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-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{empty}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{2nde : correction du contrôle (ensembles de nombres, intervalles)}}\end{center}



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{\textcolor{blue}{(2,5 points)}}
%Pour chacun des nombres suivants, préciser, parmi les ensembles $\mathbb{N}$, $\mathbb{Z}$, $\mathbb{D}$, $\mathbb{Q}$ et $\mathbb{R}$  le plus petit ensemble auquel il appartient : (justifier chaque réponse !)\\

\begin{enumerate}[a = ]
\item $2,7=\dfrac{27}{10}$ donc $\boxed{\textcolor{red}{a=2,7\in\mathbb{Z}}}$

\item $\frac{\sqrt{16}}2=\dfrac{4}{2}=2$ donc $\boxed{\textcolor{red}{b\in\mathbb{N}}}$

\item $-\frac{72}{8}=-9$ donc $\boxed{\textcolor{red}{c=-9\in\mathbb{Z}}}$

\item $\frac{2\pi-4}{3\pi-6}=\dfrac{2(\pi-2)}{3\left(\pi-2\right)}=\dfrac{2}{3}$ en simplifiant par $\pi-2$ donc $\boxed{\textcolor{red}{d\in\mathbb{Q}}}$

\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{Inégalités (4 points)}}
%Pour chacun des exercices ci-dessous, traduisez par une ou des inégalités la proposition indiquée.

\begin{enumerate}[a)]
\item $x\in\left[2~;~5\right]$ équivaut à $\boxed{\textcolor{red}{2\leqslant x\leqslant 5}}$

\bigskip

\item $x\in\left]3~;~+\infty\right[$ équivaut à $\boxed{\textcolor{red}{x>3}}$

\bigskip

\item $x\in\left]-\infty~;~5\right]$ équivaut à $\boxed{\textcolor{red}{x\leqslant 5}}$

\bigskip

\item $x\in\left]-1~;~3\right]$ équivaut à $\boxed{\textcolor{red}{-1<x\leqslant 3}}$
\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{Trouver un intervalle (4 points)}}
Pour chacun des exercices ci-dessous, écrivez l'intervalle $I$, correspondant à l'inégalité ou les inégalités proposée(s).
\begin{enumerate}[a)]
\item $x>2$ équivaut à $\boxed{\textcolor{red}{x\in]2~;~+\infty[}}$

\bigskip

\item $-1<x\leqslant 7$ équivaut à $\boxed{\textcolor{red}{x\in]-1~;~7]}}$

\bigskip

\item $x\leqslant 1$ équivaut à $\boxed{\textcolor{red}{x\in]-\infty~;~1]}}$

\bigskip

\item $-1<x<12$ équivaut à $\boxed{\textcolor{red}{x\in]-1~;~12[}}$
\end{enumerate}


\subsection{\textcolor{blue}{Réunion et intersection d'intervalles\\ (5 points)}}
     Pour chacun des exercices suivants, dire si $I\cup J$ est un intervalle.
     
\noindent Utiliser la notation usuelle pour écrire $I\cup J$ et $I\cap J$.

\begin{enumerate}[a)]
\item $I=\left]-\infty~;~-1\right[$ et $\displaystyle J=\left]-\infty~;~-\frac{2}{3}\right]$

\noindent $I\cup J$ est un intervalle

\noindent $\boxed{\textcolor{red}{I\cup J=J=\left]-\infty~;~-\dfrac{2}{3}\right]}}$ et $\boxed{\textcolor{red}{I\cap J=I=\left]-\infty~;~-1\right[}}$

\bigskip

\item $I=\left[1~;~+\infty\right[$ et $\displaystyle J=\left]5~;~\frac{29}{5}\right]$.

\noindent $I\cup J$ est un intervalle.

\noindent $\boxed{\textcolor{red}{I\cup J=I=[1~;~+\infty[}}$ et $\boxed{\textcolor{red}{I\cap J=J=\left]5~;~\dfrac{29}{5}\right]}}$

\bigskip

\item $I=\left[-\frac{1}{2}~;~0\right[$ et $\displaystyle J=\left[-\frac{4}{3}~;~\frac{2}{3}\right[$.

\noindent $I\cup J$ est un intervalle.

\noindent $\boxed{\textcolor{red}{I\cup J=J=\left[-\dfrac{4}{3}~;~\dfrac{2}{3}\right[}}$ et $\boxed{\textcolor{red}{I\cap J=I=\left[-\dfrac{1}{2}~;~0\right[}}$

\bigskip

\item $I=\left]-1~;~0\right[$ et $\displaystyle J=\left]1~;~+\infty\right[$.

$I\cup J$ n'est pas un intervalle.

\noindent $\boxed{\textcolor{red}{I\cup J=\left]-1~;~0\right[\cup\left]1~;~+\infty\right[}}$ et $\boxed{\textcolor{red}{I\cap J=\emptyset}}$


\bigskip

\item $I=]-\infty~;~3]$ et $J=[3~;~5]$

\noindent $I\cup J$ est un intervalle.

\noindent $\boxed{\textcolor{red}{I\cup J=]-\infty~;~5]}}$ et $\boxed{\textcolor{red}{I\cap J=\{3\}}}$

\end{enumerate}

%\newpage
\subsection{\textcolor{blue}{(4,5 points)}}
Ci-dessous se trouve la courbe représentative $\mathscr{C}$ d'une fonction $f$.
\begin{center}
\begin{pspicture}(-4,-4)(4,4)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=2,gridwidth=1pt,subgridwidth=0.15pt](0,0)(-4,-4)(5,4)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1.,Dy=1.,ticksize=-2pt 0,subticks=2,linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-4,-4)(5,4)
\pscurve[linewidth=1.5pt,linecolor=red](-3,2)(-2.5,3)(-2,1)(-1.5,0)(-1,-1)(0,1)(1,0)(2,1)(3,0)(3.5,-2)(4,-1)
  \psdots[dotstyle=x,dotscale=2](-2.5,3)(-2,1)(-1.5,0)(-1,-1)(0,1)(1,0)(2,1)(3,0)(3.5,-2)
\uput[ul](0,0){0}
\psdots(-3,2)(4,-1)
\uput[u](-2.5,3){$\mathscr{C}$}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}

\item %Sur quel intervalle $f$ est-elle définie ?
$f$ est définie sur [-3~;~4].

\item %Quelles sont les images par $f$ de -3 ? de -2 ? de 1 ?
$\boxed{\textcolor{red}{f(-3)=2}}$, $\boxed{\textcolor{red}{f(-2)=1}}$ et $\boxed{\textcolor{red}{f(1)=0}}$.


\bigskip

\item %Quels sont le ou les antécédents par $f$ 
\begin{enumerate}
\item %de 3 ?
3 a pour antécédent le nombre -2,5

\item %de 0 ? 
0 a pour antécédent -1,5~;~-0,5~;~1 et 3
\end{enumerate}

\bigskip

\item 
\begin{enumerate}
\item %Combien 2 a-t-il d'antécédents ?
2 a deux antécédents.

\item% Combien 1 a-t-il d'antécédents ? Quels sont-ils ?
1 a trois antécédents, qui sont -2~;~0 et 2
\end{enumerate}

\end{enumerate}
\end{multicols}

\label{fin}
\end{document}  