\documentclass[11pt] {article} \usepackage[T1]{fontenc} 
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\textwidth 18cm \textheight 26cm \hoffset 
-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{fancy}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}
\rfoot{\small{Lycée Maurice Genevoix \\Année 2015-2016}}
\lfoot{20 novembre 2015}

\begin{document}

%\begin{tabular}{p{13cm}lr}
%(en \textbf{caractères majuscules d'imprimerie}) &\hfill vendredi 20 novembre 2015\\
%NOM :&\\
%PRÉNOM : &\\
%CLASSE : 2\up{nde} \no \dots&
%\end{tabular}

%\vspace{4cm}
\fbox{\begin{minipage}{16cm}
\begin{center}
Correction du devoir commun de mathématiques \no 1 de 
2\up{nde}

\end{center}\end{minipage}}\\

%\vspace{4cm}
%\noindent Les exercices sont indépendants et peuvent être traités dans l'ordre voulu. \\
%
%\noindent L'usage de la calculatrice est autorisé, mais le prêt de calculatrice est interdit. \\
%
%\noindent La clarté des raisonnements et la qualité de la rédaction interviendront pour une part importante dans l'appréciation de la copie. Tout résultat devra être soigneusement justifié. \\
%
%\vspace{2cm}
%\noindent \textbf{Partie réservée à la correction :}\\ 
%\textbf{\textcolor{red}{à compléter}}\\
%
%\noindent Exercice \ref{exo-intervalles} sur \textbf{\textcolor{red}{à compléter}} points : \\
%
%\noindent Exercice \ref{généralités-fonctions} sur \textbf{\textcolor{red}{à compléter}}  points : \\
%
%\noindent Exercice \ref{lecture-tableau-variation} sur \textbf{\textcolor{red}{à compléter}}  points : \\
%
%\noindent Exercice \ref{fonctions-calculs} sur \textbf{\textcolor{red}{à compléter}}  points : \\
%
%
%\noindent Exercice \ref{quadrilatère} sur \textbf{\textcolor{red}{à compléter}}  points : \\
%
%\noindent Exercice \ref{parallélogramme} sur \textbf{\textcolor{red}{à compléter}}  points : \\
%
%\noindent Exercice \ref{repère} sur \textbf{\textcolor{red}{à compléter}}  points : \\
%
%\newpage


%\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Contrôle commun \no 1 de mathématiques}}\end{center}

\subsection{}
\label{exo-intervalles}

\begin{enumerate}
\item %\marginpar{3 pt}Tableau complété :
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{3}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}
\hline
Inégalités&phrase&appartenance à un ensemble\\
\hline
$x<8$&$x$ est un nombre strictement inférieur à 8&$x\in]-\infty~;~8[$\\
\hline
$-5 \leqslant x <2$&$x$ est un nombre supérieur ou égal à -5 et strictement supérieur à 2&$x\in[-5~;~2[$\\
\hline
$-5 \leqslant x <2$&$x$ est un nombre supérieur ou égal à -5 et strictement supérieur à 2&$x\in[-5~;~2[$\\
\hline
\end{tabularx}
\end{center}

\bigskip

\item  %\marginpar{3 pt}%Pour chacun des cas suivants, simplifiez $I\cup J$ sous la forme d'un intervalle. Vous justifierez soigneusement en représentant les intervalles sur la droite des réels.
\setlength{\extrarowheight}{24 pt}
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}
\hline
$I$&$J$&$I\cup J$\\
\hline
$[-5~;~9]$&$[-1~;~3[$&
\begin{minipage}{6cm}\begin{center}
$I\cup J=[-5~;~9]$
\end{center}
\psset{xunit=0.4}\begin{pspicture}(-7,-0.8)(10,0.8)
\psline(-7,0)(10,0)
\psline[linecolor=red,linewidth=2pt](-5,-0.1)(10,-0.1)
\psline[linecolor=blue,linewidth=2pt](-1,0.1)(3,0.1)
\uput[d](-5,-0.2){-5}\uput[d](9,-0.2){9}
\uput[ur](-1,0){-1}\uput[ur](3,0){3}
\psline(-5,-0.3)(-4.8,-0.3)\psline(-5,-0.3)(-5,0.3)\psline(-5,0.3)(-4.8,0.3)%crochets
\psline(9,-0.3)(8.8,-0.3)\psline(9,-0.3)(9,0.3)\psline(9,0.3)(8.8,0.3)%crochets
\psline(-1,-0.3)(-0.8,-0.3)\psline(-1,-0.3)(-1,0.3)\psline(-1,0.3)(-0.8,0.3)%crochets
\psline(3,-0.3)(3.2,-0.3)\psline(3,-0.3)(3,0.3)\psline(3,0.3)(3.2,0.3)%crochets
\end{pspicture}
\end{minipage}\\
\hline
$\left]-\infty~;~\dfrac{9}{4}\right[$&$\left]-\dfrac{3}{2}~;~+\infty\right[$&\begin{minipage}{6cm}\begin{center}
$I\cup J=\mathbb{R}$
\end{center}
\psset{xunit=0.4}\begin{pspicture}(-7,-0.5)(10,0.5)
\psline(-7,0)(10,0)
\psline[linecolor=blue,linewidth=2pt](-7,0.1)(6,0.1)
\psline[linecolor=red,linewidth=2pt](1,-0.1)(10,-0.1)
\uput[d](6,0){$\dfrac{9}{4}$}
\uput[d](1,0){$-\dfrac{3}{2}$}
\psline(6,-0.3)(6.2,-0.3)\psline(6,-0.3)(6,0.3)\psline(6,0.3)(6.2,0.3)%crochets
\psline(1,-0.3)(0.8,-0.3)\psline(1,-0.3)(1,0.3)\psline(1,0.3)(0.8,0.3)%crochets
\end{pspicture}
\bigskip

\end{minipage}\\
\hline
[2~;~7[&[7~;~9[&\begin{minipage}{6cm}\begin{center}
$I\cup J=[2~;~9]$
\end{center}
\psset{xunit=0.4}\begin{pspicture}(-7,-0.8)(10,0.8)
\psline(-7,0)(10,0)
\psline[linecolor=red,linewidth=2pt](-5,-0.1)(1,-0.1)
\psline[linecolor=blue,linewidth=2pt](1,0.1)(3,0.1)
\uput[d](-5,-0.2){2}\uput[d](1,-0.2){7}
\uput[ur](3,0){9}
\psline(-5,-0.3)(-4.8,-0.3)\psline(-5,-0.3)(-5,0.3)\psline(-5,0.3)(-4.8,0.3)%crochets
\psline(1,-0.3)(1.2,-0.3)\psline(1,-0.3)(1,0.3)\psline(1,0.3)(1.2,0.3)%crochets
\psline(3,-0.3)(2.8,-0.3)\psline(3,-0.3)(3,0.3)\psline(3,0.3)(2.8,0.3)%crochets
%\psline(3,-0.3)(3.2,-0.3)\psline(3,-0.3)(3,0.3)\psline(3,0.3)(3.2,0.3)%crochets
\end{pspicture}
\end{minipage}
\\
\hline
\end{tabularx}

\end{center}

%\setlength{\extrarowheight}{4pt}
%\begin{center}
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}
%\hline
%\rule[-0.3cm]{0pt}{25pt}$I$&$J$&$I\cap J$&$I\cup J$\\ \hline
%\rule[-0.3cm]{0pt}{25pt}$[-4~;~6]$&$[-2~;~8[$&&\\ \hline
%\rule[-0.5cm]{0pt}{35pt}$\left]-\infty~;~\dfrac{11}{4}\right[$&$\left]\dfrac{1}{2}~;~+\infty\right[$& &\\ \hline
%\rule[-0.3cm]{0pt}{25pt}[1~;~5[&[5~;~9[&	&\\ \hline
%\end{tabularx}
%\end{center}
\end{enumerate}

%\newpage
\subsection{}
\label{généralités-fonctions}
Ci-dessous est représentée la courbe $\mathscr{C}$, représentative d'une fonction $f$.

%\noindent Les points marqués par une croix sont à coordonnées entières.
\begin{center}
\psset{unit=0.5}
\begin{pspicture}(-6,-5,)(9,4)
\psgrid[subgriddiv=2,gridlabels=0,gridwidth=1pt](-6,-5,)(9,4)%grille
%\psline[linewidth=1.5pt]{->}(-5,0)(7,0)%axe horizontal
%\psline[linewidth=1.5pt]{->}(0,-2)(0,6)%axe vertical
%repère
\uput[dl](0,0){$O$}
%\uput[dr](1,0){\textbf{1}}
%\uput[l](0,1){\textbf{1}}
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1.,Dy=1.,ticksize=-2pt 0,subticks=2,linewidth=2pt]{->}(0,0)(-6,-5,)(9,4)
\pscurve[linewidth=2pt,linecolor=red,arrows={(-)}](-5,1)(-4,2)(-3,0)(-2,-2)(-1,-4)(0,-1)(1,0)(2,1)(3,0)(4,-1)(5,0)(7,2)(8,3)
%\psdots[dotstyle=x,dotscale=3](-5,1)(-4,2)(-3,0)(-2,-2)(-1,-4)(0,-1)(1,0)(2,1)(3,0)(4,-1)(5,0)(7,2)(8,3)
\psline[linewidth=2pt](1,-0.2)(1,+0.2)
\psline[linewidth=2pt](-0.2,1)(0.2,1)
\uput[u](6,1){$\mathscr{C}$}
\end{pspicture}
\end{center}


\begin{enumerate}
\item %Quel est l'ensemble de définition $\mathscr{D}$ de $f$ ?
L'ensemble de définition $\mathscr{D}$ de $f$ est $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{D}=]-5~;~8]}}$.%\marginpar{0,5 pt}

\item %\marginpar{1,5 pt}
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $\boxed{\textcolor{red}{f(2)=1}}$

\item $\boxed{\textcolor{red}{f(5)=0}}$

\item $\boxed{\textcolor{red}{f(-2)=-2}}$
\end{enumerate}

\item %\marginpar{3 pt}%Donner le(s) antécédent(s) éventuel(s) de 1,5 ; -2 et 3.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item 1,5 a pour antécédent \textbf{\textcolor{red}{-4,7~;~-3,5 et 6,5}}.

\item -2 a pour antécédents\textbf{\textcolor{red}{ -2 et -0,3}}.

\item 3,5 n'a pas d'antécédent par $f$.
\end{enumerate}


\item %Résoudre graphiquement les équations :
%\marginpar{1 pt}
$f(x)=2$ : $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\{-4~;~7\}}}$


\item Résoudre graphiquement les inéquations suivantes :
\begin{enumerate}

\item $f(x)\leqslant 2$ : $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=[-5~;~7]}}$.%\marginpar{1 pt}

\item $f(x)>1$ : $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=]-5~;~-3,5[\cup]6~;~8]}}$
\end{enumerate}%\marginpar{1 pt}

\item %Dresser le tableau de variations de la fonction $f$.
Tableau de variations :\marginpar{1,5 pt}
\begin{center}
\begin{variations}
x&-5&&-4&&-1&&2&&4&&8\\
\hline
\m{f(x)}&1&\c&\h{2}&\d&-4&\c&\h{1}&\d&-1&\c&\h{3}\\
\hline
\end{variations}
\end{center}

\item %Quel est le maximum de $f$ ? Quel est son minimum ? En quelles valeurs sont ils atteints ?
Le maximum de $f$ est $\boxed{\textcolor{red}{3}}$, \textbf{atteint} en $\boxed{\textcolor{red}{x=8}}$.

\noindent Le minimum de $f$ est $\boxed{\textcolor{red}{-4}}$, atteint en $\boxed{\textcolor{red}{x=-1}}$.%\marginpar{1 pt}

\end{enumerate}

\subsection{}
\label{lecture-tableau-variation}
Voici le tableau de variation d'une fonction $f$ : 
\begin{center}
\begin{variations}
x&-12&&0&&4&&16\\
\filet
\m{f(x)}&\h{4}&\d&-3&\c&\h{11}&\d&6\\
\filet
\end{variations}
\end{center}


\begin{enumerate}
\item %Quelle est l'image de 4 ?
L'image de 4 est 11 ; $\boxed{\textcolor{red}{f(4)=11}}$.%\marginpar{0,5 pt}

\item %Le nombre -5 a t-il un antécédent ?
Le minimum de $f$ est -3 donc -5 n'a \textbf{\textcolor{red}{pas d'antécédent}}.%\marginpar{0,5 pt}

\item Le nombre 2 a deux antécédents par $f$ : un dans l'intervalle [-12~;~0] et l'autre dans l'intervalle [0~;~4] %\marginpar{1 pt}

\item  Comparer lorsque c'est possible en justifiant : 


\begin{enumerate}
\item  %$f(-5)$ et $f(5)$
$-5\in[-12~;~0]$ et $f$ est  \textbf{\textcolor{red}{décroissante}} sur cet intervalle, donc $\boxed{\textcolor{red}{f(-5)\leqslant 4}}$.

\noindent $5\in[4~;~16]$ et $f$ est \textbf{\textcolor{red}{décroissante}} sur cet intervalle, donc $\boxed{\textcolor{red}{f(5)\geqslant 6}}$.

\noindent On en déduit que $\boxed{\textcolor{red}{f(-5)<f(5)}}$.%\marginpar{1 pt}

\item %$f(1)$ et $f(2)$.
\noindent 1 et 2 appartiennent à l'intervalle [0~;~4]n $1<2$ et $f$ est \textbf{\textcolor{red}{croissante}} sur cet intervalle, donc $\boxed{\textcolor{red}{f(1)\leqslant f(2)}}$%\marginpar{1 pt}
\end{enumerate}

\end{enumerate}


\subsection{}
\label{fonctions-calculs}
Soient les fonctions $f : x\longmapsto 4x^2+3x-5$, $g:x\longmapsto -7x+4$ et $h:x\longmapsto \dfrac{1}{2}x^2$.
\begin{enumerate}
\item %Calculer les images par $f$ de 3, de -1, de $\sqrt{2}$ et $\dfrac{1}{3}$.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $f(3)=4\times 3^2+3\times 3-5=4\times 9+9-5=40$. $\boxed{\textcolor{red}{f(3)=40}}$

\item $f(-1)=4\times (-1)^2+3\times (-1)-5=4-3-5=-4$ : $\boxed{\textcolor{red}{f(-1)=-4}}$

\item $f\left(\sqrt{2}\right)=4\times \sqrt{2}^2+3\sqrt{2}-5=4\times 2+3\sqrt{2}-5=3+3\sqrt{2}$ : $\boxed{\textcolor{red}{f\left(\sqrt{2}\right)=3+3\sqrt{2}=3\left(1+\sqrt{2}\right)}}$.

\item $f\left(\dfrac{1}{3}\right)=4\times \left(\dfrac{1}{3}\right)^2+3\times \dfrac{1}{3}-5=4\times \dfrac{1}{9}+1-5=\dfrac{4}{9}-4=\dfrac{4-36}{9}=-\dfrac{32}{9}$ : $\boxed{\textcolor{red}{f\left(\dfrac{1}{3}\right)=-\dfrac{32}{9}}}$.
\end{enumerate}%\marginpar{2,5 pt}

\item %Calculer les antécédents par $g$ de 0, -5.
Un antécédent de 0 est un nombre $x$ tel que $g(x)=0$.

\noindent $g(x)=0$ s'écrit $-7x+4=0$ d'où $7x=-4$ et donc $x=\dfrac{4}{7}$.

\noindent \textbf{\textcolor{red}{L'antécédent de 0 par $\mathbf{g}$ est $\mathbf{\dfrac{4}{7}}$}}.

\noindent De même, $g(x)=-5$ s'écrit $-7x+4=-5$ qui donne $x=\dfrac{9}{7}$.

\noindent \textbf{\textcolor{red}{L'antécédent de -5 par $\mathbf{g}$ est $\mathbf{\dfrac{9}{7}}$}}.%\marginpar{1,5 pt}

\item %Calculer les antécédents éventuels par $h$ de -1 et de 2.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $h(x)=-1$ donne $\dfrac{1}{2}x^2=-1$ ; or $\dfrac{1}{2}x^2$ est toujours positif, donc l'équation n'a aucune solution : -1 n'a \textbf{\textcolor{red}{pas d'antécédent}} par $h$.

\item $h(x)=2$ s'écrit $\dfrac{1}{2}x^2=2$, soit $x^2=4$ qui a pour solutions -2 et 2. 2 a donc deux antécédents,\fbox{\textcolor{red}{ -2 et 2}}.
\end{enumerate}%\marginpar{2 pt}
\end{enumerate}

\subsection{}
\label{quadrilatère}
Dans un repère orthonormé (O~;~I~;~J), on considère les points 
M(1~;~-2), N(2~;~1), P(5~;~0), Q(4~;~-3) et R(1~;~4).

\begin{enumerate}
\item  %Calculer les longueurs MN, NP et MP.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $MN=\sqrt{\left(x_N-x_M\right)^2+\left(y_N-y_M\right)^2}=\sqrt{(2-1)^2+(1-(-2))^2}=\sqrt{1^1+3^2}=\boxed{\textcolor{red}{\mathbf{\sqrt{10}}}}$.

\item $NP=\sqrt{\left(x_P-x_N\right)^2+\left(y_P-y_N\right)^2}=\sqrt{3^2+(-1)^2}=\sqrt{9+1}=\boxed{\textcolor{red}{\mathbf{\sqrt{10}}}}$

\item $MP=\sqrt{\left(x_P-x_M\right)^2+\left(y_P-y_M\right)^2}=\sqrt{4^2++2^2}=\boxed{\textcolor{red}{\mathbf{\sqrt{20}}}}$
\end{enumerate}%\marginpar{1,5 pt}

\item %Démontrer que le triangle MNP est rectangle.
$MP^2=20$ et $MN^2+NP^2=10=10=20$ donc $\boxed{\textcolor{red}{MP^2=MN^2+NP^2}}$.

\noindent Daprès la \textbf{\textcolor{red}{réciproque du théorème de Pythagore}}, le triangle $MNP$ est \textbf{\textcolor{red}{rectangle}} en $N$.%\marginpar{1 pt}

\item %Déterminer la nature \textbf{exacte} du quadrilatère MNPQ. Justifier.
Le milieu de la diagonale $[MP]$ du quadrilatère $MNPQ$ a pour coordonnées 

\noindent $\left(\dfrac{x_M+x_P}{2}~;~\dfrac{y_M+y_P}{2}\right)=\boxed{\textcolor{red}{(3~;~-1)}}$.

Le milieu de la diagonale $[NQ]$ du quadrilatère $MNPQ$ a pour coordonnées 

$\left(\dfrac{x_N+x_Q}{2}~;~\dfrac{y_N+y_Q}{2}\right)=\boxed{\textcolor{red}{(3~;~-1)}}$.

\noindent Les deux diagonales de $MNPQ$ ont le même milieu, donc c'est un \textbf{\textcolor{red}{parallélogramme}}.

\noindent $MN=NP$, donc ce parallélogramme a deux côtés consécutifs de même longueur : c'est donc un \textbf{\textcolor{red}{losange}}.

\noindent Puisque le triangle $MNP$ est rectangle, il a un angle droit , donc $MNPQ$ est un \textbf{\textcolor{red}{carré}}.%\marginpar{2 pt}


\item %Le point R appartient-il au cercle de centre N et de rayon 3?
$NR=\sqrt{\left(x_R-x_N\right)^2+\left(y_R-y_N\right)^2}=\sqrt{(1-2)^2+(4-1)^2}=\sqrt{(-1)^2+3^2}=\sqrt{10}\neq 3$ donc R n'appartient pas au cercle de centre N et de rayon 3.%\marginpar{1 pt}

\end{enumerate}
\begin{center}
\textbf{\textcolor{blue}{Figure}}

\noindent 
\newrgbcolor{zzttqq}{0.6 0.2 0.}
\psset{unit=0.8,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-2.,-4.)(6.,5.)
\pspolygon[linecolor=zzttqq,fillcolor=orange!40,fillstyle=solid,opacity=0.01](1.,-2.)(2.,1.)(5.,0.)(4.,-3.)
\pspolygon[linecolor=zzttqq,fillcolor=cyan!30,fillstyle=solid,opacity=0.1](1.,-2.)(2.,1.)(5.,0.)
\psline[linecolor=zzttqq](1.,-2.)(2.,1.)
\psline[linecolor=zzttqq](2.,1.)(5.,0.)
\psline[linecolor=zzttqq](5.,0.)(1.,-2.)
\psline[linecolor=zzttqq](1.,-2.)(2.,1.)
\psline[linecolor=zzttqq](2.,1.)(5.,0.)
\psline[linecolor=zzttqq](5.,0.)(4.,-3.)
\psline[linecolor=zzttqq](4.,-3.)(1.,-2.)
\pscircle(2.,1.){3.}
\begin{scriptsize}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](1.,-2.)
\rput[bl](1.08,-1.88){\blue{$M$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](2.,1.)
\rput[bl](2.08,1.12){\blue{$N$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](5.,0.)
\rput[bl](5.08,0.12){\blue{$P$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](4.,-3.)
\rput[bl](4.08,-2.88){\blue{$Q$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](1.,4.)
\rput[bl](1.08,4.12){\blue{$R$}}
\end{scriptsize}
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1.,Dy=1.,ticksize=-2pt 0,subticks=2,linewidth=2pt]{->}(0,0)(-2.,-4.)(6.,5.)
\psgrid[subgriddiv=1](-2.,-4.)(6.,5.)
\end{pspicture*}
\end{center}
%\newpage

\subsection{}
\label{parallélogramme}
 Dans un repère orthonormé, on considère les points 
A(1~;~4 ), B(3~;~-2), C(-3~;~0) et D(-5~;~6).
\begin{enumerate}
\item %Dans le repère ci-dessous, placer ces quatre points. \textbf{On complètera la figure au fur et à mesure}.
\textbf{\textcolor{blue}{Figure}} :

\begin{center}
\psset{unit=0.4,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-6,-9)(9,7)
\psgrid[subgriddiv=2,gridlabels=0,gridwidth=0.8pt](-6,-7)(9,7)
\pspolygon[fillcolor=cyan!40,fillstyle=solid,opacity=0.1](1,4 )(3,-2)(-3,0)(-5,6).
\pspolygon[linecolor=zzttqq,fillcolor=orange!40,fillstyle=solid,opacity=0.1](1.,4.)(3.,-2.)(-1.,-6.)(-3.,0.)
\uput[u](1,4 ){A}
\uput[d](3,-2){B}
\uput[dl](-3,0){C}
\uput[u](-5,6){D}
\uput[d](-1,-6){E}
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2,linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-6,-7)(9,7)
\uput[dl](0,0){O}
\end{pspicture*}%\marginpar{1 pt}
\end{center}

\item %Calculer les coordonnées du milieu du segment  [AC].
Soit $M$ le milieu de [AC] ; on a $x_M=\dfrac{x_A+x_C}{2}=-1$ et $y_M=\dfrac{y_A+y_C}{2}=2$ : $\boxed{\textcolor{red}{M(-1~;~2)}}$.%\marginpar{1 pt}

\item %Démontrer que ABCD est un parallélogramme.
Soit $M'$ le milieu de [BD].

On a $x_{M'}=\dfrac{x_B+x_D}{2}=-1$ et $y_{M'}=\dfrac{y_B+y_D}{2}=2$ : $\boxed{\textcolor{red}{M'(-1~;~2)}}$.

\noindent $M$ et $M'$ ont les même coordonnées donc $M=M'$ : les diagonales du quadrilatère ABCD se coupent en leur milieu, donc c'est un parallélogramme.
%\marginpar{1 pt}

\item %Déterminer par le calcul les coordonnées du point E tel que ABEC soit un parallélogramme.
ABEC est un parallélogramme si, et seulement si, les diagonales ont le même milieu. On doit avoir :

\noindent $\dfrac{x_A+x_E}{2}=\dfrac{x_B+x_C}{2}$ donc $\dfrac{1+x_E}{2}=\dfrac{3+(-3)}{2}$, d'où $\dfrac{1+x_E}{2}=0$ ; on en déduit $x_E=-1$.

\noindent $\dfrac{y_A+y_E}{2}=\dfrac{y_B+y_C}{2}$ donc $\dfrac{4+y_E}{2}=\dfrac{-2+0}{2}=-1$, d'où $4+y_E=-2$ ; on en déduit $y_E=-6$.

\noindent On en déduit $\boxed{\textcolor{red}{E(-1~;~6)}}$%\marginpar{1,5 pt}
\end{enumerate}

\subsection{}
\label{repère}
\begin{wrapfigure}[10]{r}{7cm}
\begin{center}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-1,-1)(7,4)
\pspolygon(0,0)(6,0)(6,3)(0,3)
\psline(0,0)(6,0)
\psline(6,0)(6,3)
\psline(6,3)(0,3)
\psline(0,3)(0,0)
\psline(0,0)(6,3)
\psline(6,0)(0,3)
\begin{scriptsize}
\psdots[dotstyle=x,dotscale=3,linecolor=blue](0,0)
\uput[dl](0,0){\blue{$A$}}
\psdots[dotstyle=x,dotscale=2,linecolor=blue](6,0)
\uput[dl](6,0){\blue{$B$}}
\psdots[dotstyle=x,dotscale=2,linecolor=blue](6,3)
\rput[bl](6.08,3.12){\blue{$C$}}
\psdots[dotstyle=x,dotscale=2,linecolor=blue](0,3)
\rput[bl](0.08,3.12){\blue{$D$}}
\psdots[dotstyle=x,dotscale=2,linecolor=darkgray](3,0)
\rput[bl](3.08,0.12){\darkgray{$E$}}
\psdots[dotstyle=x,dotscale=2,linecolor=darkgray](0,1.5)
\rput[bl](0.08,1.62){\darkgray{$F$}}
\psdots[dotstyle=x,dotscale=2,linecolor=darkgray](3,1.5)
\uput[u](3,1.5){\darkgray{$G$}}
\psdots[dotstyle=x,dotscale=2,linecolor=darkgray](4.5,2.25)
\uput[u](4.5,2.25){\darkgray{$H$}}
\end{scriptsize}
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{wrapfigure}
Soit ABCD un rectangle avec AB = 2 AD.

\noindent Soient E et F les milieux respectifs de [AB] et [AD], G le centre du rectangle et H le milieu de [GC].\\



\begin{enumerate}
\item %Donner la définition d'un repère orthonormé.
Un repère $(O~;~I~;~J)$ est orthonormé si les droites $(OI)$ et $(OJ)$ sont perpendiculaires et si les longueurs $OI$ et $OJ$ sont égales.%\marginpar{1 pt}

\item %Quelle est la nature des repères (A~;~B~;~F) et (A~;~E~;~D) ?
Le repère $(A~;~B~;~F)$ est orthogonal, car les droites $(AB)$ et $(AF)$ sont \textbf{\textcolor{red}{perpendiculaires}}, mais $\boxed{\textcolor{red}{AB\neq AF}}$.

\noindent Le repère $(A~;~E~;~D)$ est quant à lui orthonormé car les droites $(AE)$ et $(AD)$ sont \textbf{\textcolor{red}{perpendiculaires}} et $AE=\dfrac{1}{2}AB=\dfrac{1}{2}\times 2AD=AD$, donc $\boxed{\textcolor{red}{AE=AD}}$ %\marginpar{1,5 pt}

\item %Lire les coordonnées des huit points de la figure dans le repère (A~;~B~;~F) puis dans le repère (A~;~E~;~D).
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Dans le repère $(A~;~B~;~F)$, on a :

\noindent $A(0~;~0)$, $B(1~;~0)$, $C(1~;~2)$, $D(0~;~2)$, $E\left(\dfrac{1}{2}~;~0\right)$, $F(0~;~1)$, $G\left(\dfrac{1}{2}~;~1\right)$ et $H\left(\dfrac{3}{4}~;~\dfrac{3}{2}\right)$.

\item Dans le repère $(A~;~E~;~D)$, on a :

\noindent $A(0~;~0)$, $B(2~;~0)$, $C(2~;~1)$, $D(0~;~1)$, $E\left(1~;~0\right)$, $F\left(0~;~\dfrac{1}{2}\right)$, $G\left(1~;~\dfrac{1}{2}\right)$ et $H\left(\dfrac{3}{2}~;~\dfrac{3}{4}\right)$.%\marginpar{2 pt}

\end{enumerate}
\end{enumerate}

\label{fin}
\end{document}  