où $x=\dfrac{12}{-6}=-2$ ; \[\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\{-2\}}}.\]%\marginpar{0,5 pt}

\bigskip

\item $(-15x+3)(3x+9)=0$

\noindent Un produit de facteurs est nul sin, et seulement si, l'un des facteurs est nul.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $-15x+3=0$ donnc $x=\dfrac{-3}{-15}=\dfrac{1}{5}$

\item $3x+9=0$ donne $x=\dfrac{-9}{3}=-3$
\end{enumerate}
L'ensemble des solutions est \[\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\left\{-3~;~\dfrac{1}{5}\right\}}}.\]%\marginpar{1 pt}

\textbf{\textcolor{blue}{Remarque}} : on aurait pu factoriser davantage puis simplifier :

$(-15x+3)(3x+9)=0$ équivaut à $3(-5x+1)\times 3(x+3)=0$ donc $9(-5x+1)(x+3)=0$ d'où $(-5x+1)(x+3)=0$

\bigskip

\item $(2x+1)(x+4) \geqslant (x+4)(3-5x)$ 
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item On se ramène à une comparaison à 0 ; on transpose tout du même côté ; cela donne :

\noindent $(2x+1)(x+4) -(x+4)(3-5x)\leqslant 0$

\item On factorise :

\noindent $(x+4)[(2x+1)-(3-5x)]\leqslant 0$ d(où $(x+4)(2x+1-3+5x)\leqslant 0$ donc $\boxed{\textcolor{red}{(x+4)(7x-2)\leqslant 0}}$

\item $x+4=0$ pour $x=-4$

\item $7x-2=0$ pour $x=\dfrac{2}{7}$.

\item On renseigne alors un tableau de signe :
\begin{center}
\begin{variations}
x&\mI&&-4&&\dfrac{2}{7}&&\pI\\
\hline
x-4&&-&\z&=&\l&+&\\
\hline
7x-4&&-&\l&-&\z&+&\\
\hline
(x-4)(7x-2)&&+&\z&-&\z&+&\\
\hline
\end{variations}
\end{center}

L'ensemble des solutions est : \[\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\left]-\infty~;~-4\right]\cup\left[\dfrac{2}{7}~;~+\infty\right[}}.\]%\marginpar{2,5 pt}
\end{enumerate}

\bigskip

\item $(1+3x)^2-(2-5x)^2=0$

\noindent On reconnaît une \textbf{identité remarquable} :

$(1+3x)^2-(2-5x)^2=0$ équivaut à $[(1+3x)+(2-5x)][(1+3x)-(2-5x)]=0$ donc $(-2x+3)(8x-1)=0$.

\noindent On applique alors le théorème du produit nul : \[\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\left\{\dfrac{1}{8}~;~\dfrac{3}{2}\right\}}}.\]%\marginpar{1,5 pt}

\bigskip

\item $2x-10<7x+5$  donne $-5x<15$ donc $x>-\dfrac{15}{5}=-3$, c'est-à-dire $x>-3$ (l'inégalité a changé de sens, car nous avons divisé par un nombre négatif).\[\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=]-3~;~+\infty[}}.\]%\marginpar{1 pt}

\bigskip

\item $(5x-3)(-3x+4)<0$
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $5x-3=0$ équivaut à $x=\dfrac{3}{5}$

\item $-3x+4=0$ équivaut à $x=\dfrac{4}{3}$

\item On renseigne alors un tableau de signes :
\begin{center}
\begin{variations}
x&\mI&&\dfrac{3}{5}&&\dfrac{4}{3}&&\pI\\
\hline
5x-3&&-&\z&+&\l&+&\\
\hline
-3x+4&&+&\l&+&\z&-&\\
\hline
(5x-3)(-3x+4)&&-&\z&+&\z&-&\\
\hline
\end{variations}
\end{center}
On veut que le produit soit négatif ; l'ensemble des solutions est :
\[\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}:\left]-\infty~;~\dfrac{3}{5}\right[\cup\left]\dfrac{4}{3}~;~+\infty\right]}}\]%\marginpar{2 pt}
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip



\subsection{}
\label{forme-adaptee}

\medskip

\noindent Soit $f$ la fonction définie par :
\[f(x)=(3x-2)^2-16 \ \ \ \ \text{(appelée forme $1$)}\]
On note $\mathcal{C}_{f}$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé du plan.
\begin{enumerate}
\item %En développant $f(x)$, montrer que $f(x)=9x^2-12x-12$ (appelée forme $2$).
$f(x)=(3x-2)^2-16=(3x)^2-2\times 3x\times 2+2^2-16=9x^2-12x+4-16=\boxed{\textcolor{red}{9x^2-12x-12}}$ (forme 2).

\item %En factorisant $f(x)$, montrer que $f(x)=(3x-6)(3x+2)$ (appelée forme $3$).
$f(x)=(3x-2)^2-16=(3x-2)^2-4^2=[(3x-2)-4][(3x-2)+4]=\boxed{\textcolor{red}{(3x-6)(3x+2)}}$  (forme 3)(que l'on peut encore factoriser en $3(x-2)(3x+2)$).

\noindent On a reconnu une différence de deux carrés, donc on a appliqué une identité remarquable.

\item En choisissant la forme la plus adaptée, répondre aux questions suivantes :
		\begin{enumerate}[$a.$]
		\item %Résoudre l'équation $f(x)=0$.
		$f(x)=0$ s'écrit, en utilisant la \textbf{\textcolor{blue}{forme 3}} :
		
		$3(x-2)(3x+2)=0$.
		
		\noindent Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, l'un des facteurs est nul.
		
		On en déduit : $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\left\{-\dfrac{2}{3}~;~2\right\}}}$.
		
		\item %Calculer l'image de $\dfrac{2}{3}$ par $f$.
		Pour calculer l'image de $\dfrac{2}{3}$, on utilise la \textbf{\textcolor{blue}{forme 1}} : $f\left(\dfrac{2}{3}\right)=\left(3\times \dfrac{2}{3}-2\right)^2-16=0^2-16=\boxed{\textcolor{red}{-16}}$.
		
		\item %Déterminer les antécédents éventuels de $-12$ par $f$.
		Les antécédents de -12 sont les solutions de l'équation $9x^2-12x-12=-12$, en utilisant la \textbf{\textcolor{blue}{forme 2}} donc $9x^2-12x=0$.
		
		\noindent On factorise : $3x(3x-4)=0$.
		
		\noindent Les solutions sont 0 et $\dfrac{4}{3}$.
		
		\noindent Les antécédents de -23 sont 0 et $\dfrac{4}{3}$.
	
		\item %Déterminer les coordonnées du point d'intersection de $\mathcal{C}_{f}$ avec l'axe des ordonnées.
		L'abscisse du point d'intersection avec l'axe des ordonnées est $x=0$ ; l'ordonnée correspondante est $\boxed{\textcolor{red}{f(0)=-12}}$.
		
		\noindent Les coordonnées du point  d'intersection de $\mathcal{C}_{f}$ avec l'axe des ordonnées sont $\boxed{\textcolor{red}{(0~;~-12)}}$.
		\end{enumerate}
\end{enumerate}

\subsection{}
\label{affine-1}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Parmi les fonctions suivantes, préciser lesquelles sont affines. Justifier soigneusement.
		\begin{enumerate}[a) ]
		\item $f : x \mapsto 5x-2$ est affine car $5x-2=ax+b$ avec $\left\{\begin{array}{l}a=5\\b=-2\end{array}\right.$.
		
		\item $g : x \mapsto \dfrac{1}{x}+3$ n'est pas affine car $\dfrac{1}{x}+3$ n'est pas de la forme $ax+b$.
		
		\item $h : x \mapsto 4-6x$ est affine car $4-6x=ax+b$ avec $\left\{\begin{array}{l}a=-6\\b=4\end{array}\right.$
		
		\item $i : x \mapsto 3x^2$ n'est pas affine car $3x^2$ n'est pas de la forme $ax$.
		\end{enumerate}
		
\item Tracer dans le repère ci-dessous les courbes représentatives des fonctions suivantes :

\noindent Les représentation graphiques dont des droites ; pur tracer une droite, il suffi de deux points ou  d'un point et du coefficient directeur.
.
\[f : x \mapsto -2x+1 \ \ \ ; \ \ \ g : x \mapsto 3x \ \ \ ; \ \ \ h : x \mapsto -3\]

\begin{center}
\psset{unit=0.6,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-4,-4)(4,4)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1.,Dy=1.,ticksize=-2pt 0,subticks=2,linewidth=2pt]{->}(0,0)(-4,-4)(4,4)
\psgrid[gridlabels=0,subgriddiv=1](-4,-4)(4,4)
%\psline[linewidth=0.35mm]{->}(4,0)(4,8)
%\psline[linewidth=0.35mm]{->}(0,4)(8,4)
\psdots(0,0)
\psdots(0,1)
\psdots(1,0)
\uput[dl](0,0){$O$}
\uput[dl](1,0){$I$}
\uput[dl](0,1){$J$}
\psplot[linecolor=red,linewidth=2pt]{-1.5}{2.5}{1-2*x}
\psplot[linecolor=blue,linewidth=2pt]{-1.33}{1.33}{3*x}
\psplot[linecolor=red,linewidth=2pt]{-4}{4}{-3}
\uput[l](-1,3){$\mathscr{C}_1$}
\uput[l](2,1){$\mathscr{C}_g$}
\uput[d](-3,-3){$\mathscr{C}_h$}
\end{pspicture}
\end{center}


\item %Déterminer l'expression de la fonction affine $f$ sachant que $f(-2)=1$ et $f(3)=6$.
$f$ est une fonction affine, donc il existe deux réels $a$ et $b$ tels que $\boxed{\textcolor{red}{f(x)=ax+b}}$.

\noindent $a=\dfrac{f(3)-f(-2)}{3-(-2)}=\dfrac{6-1}{5}=\dfrac{5}{5}=1$.

\noindent On en déduit que $f(x)=x+b$.

\noindent \textbf{\textcolor{red}{Calcul de $b$}} : $f(3)=6$ donc $3+b=6$ d'où $b=3$.

Finalement : $\boxed{\textcolor{red}{f(x)=x+3}}$.

\item %Déterminer l'expression de la fonction linéaire $g$ sachant que $g(3)=20$.
Puisque $g$ est linéaire, il existe $m$ tel que $g(x)=mx$.

\noindent $g(3)=20$ donc $3m=20$ d'où $m=\dfrac{20}{3}$ et par conséquent : $\boxed{\textcolor{red}{g(x)=\dfrac{20}{3}x}}.$
\end{enumerate}


\subsection{}

\label{affine-2}


\noindent On considère la figure ci-dessous :

\begin{center}
\psset{unit=0.5}
\begin{pspicture}(0,0)(11,8)
\psaxes[linewidth=2pt](5,2)(0,0)(11,8)
\psgrid[gridlabels=0,subgriddiv=1](0,0)(11,8)
\psline[linewidth=0.45mm]{->}(0,2)(11,2)
\psline[linewidth=0.45mm]{->}(5,0)(5,8)
\psline[linewidth=0.45mm,linecolor=purple](0,0)(8,8)
\psline[linewidth=0.45mm,linecolor=vert](3.666666,8)(6.333333,0)
\psline[linewidth=0.45mm,linecolor=blue](0,6)(11,6)
\psline[linewidth=0.45mm,linecolor=red](0,4.5)(9,0)
\uput[dr](8,8){$\mathcal{C}_{1}$}
\uput[dr](3,8){$\mathcal{C}_{2}$}
\uput[dl](11,6){$\mathcal{C}_{3}$}
\uput[dr](0,4){$\mathcal{C}_{4}$}
\uput[dl](5,2){O}
\end{pspicture}
\end{center}

\textbf{\textcolor{blue}{Rappel}} : le coefficient directeur d'une droite sécante à l'axe $(Oy)$, passant par les points $A\left(x_A~;~y_A\right)$ et $B\left(x_B~;~y_B\right)$ est $a=\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}$ et peut se lire facilement, dans la plupart des cas, directement sur le graphique.

%Déterminer l'expression de chacune des fonctions affines $f_{1}$, $f_{2}$, $f_{3}$ et $f_{4}$ représentées ci-dessus.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Pour $f_1$ : $\mathscr{C}_1$ passe par le point de coordonnées (0,3) et le coefficient directeur est 1, donc $\boxed{\textcolor{red}{f_1(x)=x+3}}$.

\item Pour $f_2$ : $\mathscr{C}_2$ passe par le point de coordonnées $(0~;~2)$ donc l'ordonnée à l'origine est 2 ; le coefficient directeur est -3, donc $\boxed{\textcolor{red}{f_2(x)=-3x+2}}$.

\item Pour $f_3$ : il est clair que la fonction est constante donc $\boxed{\textcolor{red}{f_3(x)=4}}$.

\item $\mathscr{C}_4$ passe par l'origine, donc $f_4$ est linéaire ; le coefficient directeur est $-\dfrac{1}{2}$ donc $\boxed{\textcolor{red}{f_4(x)=-\dfrac{1}{2}x}}$.
\end{enumerate}


\subsection{}
\label{geometrie}

\medskip

\noindent $M$ est un point variable du segment $[CD]$ et les triangles $ADM$ et $BCM$ sont des triangles rectangles.

\noindent Le but de l'exercice est de  chercher la distance $CM$ afin que $MA=MB$.

\noindent On appelle $x$ la longueur $CM$.


\begin{enumerate}

\item %A quel intervalle appartient $x$ ?
$x$ appartient à $[0~;~10]$.

\item  %Exprimer les longueurs $MA$ et $MB$ en fonction de $x
MAD est rectangle. D'après le \textbf{\textcolor{blue}{théorème de Pythagore}}, on a :

\noindent $MA^2=MD^2+DA^2=(10-x)^2+6^2=(10-x)^2+36$.

\noindent De même : $MB^2=MC^2+CB^2=x^2+8^2=x^2+64$.

\item %Montrer que résoudre le problème revient à résoudre l'équation $x^2+64=x^2-20x+136$.
$MA=MB$ équivaut à $MA^2=MB^2$ car ce sont des nombres positifs.

\noindent Le problème revient donc à avoir : 

\noindent $(10-x)^2+36=x^2+64$ donc $100-20x+x^2+36 x^2+64$ donc $\boxed{\textcolor{red}{x^2+64=x^2-20x+136}}$

\item %Résoudre cette équation.
On en déduit : $20x=136-64$ donc $20x=72$ d'où $x=\dfrac{72}{20}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{18}{5}}}$ (ou $x=3,6$).
 
\item %Conclure.
Les longueur MA et MB sont égales pour $x=\dfrac{18}{5}$.

\end{enumerate}

\begin{center}
\psset{unit=0.6}
\begin{pspicture}(-2,-2)(11,8)
\psline(0,6)
\psline(10,0)
\psline(10,8)(10,0)
\psline(10,8)(2,0)
\psline(0,6)(2,0)
\psframe(0,0)(0.5,0.5)
\psframe(10,0)(9.5,0.5)
\uput[d](0,0){D}\uput[d](10,0){C}\uput[r](10,8){B}\uput[l](0,6){A}
\uput[d](2,0){M}
\psline{<->}(-0.2,0)(-0.2,6)
\psline{<->}(0,-0.85)(10,-0.85)
\psline{<->}(10.2,0)(10.2,8)
\rput{90}(-0.5,3){6 cm}
\rput{90}(10.5,4){8 cm}
\uput[d](5,-0.85){10 cm}
\uput[u](6,0){$x$}
\end{pspicture}

\end{center}

\newpage
\noindent\textbf{\textcolor{blue}{Exercice bonus :}}
\label{bonus}

\medskip

\noindent On considère la figure suivante :\\

\begin{center}
\psset{unit=0.5}
\begin{pspicture}(-1,-1)(10,5)
\psline(0,0)(7,0)
\psline(7,0)(9,4)
\psline(2,4)(9,4)
\psline(0,0)(2,4)
\psline(0,0)(9,4)
\uput[dl](0,0){A}\uput[dr](7,0){B}\uput[ul](2,4){C}\uput[ur](9,4){D}
\psline{<->}(2,4.3)(9,4.3)
\psline{<->}(-0.3,0)(1.7,4)
%\psline{<->}(0,0.2)(9,4.2)
%\psline{<->}(10.2,0)(10.2,8)
\rput{30}(4.5,2.5){50}
\rput(5.5,4.7){$5x+4$}
\rput{60}(0.3,2.5){$6x-7$}
\end{pspicture}

\end{center}

%Pour quelle(s) valeur(s) de $x$ ce parallélogramme est-il un rectangle ?
Ce parallélogramme est rectangle si, et seulement si,  le triangle AVD est rectangle.

D'après la \textbf{\textcolor{blue}{réciproque du théorème de Pythagore}}, c'est le cas si $(6x-7)^2+(5x+4)^2=50^2$, donc 

\noindent $36x^2-84x+49+25x^2+40x+16=\numprint{2500}$

\noindent d'où : $61x^2-44x+2435=0$.

\noindent Or : $61x^2-44x-2435=61\left(x^2-\dfrac{44}{61}x+\dfrac{2435}{61}\right)=61\left[(x-\dfrac{22}{61})^2-\left(\dfrac{22}{61}\right)^2-\dfrac{2435}{61}\right]=61\left[\left(x+\dfrac{22}{61}\right)^2-\dfrac{149019}{61^2}\right]$.

L'équation s'écrit, après simplification par 61 :

\noindent $\left(x-\dfrac{22}{61}\right)^2-\dfrac{149019}{61^2}=0$ d'où $\left[x-\dfrac{22}{51}-\dfrac{\sqrt{149019}}{61}\right]\left[x-\dfrac{22}{51}+\dfrac{\sqrt{149019}}{61}\right]=0$.

On a deux solutions : $x_1=\dfrac{22+\sqrt{149019}}{61}$ et $x_2=\dfrac{22-\sqrt{149019}}{61}$.

$x$ est une longueur, donc un nombre positif, donc on ne garde que $x_1$ comme solution : 

\[\boxed{\textcolor{red}{x=\dfrac{22+\sqrt{149019}}{61}\approx 6,69}}\]


\label{fin}
\end{document} 