\documentclass[12pt] {article} \usepackage[T1]{fontenc} 
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-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

 \begin{center}\section*{\textcolor{red}{2\up{nde} : contrôle sur fonctions du second degré et homographiques, probabilités (1 heure)}}\end{center}  




\subsection{\textcolor{blue}{(4 points)}}
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) =2x^2-2x-1$ et $\mathcal{P}$ sa représentation graphique dans un repère orthonormal $\left(O~;~\overrightarrow{i}~;~\overrightarrow{j}\right)$.
\begin{enumerate}
   \item Quelles sont les images par $f$ des réels $-1$ ; $-0,5$ et $0$ ? \\
   Peut-on en déduire que $f$ est décroissante sur $\mathbb{R}$ ? (justifier).
   \item 
   Donner la forme canonique de $f(x)$. %$f(x) =2\left(x-\dfrac12\right)^2-\dfrac32$.

\item 
   
\begin{enumerate}
\item En déduire les coordonnées de l'extremum de $\mathcal{P}$.

\item Donner le tableau de variation de $f$. (Justifier !)
\end{enumerate}

\item Résoudre l'équation $f(x)=0$.
\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{(3 points)}}
Soit $f:x\mapsto \dfrac{ax+b}{x+d}$ une fonction homographique, dont le tableau de variation est donné ci-dessous.%définie sur $]-\infty~;~2[\cup]2~;~+\infty[$.
\begin{center}
\begin{variations}
x&\mI&&&2&&&\pI\\
\hline
\m{f(x)}&&\d&&\bb&&\d&\\
\hline
\end{variations}
\end{center}
On sait de plus que sa courbe représentative, $\mathscr{C}_f$, coupe l'axe des ordonnées au point A d'ordonnée $-\dfrac{5}{2}$ et passe par le point B de coordonnées $(1~;~-7)$.


\begin{enumerate}
\item En regardant le tableau de variation, que peut-on dire du nombre 2 pour cette fonction ?

\noindent En déduire la valeur de $d$.

\item Déterminer  alors les valeurs de $a$ et $b$.

\end{enumerate}



%
%\begin{multicols}{2}
%\setlength{\columnseprule}{1pt}
%\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{\textcolor{blue}{(1 point)}}
Lors d'une expérience aléatoire, deux événements $A$ et $B$ sont tels que :

$p(A)=0,3$, $p(B)=0,4$ et $p(A\cup B)=0,6$.

En déduire $p(A\cap B)$.



\subsection{\textcolor{blue}{(4 points)}}
Dans une assemblée de 250 personnes, on ne remarque que les hommes portant la cravate ou ayant les yeux bleus.

Il y a 120 hommes qui portent la cravate, 85 hommes qui ont les yeux bleus, dont 50 portent la cravate.

On discute avec une personne choisie au hasard dans cette assemblée.

\begin{enumerate}
\item  Quelle est la probabilité que ce soit un homme portant la cravate. 

\item Quelle est la probabilité que ce soit un homme aux yeux bleus et portant la cravate. 

\item Quelle est la probabilité que ce soit un homme aux yeux bleus ou portant la cravate. 

\item Quelle est la probabilité de discuter avec une personne qui n’est ni un homme aux yeux bleus, ni un homme portant la cravate ?

\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{(4 points)}}



\textbf{\textcolor{red}{Première situation}} :

Une urne contient 2 billes vertes et 1 bille rouge (V1, V2 et R)

\noindent On choisit une bille au hasard, on la remet dans l’urne, puis on choisit de nouveau une bille dans l’urne.

\begin{enumerate}[a)]
\item Quelle est la probabilité d’obtenir \og{}2 billes vertes\fg{} ?

\item Quelle est la probabilité d’obtenir \og{}2 billes rouges\fg{} ?

\end{enumerate}
\vspace{1cm}
\textbf{\textcolor{red}{Deuxième situation}} :

 Une urne contient 2 billes vertes et 1 bille rouge (V1, V2 et R1).
 
\noindent On choisit une bille au hasard, on ne la remet pas dans l’urne, puis on choisit de nouveau une bille dans l’urne.

\begin{enumerate}[a)]
\item Quelle est la probabilité d’obtenir \og{}2 billes vertes\fg{} ?

\item Quelle est la probabilité d’obtenir \og{}2 billes rouges\fg{} ?

\end{enumerate}






%\end{multicols}

\subsection{\textcolor{blue}{(4 points)}}
 Voici les résultats d'un sondage effectué en 1999 auprès de \numprint{2000} personnes, à propos d'Internet : 
   \begin{itemize}
      \item 40\% des personnes interrogées déclarent être intéressées par Internet, 
      \item 35\% des personnes interrogées ont moins de 30 ans et, parmi celles-ci, quatre cinquièmes déclarent être intéressées par Internet, 
      \item 30\% des personnes interrogées ont plus de 60 ans et, parmi celles-ci, 85\% ne sont pas intéressées par Internet. 
   \end{itemize} 
   \begin{enumerate}
      \item Reproduire et compléter le tableau suivant : 
      
\bigskip

         \begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}
            \hline 
            & intéressées par Internet & non intéressées par internet & \textbf{total} \\
            \hline 
            moins de 30 ans & & & \\
            \hline 
            de 30 à 60 ans & & & \\
            \hline 
            plus de 60 ans & & & \\
            \hline 
            \textbf{total} & & & \textbf{2\,000} \\
            \hline 
 \hline
\end{tabularx} 
\bigskip

      \item On choisit au hasard une personne parmi les \numprint{2000} interrogées. On suppose que toutes les personnes ont la même probabilité d'être choisies. On considère les événements :
      \begin{itemize} 
         \item[A :]\og{\sl la personne interrogée a moins de 30 ans}\fg,
         \item[B :] \og{\sl la personne interrogée est intéressée par Internet}\fg. 
      \end{itemize}
      \begin{enumerate}
         \item Calculer les probabilités $P(A)$ et $P(B)$. 
         \item Définir par une phrase l'événement $\overline{A}$ puis calculer $P(\overline{A})$. 
         \item Définir par une phrase l'événement $A\cap B$ puis calculer $P(A\cap B)$. En déduire $P(A\cup B)$. 
      \end{enumerate}
      \item On sait maintenant que la personne interrogée est intéressée par Internet.\\               
          Quelle est la probabilité qu'elle ait plus de 30 ans ? 
   \end{enumerate} 




%\subsection{}%http://mathematiques.daval.free.fr/spip.php?article157
%
%   On lance deux dés cubiques équilibrés numérotés de 1 à 6. 
%   
%   On note alors le plus grand des deux numéros sortis.
%   \begin{enumerate}
%      \item Utiliser un tableau à double entrée pour modéliser la situation.
%      \item Quel est l'univers $\Omega$ de toutes les issues possibles ?
%      \item Établir la loi de probabilité de l'expérience.
%   \end{enumerate}
%\subsection{}  %http://www.tetraedre.net/niveau3/activites/3_act11.pdf
%
%Un sachet contient 2 bonbons à la menthe, 3 à l’orange  et 5 au citron.
%
%\noindent On tire, au hasard, un bonbon du sachet et  on définit les événements suivants :  
%\begin{enumerate}[$\bullet$]
%\item A : \og{}le bonbon est à la menthe\fg{}  ; 
%
%\item B :  \og{}le bonbon est à l’orange\fg{} ;
%
%\item C :  \og{}le bonbon est au citron\fg{}.  
%\end{enumerate}
%
%\begin{enumerate}
%\item Détermine les probabilités   $p(A)$ puis  $p(B)$ et  $p(C)$.
%
%\item Représente l’expérience par un arbre pondéré ( on fait figurer sur chaque branche la  probabilité associée). 
%\end{enumerate}
%
%
%\subsection{}%http://www.tetraedre.net/niveau3/activites/3_act11.pdf
%Un jeu de 32 cartes à jouer est constitué de quatre  \og{}couleurs\fg{} : trèfle, pique, carreau et cœur.
%
%Dans chaque couleur, on trouve  trois \og{}figures\fg{} : valet, dame, roi.
%
%\noindent On tire une carte au hasard dans ce jeu de 32  cartes.
%
%Quelle est la probabilité des événements suivants :  
%
%\begin{enumerate}
%\item \og{}La carte tirée est une dame\fg{}.
%
%\item \og{}La carte tirée est une figure rouge\fg{}.
%
%\item \og{}La carte tirée n’est pas une figure rouge\fg{}.
%
%\item \og{}La carte tirée est un as ou un cœur\fg{}.
%\end{enumerate}
%


%\subsection{}%http://www.tetraedre.net/niveau3/activites/3_act11.pdf
%Un sac opaque contient des boules ; un nombre de points est indiqué sur chacune  d’elles.
%
%Ce sac contient quatre boules numérotées \ding{192}, trois boules numérotées \ding{193}, deux boules numérotées \ding{194} et une boule numérotée \ding{195}.
%
% On tire au hasard une boule et on lit le nombre de points.
% 
%
%\begin{enumerate}
%
%\item  Quelle est la probabilité de l’événement A : \og{}obtenir exactement 1 point\fg{} ?
%
%\item  Quelle est la probabilité de l’événement B : \og{}obtenir au moins 2 points\fg{} ?
%\end{enumerate}
%


%\subsection{}%http://www.tetraedre.net/niveau3/activites/3_act11.pdf
%Un écran LCD de forme rectangulaire a pour dimensions  $60~\centi\meter\times 45~\centi\meter$.
%
%La partie principale de l’écran est elle-même représentée par un rectangle de dimensions  $48~\centi\meter\times36 ~\centi\meter$.
%
%Sachant qu’un pixel de l’écran est défectueux, détermine  la probabilité de l’événement A défini par : \og{}le pixel  défectueux se trouve sur la partie principale de l’écran \fg{}.
%
%\begin{pspicture}(-1,-1)(7,5)
%\psframe[fillstyle=hlines,hatchangle=45.0,hatchsep=0.2](0,0)(6,4.5)
%\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=white](0.6,0.3)(5.4,4.2)
%\end{pspicture}
%
%\subsection{}
%Dans chacune de situations  décrites ci-dessous, énoncer l’événement contraire de l’événement donné.  
%\begin{enumerate}
%\item Dans une classe, on choisit  deux élèves au hasard. 
%
%A est l(événement : \og{}Les deux élèves sont des filles\fg{}.
%
%\item Dans un groupe de suisses  et de belges, on discute  avec une personne. 
%
%B est l'événement : \og{}La personne est un homme  belge\fg{}.
%
%\item À une loterie, Elise achète  3 billets.  
%
%D  est l'événement : \og{}L’un  des billets au  moins est gagnant\fg{},
%
%E  est l'événement : \og{}Deux billets au  maximum sont gagnants\fg{}.
%\end{enumerate}

%\subsection{}
%Lors d’un jet de deux dés cubiques, on s’intéresse aux événements suivants : 
%
%A : \og{}La somme obtenue est au moins égale à 5\fg{}.
%
%B : \og{}La somme obtenue est au plus égale à 5\fg{}.
%
%C : \og{}La somme obtenue est strictement inférieure à 3\fg{}.
%
%\begin{enumerate}
%\item A et B sont-ils contraires ? 
%
%\item B et C sont-ils incompatibles (c'est-à-dire d'intersection vide) ?
%
%\item A   et C sont-ils incompatibles ? 
%
%\end{enumerate}
 %\newpage
%
%
%
%\begin{center}
%\section{Solutions}
%\end{center}
%
%\subsection{}
%Solution : 1. Calcul de probabilités. Comme le bonbon est tiré au hasard, alors chaque bonbon a la même chance d’être tiré.  Le nombre d’issues possibles est de 10 ( 2 + 3 + 5 = 10).  L’événement A est constitué de deux issue favorables, on a donc :    p (A) =  10 2 .  L’événement B est constitué de trois issue favorables, on a donc :    p (B) =  10 3 .  L’événement C est constitué de cinq issue favorables, on a donc :    p (C) =  10 5 .  2. Arbre des possibles                                            A                       0,2                       0,3                  B                    0,5                                             C        On vérifie que 0,2 + 0,3 + 0,5 = 1    
%
%\subsection{}
%1. « La carte tirée est une dame . » Dans un jeu de 32 cartes, il y a 4 dames, soit 4 possibilités, ou cas favorables, pour l’événement A.  Le nombre de cas possibles est égal au nombre total de cartes, soit 32.  D’où   p (A) =  8 1 32 4 = Conclusion : La probabilité de tirer une dame est  8 1 2. « La carte tirée est une figure rouge . » Dans un jeu de 32 cartes, il y a 3 figures carreaux et  3 figures cœurs, 6 possibilités, ou cas favorables, pour  l’événement B.  D’où   p (B) =  16 3 32 6 = Conclusion : La probabilité de tirer une figure rougeest  16 3 3. « La carte tirée n’est pas une figure rouge . » L’événement C est l’événement contraire de B.  Donc   p (C) = 1 –  p (B)             p (C) = 1 –   16 13 16 3 16 16 3 = − = Conclusion : La probabilité de ne pas tirer une figure rouge est  16 13 
%Dans un jeu de 32 cartes, il y a 3 as ( le carreau, le trèfle, le pic ), 1 as cœur et 7 cœurs .   Il y a donc 11 chances sur 32 de tirer un as ou un coeur soit une probabilité de   32 11 .  
%
%\subsection{}



\label{fin}
\end{document}  