\documentclass[12pt] {article} \usepackage[T1]{fontenc} 
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\textwidth 19cm \textheight 26cm \hoffset 
-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{fancy}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}
\rfoot{\small{Lycée Maurice Genevoix \\Année 2015-2016}}
\lfoot{20 novembre 2015}

\begin{document}

\begin{tabular}{p{13cm}lr}
(en \textbf{caractères majuscules d'imprimerie}) &\hfill vendredi 20 novembre 2015\\
NOM :&\\
PRÉNOM : &\\
CLASSE : 2\up{nde} \no \dots&
\end{tabular}

\vspace{4cm}
\fbox{\begin{minipage}{16cm}
\begin{center}
\huge Devoir commun de mathématiques \no 1 \\
2\up{nde}

\end{center}\end{minipage}}\\

\vspace{4cm}
\noindent Les exercices sont indépendants et peuvent être traités dans l'ordre voulu. \\

\noindent L'usage de la calculatrice est autorisé, mais le prêt de calculatrice est interdit. \\

\noindent La clarté des raisonnements et la qualité de la rédaction interviendront pour une part importante dans l'appréciation de la copie. Tout résultat devra être soigneusement justifié. \\

\noindent \textbf{Les élèves d'UPE2A sont autorisés à utiliser un dictionnaire}.

\vspace{1.5cm}
\noindent \textbf{Partie réservée à la correction :}\\ 
%\textbf{\textcolor{red}{à compléter}}\\

\noindent Exercice \ref{exo-intervalles} sur 6 points : \\

\noindent Exercice \ref{généralités-fonctions} sur 9,5 points : \\

\noindent Exercice \ref{lecture-tableau-variation} sur 4 points : \\

\noindent Exercice \ref{fonctions-calculs} sur 6 points : \\


\noindent Exercice \ref{quadrilatère} sur 5,5 points : \\

\noindent Exercice \ref{parallélogramme} sur 4,5 points : \\

\noindent Exercice \ref{repère} sur 4,5 points : \\
%
%\newpage


\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Contrôle commun \no 1 de mathématiques}}\end{center}

\subsection{}
\label{exo-intervalles}

\begin{enumerate}
\item Compléter :
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{3}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}
\hline
Inégalités&phrase&appartenance à un ensemble\\
\hline
&$x$ est strictement inférieur à 8&\\
\hline
$-5 \leqslant x <2$&&\\
\hline
&&$x \in [-2 ; +\infty [$\\
\hline
\end{tabularx}
\end{center}

\bigskip

\item Pour chacun des cas suivants, simplifiez $I\cup J$ sous la forme d'un intervalle. Vous justifierez soigneusement en représentant les intervalles sur la droite des réels.
\setlength{\extrarowheight}{24 pt}
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}
\hline
$I$&$J$&$I\cup J$\\
\hline
$[-5~;~9]$&$[-1~;~3[$&\\
\hline
$\left]-\infty~;~\dfrac{9}{4}\right[$&$\left]-\dfrac{3}{2}~;~+\infty\right[$&\\
\hline
[2~;~7[&[7~;~9[&\\
\hline
\end{tabularx}

\end{center}

%\setlength{\extrarowheight}{4pt}
%\begin{center}
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}
%\hline
%\rule[-0.3cm]{0pt}{25pt}$I$&$J$&$I\cap J$&$I\cup J$\\ \hline
%\rule[-0.3cm]{0pt}{25pt}$[-4~;~6]$&$[-2~;~8[$&&\\ \hline
%\rule[-0.5cm]{0pt}{35pt}$\left]-\infty~;~\dfrac{11}{4}\right[$&$\left]\dfrac{1}{2}~;~+\infty\right[$& &\\ \hline
%\rule[-0.3cm]{0pt}{25pt}[1~;~5[&[5~;~9[&	&\\ \hline
%\end{tabularx}
%\end{center}
\end{enumerate}

\subsection{}
\label{généralités-fonctions}
Ci-dessous est représentée la courbe $\mathscr{C}$, représentative d'une fonction $f$.

%\noindent Les points marqués par une croix sont à coordonnées entières.
\begin{center}
\psset{unit=0.7}
\begin{pspicture}(-6,-5,)(9,4)
\psgrid[subgriddiv=2,gridlabels=0,gridwidth=1pt](-6,-5,)(9,4)%grille
%\psline[linewidth=1.5pt]{->}(-5,0)(7,0)%axe horizontal
%\psline[linewidth=1.5pt]{->}(0,-2)(0,6)%axe vertical
%repère
\uput[dl](0,0){$O$}
%\uput[dr](1,0){\textbf{1}}
%\uput[l](0,1){\textbf{1}}
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1.,Dy=1.,ticksize=-2pt 0,subticks=2,linewidth=2pt]{->}(0,0)(-6,-5,)(9,4)
\pscurve[linewidth=2pt,linecolor=red,arrows={)-}](-5,1)(-4,2)(-3,0)(-2,-2)(-1,-4)(0,-1)(1,0)(2,1)(3,0)(4,-1)(5,0)(7,2)(8,3)
%\psdots[dotstyle=x,dotscale=3](-5,1)(-4,2)(-3,0)(-2,-2)(-1,-4)(0,-1)(1,0)(2,1)(3,0)(4,-1)(5,0)(7,2)(8,3)
\psdots[dotscale=1.5,linecolor=red](8,3)
\psline[linewidth=2pt](1,-0.2)(1,+0.2)
\psline[linewidth=2pt](-0.2,1)(0.2,1)
\uput[u](6,1){$\mathscr{C}$}
\end{pspicture}
\end{center}


\begin{enumerate}
\item Quel est l'ensemble de définition $\mathscr{D}$ de $f$ ?

\item Donner les images de 2 ; de 5 et de -2 par la fonction $f$.


\item Donner le(s) antécédent(s) éventuel(s) de 1,5 ; de -2 et de 3,5.

%\item Quel est le maximum de $f$ sur $\mathscr{D}$ ? Pour quelle valeur est-il atteint ?
%
%\item Quel est le minimum de $f$ sur $\mathscr{D}$ ? Pour quelle valeur est-il atteint ?

\item Résoudre graphiquement l' équation : $f(x)=2$

%\item $f(x)=3$
%
%\item $f(x)=-5$

\item Résoudre graphiquement les inéquations suivantes :
\begin{enumerate}
%\item $f(x)\leqslant 2$
%
%\item $f(x)<0$
%
%\item $f(x)\geqslant 2$


\item $f(x)\leqslant 2$

\item $f(x)>1$
\end{enumerate}

\item Dresser le tableau de variations de la fonction $f$.

\item Quel est le maximum de $f$ ? Quel est son minimum ? En quelles valeurs sont ils atteints ?

\end{enumerate}

\subsection{}
\label{lecture-tableau-variation}
Voici le tableau de variation d'une fonction $f$ : 
\begin{center}
\begin{variations}
x&-12&&0&&4&&16\\
\filet
\m{f(x)}&\h{4}&\d&-3&\c&\h{11}&\d&6\\
\filet
\end{variations}
\end{center}


\begin{enumerate}
\item Quelle est l'image de 4 ?

\item Combien le nombre -5 a-t-il d'antécédents par f ?

\item Combien le nombre 2 a-t-il d'antécédents par f ?

\item Comparer lorsque c'est possible en justifiant : 


\begin{enumerate}
\item $f(-5)$ et $f(5)$

\item $f(1)$ et $f(2)$.
\end{enumerate}

\end{enumerate}


\subsection{}
\label{fonctions-calculs}
Soient les fonctions $f : x\longmapsto 4x^2+3x-5$, $g:x\longmapsto -7x+4$ et $h:x\longmapsto \dfrac{1}{2}x^2$.
\begin{enumerate}
\item Calculer les images par $f$ de 3, de -1, de $\sqrt{2}$ et $\dfrac{1}{3}$.

\item Calculer les antécédents de 0 et de -5 par $g$.

\item Calculer les antécédents éventuels de -1 et de 2 par $h$.
\end{enumerate}

\subsection{}
\label{quadrilatère}
Dans un repère orthonormé (O~;~I~;~J), on considère les points 
M(1~;~-2), N(2~;~1), P(5~;~0), Q(4~;~-3) et R(1~;~4).

\begin{enumerate}
\item Calculer les longueurs MN, NP et MP.

\item Démontrer que le triangle MNP est rectangle.

\item Déterminer la nature \textbf{exacte} du quadrilatère MNPQ. Justifier.

\item Le point R appartient-il au cercle de centre N et de rayon 3?

\end{enumerate}

\newpage

\subsection{}
\label{parallélogramme}
 Dans un repère orthonormé, on considère les points 
A(1~;~4 ), B(3~;~-2), C(-3~;~0) et D(-5~;~6).
\begin{enumerate}
\item Dans le repère ci-dessous, placer ces quatre points. \textbf{On complètera la figure au fur et à mesure}.

\begin{center}
\psset{xunit=0.7cm,yunit=0.7cm,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-6,-9)(9,7)
\psgrid[subgriddiv=2,gridlabels=0,gridwidth=0.8pt](-6,-7)(9,7)
%\pspolygon[fillcolor=cyan!40,fillstyle=solid,opacity=0.1](1,4 )(3,-2)(-3,0)(-5,6).
%\uput[u](1,4 ){A}
%\uput[d](3,-2){B}
%\uput[d](-3,0){C}
%\uput[u](-5,6){D}
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2,linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-6,-7)(9,7)
\uput[dl](0,0){O}
\end{pspicture*}
\end{center}

\item Calculer les coordonnées du milieu du segment [AC].
\item Démontrer que ABCD est un parallélogramme.

\item Déterminer par le calcul les coordonnées du point E tel que ABEC soit un parallélogramme.
\end{enumerate}

\subsection{}
\label{repère}
Soit ABCD un rectangle avec AB = 2 AD.

\noindent Soient E et F les milieux respectifs de [AB] et [AD], G le centre du rectangle et H le milieu de [GC].\\

\begin{center}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-1,-1)(7,4)
\pspolygon(0,0)(6,0)(6,3)(0,3)
\psline(0,0)(6,0)
\psline(6,0)(6,3)
\psline(6,3)(0,3)
\psline(0,3)(0,0)
\psline(0,0)(6,3)
\psline(6,0)(0,3)
\begin{scriptsize}
\psdots[dotstyle=x,dotscale=3,linecolor=blue](0,0)
\uput[dl](0,0){\blue{$A$}}
\psdots[dotstyle=x,dotscale=2,linecolor=blue](6,0)
\uput[dl](6,0){\blue{$B$}}
\psdots[dotstyle=x,dotscale=2,linecolor=blue](6,3)
\rput[bl](6.08,3.12){\blue{$C$}}
\psdots[dotstyle=x,dotscale=2,linecolor=blue](0,3)
\rput[bl](0.08,3.12){\blue{$D$}}
\psdots[dotstyle=x,dotscale=2,linecolor=darkgray](3,0)
\rput[bl](3.08,0.12){\darkgray{$E$}}
\psdots[dotstyle=x,dotscale=2,linecolor=darkgray](0,1.5)
\rput[bl](0.08,1.62){\darkgray{$F$}}
\psdots[dotstyle=x,dotscale=2,linecolor=darkgray](3,1.5)
\uput[u](3,1.5){\darkgray{$G$}}
\psdots[dotstyle=x,dotscale=2,linecolor=darkgray](4.5,2.25)
\uput[u](4.5,2.25){\darkgray{$H$}}
\end{scriptsize}
\end{pspicture*}
\end{center}


\begin{enumerate}
\item Donner la définition d'un repère orthonormé.

\item Quelle est la nature des repères (A~;~B~;~F) et (A~;~E~;~D) ?

\item Lire les coordonnées des huit points de la figure dans le repère (A~;~B~;~F) puis dans le repère (A~;~E~;~D).
\end{enumerate}

\label{fin}
\end{document} 