\documentclass[12pt] {article} \usepackage[T1]{fontenc} 
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\textwidth 19cm \textheight 26cm \hoffset 
-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{fancy}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}
\rfoot{\small{Lycée Maurice Genevoix \\Année 2015-2016}}
\lfoot{11 février 2016}

\begin{document}

\begin{tabular}{p{13cm}lr}
(en \textbf{caractères majuscules d'imprimerie}) &\hfill jeudi 11 février 2016\\
NOM :&\\
PRÉNOM : &\\
CLASSE : 2\up{nde} \no \dots&
\end{tabular}

\vspace{4cm}
\fbox{\begin{minipage}{16cm}
\begin{center}
\huge Devoir commun de mathématiques \no 1 \\
2\up{nde}

\end{center}\end{minipage}}\\

\vspace{4cm}
\noindent Les exercices sont indépendants et peuvent être traités dans l'ordre voulu. \\

\noindent L'usage de la calculatrice est autorisé, mais le prêt de calculatrice est interdit. \\

\noindent La clarté des raisonnements et la qualité de la rédaction interviendront pour une part importante dans l'appréciation de la copie. Tout résultat devra être soigneusement justifié. \\

\noindent \textbf{Les élèves d'UPE2A sont autorisés à utiliser un dictionnaire}.\\

\noindent Le sujet comporte \pageref{fin} pages. La dernière page contient une \textbf{annexe}, à rendre avec la copie.

\vspace{1.5cm}
\noindent \textbf{Partie réservée à la correction :}\\ 
%\textbf{\textcolor{red}{à compléter}}\\

\noindent Exercice I sur 6 points : \\[0.2cm]
\noindent Exercice II sur 6,5 points : \\[0.2cm]
\noindent Exercice III sur 8,5 points : \\[0.2cm]
\noindent Exercice IV sur 6 points : \\[0.2cm]
\noindent Exercice V sur 6 points : \\[0.2cm]
\noindent Exercice VI sur 2 points : \\[0.2cm]
\noindent Exercice VII sur 5 points : \\[0.2cm]
\noindent Exercice bonus sur 2 points : \\[0.2cm]
%
\newpage


\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Contrôle commun \no 2 de mathématiques}}\end{center}


\noindent\textbf{\underline{Exercice I :}}
\label{stats-discret}

\medskip

\noindent Voici les notes au dernier contrôle commun de deux classes de Seconde d'un lycée.

%$$\includegraphics[scale=0.6]{diagramme-batons.eps}$$


\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.6]
\draw (0,0) grid (20,11);
\foreach \y in {1,2,...,11} \draw(0,\y)node[left]{\y};
\foreach \x in {0,1,...,20} \draw(\x,0)node[below]{\x};
\draw[line width=0.5mm,->] (0,0)--(20,0);
\draw[line width=0.5mm,->] (0,0)--(0,11);
\draw (10,-1.25) node{Notes};
\draw (-1.25,5.5) node[rotate=90]{Effectifs};
\draw[line width=3mm,color=blue] plot[ycomb] coordinates {(3,2) (4,5) (6,6) (8,10)
(10,10) (11,7) (12,7) (14,9) (15,8) (16,5) (18,1)};
\end{tikzpicture}

\end{center}


\begin{enumerate}
\item Compléter le tableau suivant :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{12}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
Notes & 3    & 4 & 6 & 8 & 10 & 11 & 12 & 14 & 15 & 16 & 18 \\
\hline
Effectifs &  &   &   &   &    &    &    &    &    &  & \\
\hline
E.C.C. &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  \\
\hline
\end{tabularx}
%\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
%$$\begin{tabular}{|c|p{0.4cm}|p{0.4cm}|p{0.4cm}|p{0.4cm}|p{0.4cm}|p{0.4cm}|p{0.4cm}|p{0.4cm}|p{0.4cm}|p{0.4cm}|p{0.4cm}|}
%\hline
%Notes & 3    & 4 & 6 & 8 & 10 & 11 & 12 & 14 & 15 & 16 & 18 \\
%\hline
%Effectifs &  &   &   &   &    &    &    &    &    &  & \\
%\hline
%E.C.C. &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  \\
%\hline
%\end{tabular}$$

\item Calculer la moyenne de la série statistique.
\item Calculer la médiane, le premier quartile et le troisième quartile de la série statistique.
%\item Construire le diagramme en boîte de la série.
\end{enumerate}


\medskip



\noindent\textbf{\underline{Exercice II :}}
\label{stats-continu}

\medskip

\noindent Une agence bancaire a réalisé une enquête de marché sur la possibilité de faire payer les chèques bancaires aux clients émetteurs.\\
$1500$ chèques ont été étudiés. Ils sont classés suivant leur montant, exprimé en euros, et les résultats de cette enquête figurent dans le tableau suivant.

\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
classes & [ 0 ; 60[ & [ 60 ; 80[ & [ 80 ; 100[ & [ 100 ; 120[ & [ 120 ; 140[ & [ 140 ; 160[ & [ 160 ; 200[ \\
\hline
effectifs & 152 & 183 & 224 & 297 & 256 & 238 & 150 \\
\hline
fréquences &   &      &     &     &    &      & \\
\hline
F.C.C. &       &    &    &     &  &  &\\
\hline
\end{tabularx}

%$$\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}
%\hline
%classes & [ 0 ; 60[ & [ 60 ; 80[ & [ 80 ; 100[ & [ 100 ; 120[ & [ 120 ; 140[ & [ 140 ; 160[ & [ 160 ; 200[ \\
%\hline
%effectifs & 152 & 183 & 224 & 297 & 256 & 238 & 150 \\
%\hline
%fréquences &   &      &     &     &    &      & \\
%\hline
%F.C.C. &       &    &    &     &  &  &\\
%\hline
%\end{tabular}$$

\begin{enumerate}

\item Compléter le tableau ci-dessus. On arrondira les résultats au centième.
 
\item Déterminer le \textbf{pourcentage} de chèques dont le montant est supérieur ou égal à $100$ euros et strictement inférieur à $160$ euros.
		
\item Construire sur la feuille fournie en annexe la courbe des fréquences cumulées croissantes.

\item Déterminer la médiane et les quartiles de la série statistique.

\item Interpréter par une phrase les valeurs obtenues pour la médiane, le premier et le troisième quartile.

\end{enumerate}


\newpage

\noindent\textbf{\underline{Exercice III :}}

\medskip

\label{equations-inequations}

\noindent Résoudre les équations et les inéquations suivantes :\\
\begin{minipage}{0.5\linewidth}
\begin{enumerate}[$\diamond$]
\item $2x-9=8x+3$ \\[0.1cm]
\item $(-15x+3)(3x+9)=0$ \\[0.1cm]
\item $(2x+1)(x+4) \geqslant (x+4)(3-5x)$ 
\end{enumerate}
\end{minipage}
\begin{minipage}{0.5\linewidth}
\begin{enumerate}[$\diamond$]
\item $(1+3x)^2-(2-5x)^2=0$ \\[0.1cm]
\item $2x-10<7x+5$ \\[0.1cm]
\item $(5x-3)(-3x+4)<0$
\end{enumerate}
\end{minipage}

\medskip

\noindent\textbf{\underline{Exercice IV :}}\\
\label{forme-adaptee}

\medskip

\noindent Soit $f$ la fonction définie par :
$$f(x)=(3x-2)^2-16 \ \ \ \ \text{(appelée forme $1$)}$$
On note $\mathcal{C}_{f}$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé du plan.
\begin{enumerate}
\item En développant $f(x)$, montrer que $f(x)=9x^2-12x-12$ (appelée forme $2$).
\item En factorisant $f(x)$, montrer que $f(x)=(3x-6)(3x+2)$ (appelée forme $3$).
\item En choisissant la forme la plus adaptée, répondre aux questions suivantes :
		\begin{enumerate}[$a.$]
		\item Résoudre l'équation $f(x)=0$.
		\item Calculer l'image de $\dfrac{2}{3}$ par $f$.
		\item Déterminer les antécédents éventuels de $-12$ par $f$.
		\item Déterminer les coordonnées du point d'intersection de $\mathcal{C}_{f}$ avec l'axe des ordonnées.
		\end{enumerate}
\end{enumerate}
\hfill\\



\noindent\textbf{\underline{Exercice V :}}
\label{affine-1}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Parmi les fonctions suivantes, préciser lesquelles sont affines. Justifier soigneusement.
		\begin{enumerate}[$\diamond$]
		\item $f : x \mapsto 5x-2$
		\item $g : x \mapsto \dfrac{1}{x}+3$ 
		\item $h : x \mapsto 4-6x$
		\item $i : x \mapsto 3x^2$
		\end{enumerate}
		
\item Tracer dans le repère ci-dessous les courbes représentatives des fonctions suivantes :
$$f : x \mapsto -2x+1 \ \ \ ; \ \ \ g : x \mapsto 3x \ \ \ ; \ \ \ h : x \mapsto -3$$

\begin{center}
\psset{unit=0.6}
\begin{pspicture}(0,0)(8,8)
%\psaxes(4,4)(0,0)(8,8)
\psgrid[gridlabels=0,subgriddiv=1,griddots=10](0,0)(8,8)
\psline[linewidth=0.35mm]{->}(4,0)(4,8)
\psline[linewidth=0.35mm]{->}(0,4)(8,4)
\psdots(4,4)
\psdots(4,5)
\psdots(5,4)
\uput[dl](4,4){$O$}
\uput[dl](5,4){$I$}
\uput[dl](4,5){$J$}
\end{pspicture}
\end{center}


\item Déterminer l'expression de la fonction affine $f$ sachant que $f(-2)=1$ et $f(3)=6$.
\item Déterminer l'expression de la fonction linéaire $g$ sachant que $g(3)=20$.
\end{enumerate}
\hfill\\

\noindent\textbf{\underline{Exercice VI :}}
\label{affine-2}


\noindent On considère la figure ci-dessous :

\begin{center}
\psset{unit=0.7}
\begin{pspicture}(0,0)(11,8)
\psaxes[linewidth=2pt](5,2)(0,0)(11,8)
\psgrid[gridlabels=0,subgriddiv=1,griddots=10](0,0)(11,8)
\psline[linewidth=0.45mm]{->}(0,2)(11,2)
\psline[linewidth=0.45mm]{->}(5,0)(5,8)
\psline[linewidth=0.45mm,linecolor=purple](0,0)(8,8)
\psline[linewidth=0.45mm,linecolor=vert](3.666666,8)(6.333333,0)
\psline[linewidth=0.45mm,linecolor=blue](0,6)(11,6)
\psline[linewidth=0.45mm,linecolor=red](0,4.5)(9,0)
\uput[dr](8,8){$\mathcal{C}_{1}$}
\uput[dr](3,8){$\mathcal{C}_{2}$}
\uput[dl](11,6){$\mathcal{C}_{3}$}
\uput[dr](0,4){$\mathcal{C}_{4}$}
\uput[dl](5,2){O}
\end{pspicture}
\end{center}

Déterminer l'expression de chacune des fonctions affines $f_{1}$, $f_{2}$, $f_{3}$ et $f_{4}$ représentées ci-dessus.
\hfill\\



\noindent\textbf{\underline{Exercice VII :}}\\
\label{geometrie}

\medskip

\noindent $M$ est un point variable du segment $[CD]$ et les triangles $ADM$ et $BCM$ sont des triangles rectangles.

\noindent Le but de l'exercice est de  chercher la distance $CM$ afin que $MA=MB$.

\noindent On appelle $x$ la longueur $CM$.


\begin{enumerate}

\item A quel intervalle appartient $x$ ?

\item  Exprimer les longueurs $MA$ et $MB$ en fonction de $x$.

\item Montrer que résoudre le problème revient à résoudre l'équation $x^2+64=x^2-20x+136$.

\item Résoudre cette équation.

\item Conclure.

\end{enumerate}

\begin{center}
\psset{unit=0.6}
\begin{pspicture}(-2,-2)(11,8)
\psline(0,6)
\psline(10,0)
\psline(10,8)(10,0)
\psline(10,8)(2,0)
\psline(0,6)(2,0)
\psframe(0,0)(0.5,0.5)
\psframe(10,0)(9.5,0.5)
\uput[d](0,0){D}\uput[d](10,0){C}\uput[r](10,8){B}\uput[l](0,6){A}
\uput[d](2,0){M}
\psline{<->}(-0.2,0)(-0.2,6)
\psline{<->}(0,-0.85)(10,-0.85)
\psline{<->}(10.2,0)(10.2,8)
\rput{90}(-0.5,3){6 cm}
\rput{90}(10.5,4){8 cm}
\uput[d](5,-0.85){10 cm}
\end{pspicture}

\end{center}


\noindent\textbf{\underline{Exercice bonus :}}
\label{bonus}

\medskip

\noindent On considère la figure suivante :\\

\begin{minipage}{0.4\linewidth}


\begin{center}
\psset{unit=0.5}
\begin{pspicture}(-1,-1)(10,5)
\psline(0,0)(7,0)
\psline(7,0)(9,4)
\psline(2,4)(9,4)
\psline(0,0)(2,4)
\psline(0,0)(9,4)
\uput[dl](0,0){A}\uput[dr](7,0){B}\uput[ul](2,4){C}\uput[ur](9,4){D}
\psline{<->}(2,4.3)(9,4.3)
\psline{<->}(-0.3,0)(1.7,4)
%\psline{<->}(0,0.2)(9,4.2)
%\psline{<->}(10.2,0)(10.2,8)
\rput{30}(4.5,2.5){50}
\rput(5.5,4.7){$5x+4$}
\rput{60}(0.3,2.5){$6x-7$}
\end{pspicture}

\end{center}

\end{minipage}
\begin{minipage}{0.5\linewidth}
Pour quelle(s) valeur(s) de $x$ ce parallélogramme est-il un rectangle ?
\end{minipage}


\newpage

\hfill\\

\begin{tabular}{p{13cm}lr}
(en \textbf{caractères majuscules d'imprimerie}) &\hfill jeudi 11 février 2016\\
NOM :&\\
PRÉNOM : &\\
CLASSE : 2\up{nde} \no \dots&
\end{tabular}



$$\text{\Large{Annexe (\textbf{à rendre avec la copie})}}$$

\hfill\\

\begin{tikzpicture}[scale=0.8]
\draw (0,0) grid (20,20);

\draw(0,0)node[left]{0};
\draw(0,1)node[left]{0,05};
\draw(0,2)node[left]{0,10};
\draw(0,3)node[left]{0,15};
\draw(0,4)node[left]{0,20};
\draw(0,5)node[left]{0,25};
\draw(0,6)node[left]{0,30};
\draw(0,7)node[left]{0,35};
\draw(0,8)node[left]{0,40};
\draw(0,9)node[left]{0,45};
\draw(0,10)node[left]{0,50};
\draw(0,11)node[left]{0,55};
\draw(0,12)node[left]{0,60};
\draw(0,13)node[left]{0,65};
\draw(0,14)node[left]{0,70};
\draw(0,15)node[left]{0,75};
\draw(0,16)node[left]{0,80};
\draw(0,17)node[left]{0,85};
\draw(0,18)node[left]{0,90};
\draw(0,19)node[left]{0,95};
\draw(0,20)node[left]{1};

\draw(1,-0.35)node[below]{10};
\draw(2,-0.35)node[below]{20};
\draw(3,-0.35)node[below]{30};
\draw(4,-0.35)node[below]{40};
\draw(5,-0.35)node[below]{50};
\draw(6,-0.35)node[below]{60};
\draw(7,-0.35)node[below]{70};
\draw(8,-0.35)node[below]{80};
\draw(9,-0.35)node[below]{90};
\draw(10,-0.35)node[below]{100};
\draw(11,-0.35)node[below]{110};
\draw(12,-0.35)node[below]{120};
\draw(13,-0.35)node[below]{130};
\draw(14,-0.35)node[below]{140};
\draw(15,-0.35)node[below]{150};
\draw(16,-0.35)node[below]{160};
\draw(17,-0.35)node[below]{170};
\draw(18,-0.35)node[below]{180};
\draw(19,-0.35)node[below]{190};
\draw(20,-0.35)node[below]{200};

\draw[line width=0.5mm,->] (0,0)--(20,0);
\draw[line width=0.5mm,->] (0,0)--(0,20);
\draw (10,-1.75) node{Montants des chèques};
\draw (-2,10) node[rotate=90]{F.C.C.};
\end{tikzpicture}


%$$\includegraphics[scale=0.6]{annexe.eps}$$

\label{fin}
\end{document} 