<html><head><meta name="color-scheme" content="light dark"></head><body><pre style="word-wrap: break-word; white-space: pre-wrap;">\documentclass[12pt] {article} \usepackage[T1]{fontenc} 
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-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{Exercice \Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{empty}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}


\begin{center}\section*{\textcolor{red}{2\up{nde} : correction du TD \no  16 (fonctions racine carrÃ©e et cube)}}\end{center}




\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{}
On donne ci-dessous la courbe reprÃ©sentative de la fonction racine carrÃ©e :
\begin{center}
\psset{xunit=1,yunit=1,comma=true,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-1,-2)(7,3)
\psaxes[linewidth=2pt,Dx=1,Dy=1]{-&gt;}(0,0)(-1,-2)(7,3)
\psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0](-1,-2)(7,3)
\psplot[linewidth=2pt,linecolor=red,plotpoints=400]{0}{7}{sqrt(x)}
\psplot[linecolor=blue,linewidth=2pt]{0}{3}{x}
\uput[u](4,2){$\mathscr{C}$}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Sur ce graphique, tracer la droite reprÃ©sentative de la fonction $g$ dÃ©finie par $g(x)=x$.

\item %En dÃ©duire s'il existe des nombres Ã©gaux Ã&nbsp; leur racine carrÃ©e.
Les deux courbes se coupent en deux points, d'abscisses 0 et 1.\\
Effectivement : $0=\sqrt{0}$ et $1=\sqrt{1}$.
\end{enumerate}


\subsection{}
%Comparer, sans calculatrice, les nombres $\sqrt{2,34}$ et $\sqrt{2,35}$ (expliquer).
$0&lt;2,34&lt;2,35$ ; sur $[0~;~+\infty[$, la fonction racine carrÃ©e est crossante donc conserve l'ordre.\\
On en dÃ©duit $\boxed{\textcolor{red}{\sqrt{2,34}&lt;\sqrt{2,35}}}$

\subsection{}
DÃ©terminer les images par la fonction cube des nombres suivants :

%\NumTabs{5}
%\begin{inparaenum}[a)]
%\item 4
%\tab\item -2
%\tab\item $\dfrac{5}{2}$
%\tab\item $\sqrt{2}$
%\tab\item $10^5$
%
%\end{inparaenum}

Si $f$ est fonction cube $ : x\mapsto x^2$;
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $f(4)=4^3=64$

\item $f(-2)=(-2)^3=-8$

\item $f\left(\dfrac{5}{2}\right)=\dfrac{5^3}{2^3}=\dfrac{125}{8}$

\item $f\left(\sqrt{2}\right)=\sqrt{2}^2=2\sqrt{2}$

\item $f\left(10^5\right)=\left(10^5\right)^3=10^{15}$.
\end{enumerate}

\subsection{}
RÃ©soudre Ã&nbsp; lâ€™aide de la reprÃ©sentation graphique de la fonction cube les inÃ©quations suivantes :
\psset{xunit=1,yunit=0.125,comma=true,algebraic=true}
\begin{center}
\begin{pspicture}(-3,-27)(3,30)
\psaxes[linewidth=2pt,Dx=1,Dy=5]{-&gt;}(0,0)(-3,-27)(3,30)[$x$,-90][$y$,0]
\psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0](-3,-27)(3,30)
\psplot[linewidth=2pt,linecolor=red]{-3}{3}{x^3}
\multido{\n=-25+5}{11}{\psline[linewidth=1.3pt](-3,\n)(3,\n)}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}[1)]
\item $x^3\leqslant 27$ ; $\mathscr{S}=]-~;~3]$

\item $x^3\geqslant -125$ ; $\mathscr{S}=\left[-5~;~+\infty\right[$
\end{enumerate}


\subsection{}
On lÃ¢che un corps en chute libre Ã&nbsp; une hauteur $h$ du sol. En supposant quâ€™il nâ€™est soumis Ã&nbsp; aucun frottement,
la vitesse $v$ (en m/s) au moment de lâ€™impact avec le sol est donnÃ©e par $v = \sqrt{2gh}$ , oÃ¹ $h$ est en mÃ¨tre.\\
On donne $g = 9,81\si{\meter\per\square\second}$
\begin{enumerate}
\item %DÃ©terminer la vitesse en \si{\meter\per\second}, puis en \si{\kilo\meter\per\hour}, au moment de lâ€™impact avec le sol lorsque h = 50\si{\meter}.
Si $h=50$, $v=\sqrt{2\times 9,81\times 50}=\sqrt{100g}\approx \sqrt{100\times 9,81}=\sqrt{981}\approx\boxed{\textcolor{red}{ 31,32}}$.m/s.\\
$v=\dfrac{31,02}{1000}\times \numprint{3600}\approx \boxed{\textcolor{red}{112,8}}$ km/h

\item %De quelle hauteur h faut-il lÃ¢cher lâ€™objet en chute libre pour que sa vitesse soit supÃ©rieure Ã&nbsp; 180 km/h au moment de lâ€™impact avec le sol ?
180 km/h = $\dfrac{\numprint{180000}}{\numprint{3600}}=50$ m/s.\\
On doit rÃ©soudre l'inÃ©quation : $v\geqslant 50$ donc $\sqrt{2gh}\geqslant 50$.\\
Comme la fonction carrÃ© est croissante sur l'ensemble des nombres positifs, cela Ã©quivaut Ã&nbsp; :\\
$\sqrt{2gh}^2\geqslant 50^2$ donc $2gh\geqslant \numprint{2500}$ sd'oÃ¹ $h\geqslant \dfrac{\numprint{2500}}{2g}=\dfrac{\sqrt{\numprint{2500}}}{2\times 9,81}=\dfrac{\sqrt{\numprint{2500}}}{19,62}\approx \boxed{\textcolor{red}{127,4}}~\si{\meter}$.\\
Pour dÃ©passer 180 km/h en chute libre, il faut lÃ¢cher l'objet d'une hauteur supÃ©rieure Ã&nbsp; 127,4 m environ.

\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{Oscillation dâ€™un pendule}}


On appelle pendule simple un objet suspendu Ã&nbsp; une ficelle. On l'Ã©carte de la verticale et on regarde les oscillations.\\
 La pÃ©riode $T$ (en seconde) d'un pendule simple, c'est-Ã&nbsp;-dire la durÃ©e dâ€™une oscillation de celui-ci, peut Ãªtre exprimÃ©e en fonction de sa longueur $\ell$ (en mÃ¨tre) par : $T = 2\pi\sqrt{\dfrac{\ell}{g}}$.\\
On donne $g = 9,81\si{\meter\per\square\second}$
\begin{enumerate}
\item %Calculer la pÃ©riode $T$ dâ€™un pendule de longueur 5 m, en arrondissant Ã&nbsp; 0,1 s.
Pour $\ell=5$ m, on trouve : $T=2\pi\sqrt{\dfrac{5}{9,81}}\approx \boxed{\textcolor{red}{4,5}}$ s

\item %Calculer la longueur $\ell$ dâ€™un pendule dont la pÃ©riode vaut 10 s. Arrondir Ã&nbsp; 1 cm.
$T=10$ Ã©quivaut Ã&nbsp; $2\pi\sqrt{\dfrac{\ell}{g}}=10$ donc $\sqrt{\dfrac{\ell}{g}}=\dfrac{10}{2\pi}=\dfrac{5}{\pi}$.\\
Alors : $\dfrac{\ell}{g}=\left(\dfrac{5}{\pi}\right)^2=\dfrac{25}{\pi^2}$ d'oÃ¹ $\ell=\dfrac{25}{\pi^2}\times g=\dfrac{25}{\pi^2}\times 9,81\\
\approx \boxed{\textcolor{red}{24,85}}$

\item 
\begin{enumerate}
\item %Deux pendules A et B ont pour longueurs respectives 5 m et 10 m. Comparer leurs pÃ©riodes.
$T_A=2\pi\sqrt{\dfrac{5}{g}}$ et $T_B=2\pi\sqrt{\dfrac{2\times 5}{g}}$.\\
On a : $T_B=2\pi\dfrac{\sqrt{2}\times \sqrt{5}}{\sqrt{g}}=\sqrt{2}\times 2\pi\sqrt{\dfrac{5}{g}}=\sqrt{2}T_A$.\\
Le pendule B a une longueur double de celle de A ; sa pÃ©riode est $\sqrt{2}$ fois celle du pendule A.

\item %Dâ€™une faÃ§on gÃ©nÃ©rale, un pendule A a une longueur infÃ©rieure Ã&nbsp; celle dâ€™un pendule B.\\
%Quel pendule a la pÃ©riode la plus grande ?
Soient $\ell_A$ et $\ell_B$ les longueurs des deux pendules.\\


On suppose que $\ell_A\leqslant \ell_B$.\\
On a successivement :\\
$\ell_A\leqslant \ell_B$\\
$\dfrac{\ell_A}{g}\leqslant \dfrac{\ell_B}{g}$ (en divisant les deux membres par un nombre positif)\\
$\sqrt{\dfrac{\ell_A}{g}}\leqslant \sqrt{\dfrac{\ell_B}{g}}$ en appliquant la fonction racine carrÃ©e, croissante.\\
$2\pi\sqrt{\dfrac{\ell_A}{g}}\leqslant 2\pi\sqrt{\dfrac{\ell_B}{g}}$ en multipliant par $2\pi$.\\
Donc $\boxed{\textcolor{red}{T_A\leqslant T_B}}$.\\
\textbf{\textcolor{blue}{Conclusion :} } plus le pendule est court, plus la pÃ©riode est petite.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textcolor{blue}{Remarque}} : Au PanthÃ©on se tourne le pendule de Foucault : une masse assez lourde est suspendue au plafond par un fil de 67 m, qui correspond Ã&nbsp; une pÃ©riode (durÃ©e d'un aller-retour) de 16,42 s.\\
Les lois de la physique montrent que le plan vertical dans lequel oscille le pendule est fixe par rapport Ã&nbsp; un \og{}rÃ©fÃ©rentiel galilÃ©en\fg{}, en gros l'espacÃ©, alors que la Terre tourne sur elle-mÃªme. On voit donc que le plan d'oscillation tourne par rapport Ã&nbsp; un disque tracÃ© au sol et cette rotation complÃ¨te dure Ã&nbsp; Paris \\
31 h 47 min (elle dÃ©pend de la latitude) et vaudrait 24 h aux pÃ´les.\\
La rotation ne se fait pas dans le mÃªme sens dans l'hÃ©misphÃ¨re Nord et dans l'hÃ©misphÃ¨re Sud ; elle est nulle Ã&nbsp; l'Ã©quateur.
\end{enumerate}


\end{multicols}


\label{fin}
\end{document}  </pre></body></html>