\documentclass[11pt] {article} \usepackage[T1]{fontenc} 
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\textwidth 19cm \textheight 26cm \hoffset 
-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{EXERCICE \Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{empty}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Exercices de probabilité}}\end{center}


\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}


\subsection{}
Un sac contient des jetons carrés ou ronds, de couleur verte, bleue ou noire.

\noindent Il y a 10 jetons verts dont 4 carrés ; 10 des 12 jetons bleus sont carrés ; 14 des 18 jetons noirs sont ronds.
\begin{enumerate}
\item Compléter le tableau suivant :
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{2}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
\backslashbox{Forme}{Couleur}&Vert&Bleu&Noir&Total\\
\hline
Carré&&&&\\
\hline
Rond&&&&\\
\hline
Total&&&&\\
\hline
\end{tabularx}

\end{center}
\item On tire un jeton au hasard : on suppose qu'il y a équiprobabilité.\\
Soit A l'événement : \og{} le jeton est vert \fg{}, B l'événement : \og{} le jeton est carré \fg{} et C l'événement : \og{} le jeton est carré et n'est pas bleu \fg{}.
\begin{enumerate}
\item Calculer les probabilités respectives de A, de B et de C.

\item Exprimer par une phrase l'événement $\overline{\text{A}}$.

\item Calculer les probabilités des événements contraires de A, de B et de C.

\item Exprimer par une phrase les événements $A\cap B$ et $A\cup B$ et calculer leurs probabilités.

\end{enumerate}
\end{enumerate}

\subsection{}
Mathieu va à la cantine. Il a le choix entre :

\begin{itemize}
\item trois entrées (salade, avocat, charcuterie)

\item deux plats (poisson, viande)

\item deux desserts (fruit, yaourt)
\end{itemize}

\begin{enumerate}
\item Représenter la situation à l'aide d'un arbre.

\item Combien de menus peut-il confectionner ? (on admet qu'il prend une entrée, un plat et un dessert)

\item Mathieu choisit  au hasard chacune des composantes de son menu.

\noindent Quelle est a probabilité que celui-ci comporte une salade et un fruit ?

\end{enumerate}

\columnbreak
\subsection{}
Une fourmi se déplace sur les arêtes dun tétraèdre ABCD. Depuis un sommet quelconque, elle se déplace vers un sommet voisin.\begin{center}
\psset{xunit=0.7cm,yunit=0.7cm,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(2.,0.)(8.,7)
\psline(3.44,3.)(5.56,1.2)
\psline(5.56,1.2)(7.2,2.92)
\psline[linestyle=dashed](3.44,3.)(7.2,2.92)
\psline(3.44,3.)(5.54,5.9)
\psline(5.56,1.2)(5.54,5.9)
\psline(7.2,2.92)(5.54,5.9)
\begin{scriptsize}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](3.44,3.)
\uput[l](3.44,3){\blue{$A$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](5.56,1.2)
\uput[d](5.56,1.2){\blue{$B$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](7.2,2.92)
\rput[bl](7.28,3.04){\blue{$C$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](5.54,5.9)
\rput[bl](5.62,6.02){\blue{$D$}}
\end{scriptsize}
\end{pspicture*}
\end{center}

La fourmi se trouve en A ; elle parcourt \textbf{deux} arêtes.

\begin{enumerate}
\item Quelle est la probabilité que la fourmi se trouve :

\begin{enumerate}
\item en A ?

\item en B ?

\item En C ?

\item En D ?
\end{enumerate}

\item Quelle relation doivent vérifier ces quatre nombres ?

Vérifier que c'est bien le cas.
\end{enumerate}
\subsection{}
Pour organiser le passage à l’oral de leur épreuve de langue, les élèves tirent au hasard trois cartons, un dans chacune des trois urnes.

La première urne contient les lettres \og{}A\fg{}, \og{}B\fg{} et \og{}C\fg{}.

La seconde urne contient les nombres \og{}25\fg{} et \og{}27\fg{}.

La dernière urne contient les mots \og{}Matin\fg{} et \og{}Après-midi\fg{}.

Obtenir le tirage (A~;~25~;~Matin) signifie que l’élève passera son oral le 25 juin au matin avec le sujet A.

\begin{enumerate}
\item Décrire la situation à l’aide d’un arbre.

\item Combien y a-t-il de tirages possibles ?

\item Après le tirage on choisit un élève au hasard.
\begin{enumerate}
\item Quelle est la probabilité que l’élève choisi passe le matin 

\item Quelle est la probabilité que l’élève choisi passe le 27 juin 

\item Quelle est la probabilité que l’élève choisi soit interrogé sur le sujet C ?

\item Quelle est la probabilité que l’élève choisi passe l’après-midi avec le sujet B ?
\end{enumerate}

\end{enumerate}

\end{multicols}


%\newpage
%
%\setcounter{subsection}{0}
%
%
%\begin{center}
%\section*{\textcolor{red}{Correction}}
%\end{center}
%
%\subsection{}
%Un sac contient des jetons carrés ou ronds, de couleur verte, bleue ou noire.
%
%\noindent Il y a 10 jetons verts dont 4 carrés ; 10 des 12 jetons bleus sont carrés ; 14 des 18 jetons noirs sont ronds.
%\begin{enumerate}
%\item %Compléter le tableau suivant :
%On complète le tableau : en gras, les données calculées à partir des données de l'énoncé. 
%\begin{center}
%\renewcommand{\arraystretch}{2}
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
%\backslashbox{Forme}{Couleur}&Vert&Bleu&Noir&Total\\
%\hline
%Carré&4&10&\textbf{\textcolor{red}{4}}&\textbf{\textcolor{red}{18}}\\
%\hline
%Rond&\textbf{\textcolor{red}{6}}&\textbf{\textcolor{red}{2}}&14&\textbf{\textcolor{red}{22}}\\
%\hline
%Total&10&12&18&\textbf{\textcolor{red}{40}}\\
%\hline
%\end{tabularx}
%
%\end{center}
%\marginpar{\textcolor{blue}{2 pt}}
%
%\item On tire un jeton au hasard : on suppose qu'il y a équiprobabilité.\\
%Soit A l'événement : \og{} le jeton est vert \fg{}, B l'événement : \og{} le jeton est carré \fg{} et C l'événement : \og{} le jeton est carré et n'est pas bleu \fg{}.
%\begin{enumerate}
%\item %Calculer les probabilités respectives de A, de B et de C.
%\begin{enumerate}[$\bullet$]
%\item $p(A)=\dfrac{10}{40}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{1}{4}}}$
%
%\item $p(B)=\dfrac{18}{40}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{9}{20}}}$
%
%\item $p(C)=\dfrac{8}{40}=\dfrac{1}{5}$ (car il y a quatre jetons carrés verts et quatre jetons carrés noirs).
%\end{enumerate}\marginpar{\textcolor{blue}{0,75 pt}}
%
%\item %Exprimer par une phrase l'événement $\overline{\text{A}}$.
%$\overline{\text{A}}$ est l'événement \og{}\textbf{\textcolor{red}{le jeton n'est pas vert}}\fg{} ou \og{}\textbf{\textcolor{red}{le jeton est noir ou bleu}}\fg{}.\marginpar{\textcolor{blue}{0,5 pt}}
%
%\item %Calculer les probabilités des événements contraires de A, de B et de C.
%\begin{enumerate}[$\bullet$]
%\item $p\left(\overline{A}\right)=1-p(A)=\dfrac{3}{4}$
%
%\item $p\left(\overline{B}\right)=1-p(B)=\dfrac{11}{20}$
%
%\item $p\left(\overline{C}\right)=\dfrac{4}{5}$
%\end{enumerate}\marginpar{\textcolor{blue}{0,75 pt}}
%
%\item %Exprimer par une phrase les événements $A\cap B$ et $A\cup B$ et calculer leurs probabilités.
%\begin{enumerate}[$\bullet$]
%\item $\text{A}\cap \text{B}$ est l'événement \og{}le jeton est vert et carré\fg{}.
%
%\noindent $p(\text{A}\cap \text{B})=\dfrac{4}{40}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{1}{10}}}$.
%
%\item $\text{A}\cup \text{B}$ est l'événement \og{}le jeton est vert ou carré\fg{}.
%
%\noindent $p(\text{A}\cup \text{B})=p(\text{A})+p(\text{B})-p(\text{A}\cap \text{B})=\dfrac{1}{4}+\dfrac{9}{20}-\dfrac{1}{10}=\dfrac{5}{20}+\dfrac{9}{20}-\dfrac{2}{20}=\dfrac{12}{20}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{3}{5}}}$.\marginpar{\textcolor{blue}{1 pt}}
%\end{enumerate}
%
%\end{enumerate}
%\end{enumerate}
%
%
%\newpage
%
%
%\subsection{}
%%Mathieu va à la cantine. Il a le choix entre :
%
%%\begin{itemize}
%%\item trois entrées (salade, avocat, charcuterie)
%%
%%\item deux plats (poisson, viande)
%%
%%\item deux desserts (fruit, yaourt)
%%\end{itemize}
%
%\begin{enumerate}
%\item %Représenter la situation à l'aide d'un arbre.
%Représentons la  situation à l'aide d'un arbre :
%
%\begin{center}
%%\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}
%\psset{nodesep=0mm,levelsep=55mm,treesep=2mm}
%\pstree[treemode=R]{\Tdot}
%{
%\pstree
%{\Tdot~[tnpos=a]{salade}\taput{ $$}}
%{
%\pstree
%{\Tdot~[tnpos=a]{poisson}\taput{ $$}}
%{
%\Tdot~[tnpos=r]{fruit}\taput{ $$}
%\Tdot~[tnpos=r]{yaourt}\tbput{ $$}
%}
%\pstree
%{\Tdot~[tnpos=a]{viande}\tbput{ $$}}
%{
%\Tdot~[tnpos=r]{fruit}\taput{ $$}
%\Tdot~[tnpos=r]{yaourt}\tbput{ $$}
%}
%}
%\pstree
%{\Tdot~[tnpos=a]{avocat}\taput{ $$}}
%{
%\pstree
%{\Tdot~[tnpos=a]{poisson}\taput{ $$}}
%{
%\Tdot~[tnpos=r]{fruit}\taput{ $$}
%\Tdot~[tnpos=r]{yaourt}\tbput{ $$}
%}
%\pstree
%{\Tdot~[tnpos=a]{viande}\tbput{ $$}}
%{
%\Tdot~[tnpos=r]{fruit}\taput{ $$}
%\Tdot~[tnpos=r]{yaourt}\tbput{ $$}
%}
%}
%\pstree
%{\Tdot~[tnpos=a]{charcuterie}\tbput{ $$}}
%{
%\pstree
%{\Tdot~[tnpos=a]{poisson}\taput{ $$}}
%{
%\Tdot~[tnpos=r]{fruit}\taput{ $$}
%\Tdot~[tnpos=r]{yaourt}\tbput{ $$}
%}
%\pstree
%{\Tdot~[tnpos=a]{viande}\tbput{ $$}}
%{
%\Tdot~[tnpos=r]{fruit}\taput{ $$}
%\Tdot~[tnpos=r]{yaourt}\tbput{ $$}
%}
%}
%}
%
%
%\end{center}\marginpar{\textcolor{blue}{1 pt}}
%
%\item %Combien de menus peut-il confectionner ? (on admet qu'il prend une entrée, un plat et un dessert)
%Il peut confectionner douze menus différents puisqu'il y a douze branches dans l'arbre.\marginpar{\textcolor{blue}{0,5 pt}}
%
%\item Mathieu choisit  au hasard chacune des composantes de son menu.
%
%\noindent %Quelle est a probabilité que celui-ci comporte une salade et un fruit ?
%La probabilité que celui-ci comporte une salade et un fruit  est $\dfrac{2}{12}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{1}{6}}}$.\marginpar{\textcolor{blue}{0,5 pt}}
%
%\end{enumerate}
%
%
%
%\begin{multicols}{2}
%\setlength{\columnseprule}{1pt}
%\setlength{\columnsep}{2 cm}
%
%\subsection{}
%Une fourmi se déplace sur les arêtes dun tétraèdre ABCD. Depuis un sommet quelconque, elle se déplace vers un sommet voisin.
%\psset{xunit=0.7cm,yunit=0.7cm}
%\begin{center}
%\psset{algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
%\begin{pspicture*}(2.,0.)(8.,7)
%\psline(3.44,3.)(5.56,1.2)
%\psline(5.56,1.2)(7.2,2.92)
%\psline[linestyle=dashed](3.44,3.)(7.2,2.92)
%\psline(3.44,3.)(5.54,5.9)
%\psline(5.56,1.2)(5.54,5.9)
%\psline(7.2,2.92)(5.54,5.9)
%\begin{scriptsize}
%\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](3.44,3.)
%\uput[l](3.44,3){\blue{$A$}}
%\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](5.56,1.2)
%\uput[d](5.56,1.2){\blue{$B$}}
%\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](7.2,2.92)
%\rput[bl](7.28,3.04){\blue{$C$}}
%\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](5.54,5.9)
%\rput[bl](5.62,6.02){\blue{$D$}}
%\end{scriptsize}
%\end{pspicture*}
%\end{center}
%
%La fourmi se trouve en A ; elle parcourt \textbf{deux} arêtes.
%
%Traçons un arbre illustrant la situation
%\begin{center}
%%\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}
%\psset{nodesep=0mm,levelsep=35mm,treesep=4mm}
%\pstree[treemode=R]{\Tcircle{A}}
%{
%\pstree
%{\Tdot~[tnpos=a]{$B$}\taput{ $$}}
%{
%\Tdot~[tnpos=r]{$A$}\taput{ $$}
%\Tdot~[tnpos=r]{$C$}\taput{ $$}
%\Tdot~[tnpos=r]{$D$}\tbput{ $$}
%}
%\pstree
%{\Tdot~[tnpos=a]{$C$}\taput{ $$}}
%{
%\Tdot~[tnpos=r]{$A$}\taput{ $$}
%\Tdot~[tnpos=r]{$B$}\taput{ $$}
%\Tdot~[tnpos=r]{$D$}\tbput{ $$}
%}
%\pstree
%{\Tdot~[tnpos=a]{$D$}\tbput{ $$}}
%{
%\Tdot~[tnpos=r]{$A$}\taput{ $$}
%\Tdot~[tnpos=r]{$B$}\taput{ $$}
%\Tdot~[tnpos=r]{$C$}\tbput{ $$}
%}
%}
%
%
%\end{center}
%L'univers est constitué des neuf trajets $\left(3^2\right)$ possibles.
%
%$\Omega=\{ABA-ABC-ABD-ACA-ACB-ACD-ADA-ADB-ADC\}$
%
%\begin{enumerate}
%\item %Quelle est la probabilité que la fourmi se trouve :
%
%\begin{enumerate}
%\item %en A ?
%La probabilité que la fourmi se trouve en A au bout du trajet de deux arêtes est $p(\text{A})=\dfrac{3}{9}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{1}{3}}}$
%
%\item %en B ?
%La probabilité que la fourmi se trouve en B au bout du trajet de deux arêtes est $p(\text{B})=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{2}{9}}}$
%
%
%\item % En C ?
%La probabilité que la fourmi se trouve en C au bout du trajet de deux arêtes est $p(\text{C})=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{2}{9}}}$
%
%
%\item %En D ?
%La probabilité que la fourmi se trouve en D au bout du trajet de deux arêtes est $p(\text{D})=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{2}{9}}}$
%
%\end{enumerate}
%
%\item %Quelle relation doit vérifier ces quatre nombres ?
%
%%Vérifier que c'est bien le cas.
%La somme de ces quatre nombres doit être égale à 1.
%
%$\dfrac{3}{9}+\dfrac{2}{9}+\dfrac{2}{9}+\dfrac{2}{9}=\dfrac{9}{9}=1$
%\end{enumerate}
%
%
%\newpage
%
%
%\subsection{}
%%Pour organiser le passage à l’oral de leur épreuve de langue, les élèves tirent au hasard trois cartons, un dans chacune des trois urnes.
%%
%%La première urne contient les lettres \og{}A\fg{}, \og{}B\fg{} et \og{}C\fg{}.
%%
%%La seconde urne contient les nombres \og{}25\fg{} et \og{}27\fg{}.
%%
%%La dernière urne contient les mots \og{}M\fg{} et \og{}AM\fg{}.
%%
%%Obtenir le tirage (A~;~25~;~M) signifie que l’élève passera son oral le 25 juin au matin avec le sujet A.
%
%\begin{enumerate}
%\item %Décrire la situation à l’aide d’un arbre.
%Arbre :
%\begin{center}
%%\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}
%\psset{nodesep=0mm,levelsep=25mm,treesep=3mm}
%\pstree[treemode=R]{\Tdot}
%{
%\pstree
%{\Tdot~[tnpos=a]{$A$}\taput{ $$}}
%{
%\pstree
%{\Tdot~[tnpos=a]{$25$}\taput{ $$}}
%{
%\Tdot~[tnpos=r]{M}\taput{ $$}
%\Tdot~[tnpos=r]{AM}\tbput{ $$}
%}
%\pstree
%{\Tdot~[tnpos=a]{$27$}\tbput{ $$}}
%{
%\Tdot~[tnpos=r]{$M$}\taput{ $$}
%\Tdot~[tnpos=r]{$AM$}\tbput{ $$}
%}
%}
%\pstree
%{\Tdot~[tnpos=a]{$B$}\taput{ $$}}
%{
%\pstree
%{\Tdot~[tnpos=a]{$25$}\taput{ $$}}
%{
%\Tdot~[tnpos=r]{$M$}\taput{ $$}
%\Tdot~[tnpos=r]{$AM$}\tbput{ $$}
%}
%\pstree
%{\Tdot~[tnpos=a]{$27$}\tbput{ $$}}
%{
%\Tdot~[tnpos=r]{$M$}\taput{ $$}
%\Tdot~[tnpos=r]{$AM$}\tbput{ $$}
%}
%}
%\pstree
%{\Tdot~[tnpos=a]{$C$}\tbput{ $$}}
%{
%\pstree
%{\Tdot~[tnpos=a]{$25$}\taput{ $$}}
%{
%\Tdot~[tnpos=r]{$M$}\taput{ $$}
%\Tdot~[tnpos=r]{$AM$}\tbput{ $$}
%}
%\pstree
%{\Tdot~[tnpos=a]{$27$}\tbput{ $$}}
%{
%\Tdot~[tnpos=r]{$M$}\taput{ $$}
%\Tdot~[tnpos=r]{$AM$}\tbput{ $$}
%}
%}
%}
%\end{center}
%
%\item %Combien y a-t-il de tirages possibles ?
%On voit que l'arbre qu'il y a \textbf{12} tirages possibles ($3\times 2\times 2=12$).
%
%\item Après le tirage on choisit un élève au hasard.
%\begin{enumerate}
%\item %Quelle est la probabilité que l’élève choisi passe le matin 
%6 branches aboutissent à M, donc la probabilité que l'élève choisi passes le matin est $\dfrac{6}{12}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{1}{2}}}$ (moitié des chemins possibles)
%
%\item %Quelle est la probabilité que l’élève choisi passe le 27 juin 
%La probabilité que l’élève choisi passe le 27 juin est $\dfrac{6}{12}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{1}{2}}}$. (6 tirages possibles sur les 12)
%
%\item %Quelle est la probabilité que l’élève choisi soit interrogé sur le sujet C ?
%La probabilité que l’élève choisi soit interrogé sur le sujet C est $\dfrac{4}{12}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{1}{3}}}$. (4 chemins issus de C)
%
%\item %Quelle est la probabilité que l’élève choisi passe l’après-midi avec le sujet B ?
%La probabilité que l’élève choisi passe l’après-midi avec le sujet B est $\dfrac{2}{12}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{1}{6}}}$. (2 chemins possibles, correspondant aux deux dates possibles)
%\end{enumerate}
%\end{enumerate}
%
%\end{multicols}

\label{fin}
\end{document}  