\documentclass[12pt] {article} \usepackage[T1]{fontenc} 
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{amsmath,amssymb,graphicx,multicol,mathrsfs, fancyhdr,enumerate,fourier,eurosym,alterqcm,enumerate,tabularx,variations,numprint}
\usepackage[dvips]{color}
\usepackage{bclogo}
\usepackage{pst-plot,pst-tree,pstricks,pst-node,pstricks-add,pst-math,pst-xkey,pst-eucl}
\usepackage[francais]{babel} 
\everymath{\displaystyle}
%\usepackage[colorlinks=true,pdfstartview=FitV,linkcolor=blue,citecolor=blue,urlcolor=blue]{hyperref}
\textwidth 19cm \textheight 26cm \hoffset 
-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{empty}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{2\up{nde} AP (condition nécéssaire et suffisante)}}\end{center}

\bigskip

( Inspiré de Math 2e BELIN ; Langage, Logique, Démonstrations Marcel Condamine)

\bigskip

La phrase : \op{} Si $x > 2$ alors $x^2 > 1$ \fg{} est vraie.

\noindent En effet, si $x > 2$ alors $x^2 > 4$ donc $x^2 > 1$.

Il est \textbf{ \textcolor{red}{suffisant}} que $x$ soit supérieur à 2 pour que $x^2$ soit supérieur à 1. Mais il n’est \textbf{\textcolor{red}{pas nécessaire}} que x soit supérieur à 2 pour que $x^2$ soit  supérieur à 1.

\noindent En effet, $1,2 < 2$ et $1,44 > 1$ ($1,2^2 = 1,44)$.

\noindent \og{} $x > 2$ \fg{} est une\textbf{ \textcolor{red}{condition suffisante}} pour que \op{} $x^2 > 1$ \fg{} mais ce n’est \textbf{\textcolor{red}{pas une condition nécessaire}}.



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection*{\textcolor{blue}{Exercice 1 :}}

\begin{enumerate}[a) ]
\item Indiquer si les conditions ci-dessous sont suffisantes pour que $x^2 > 4$ :
      


\begin{enumerate}[a)]
\item $x > 10$ 

\item $x > 1,4$ 

\item $x < -2$

\item $x < 0$

\item $x > 2$

\item $x < -1$

\item $x < -2\text{ ou }x > 2$

\item $x > 1$

\item $x < -3\text{ ou }x > 3.$
\end{enumerate}


\item Parmi les conditions suffisantes, indiquer celle(s) qui est (ou sont) nécessaire(s).
\end{enumerate}


\columnbreak
\subsection*{\textcolor{blue}{Exercice 2 :}}

Même exercice pour que ABCD soit un parallélogramme :

\begin{enumerate}[a) ]
\item ABCD est un rectangle 

\item AB = CD

\item [AC] et [BD] se coupent en leur milieu et $(AC) \perp  (BD)$

\item [AC] et [BD] se coupent en leur milieu

\item $AC = BD$

\item ABCD est un carré

\end{enumerate}



\subsection*{\textcolor{blue}{Exercice 3 :}}
Retrouver l’erreur de raisonnement dans la rédaction ci-dessous :
Enoncé : \op{} Résoudre dans  $\mathbb{R}$ l’équation $x^2 + x + 1 = 0$. \fg{}

\textbf{\textcolor{blue}{Solution}} :

\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item \noindent  \op{} $x^2 + x + 1 = 0$

\item  On a $x^2 + (x + 1) = 0$ et $x(x + 1) + 1 = 0$

\item  D’où $x + 1 = - x^2$ et $x\left(-x^2\right) + 1 = 0$

\item  Soit $x^3 = 1$

\item  Soit $x = 1$.

\item  Donc $\boxed{\textcolor{red}{3 = 0}}$. \fg{}
\end{enumerate}



\end{multicols}


\label{fin}
\end{document}  