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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Correction du devoir \no 1}}\end{center}



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{}
On considère les points R(1~;~-1), S(-2~;~0), T(0~;~6) et U(3~;~5).


\begin{enumerate}
\item Voir figure
\begin{center}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-3,-2)(3.5,7)
\pspolygon[fillcolor=cyan!30,fillstyle=solid,opacity=0.1](1,-1)(-2,0)(0,6)(3,5)
\psline(1,-1)(-2,0)
\psline(-2,0)(0,6)
\psline(0,6)(3,5)
\psline(3,5)(1,-1)
\begin{scriptsize}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](1,-1)
\rput[bl](1.09,-0.87){\blue{$R$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](-2,0)
\rput[bl](-1.91,0.14){\blue{$S$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](0,6)
\rput[bl](0.09,6.13){\blue{$T$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](3,5)
\rput[bl](3.09,5.12){\blue{$U$}}
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=2,Dy=2,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-3,-2)(3.5,7)
\psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0,gridwidth=0.3pt](-3,-2)(3.5,7)
\uput[dl](0,0){O}
\end{scriptsize}
\end{pspicture*}
\end{center}

\item RSTU semble être un rectangle.

\item Soient M le milieu de la diagonale [RT] et M' le milieu de [SU].\\
$x_M=\dfrac{x_R+x_T}{2}=\dfrac{1}{2}$ et $y_M=\dfrac{y_R+y_T}{2}=\dfrac{5}{2}$ donc $\boxed{\textcolor{red}{M\left(\dfrac{1}{2}~;~\dfrac{5}{2}\right)}}$.\\
$x_M'=\dfrac{x_S+x_U}{2}=\dfrac{1}{2}$ et $y_M'=\dfrac{y_S+y_U}{2}=\dfrac{5}{2}$ donc $\boxed{\textcolor{red}{M'\left(\dfrac{1}{2}~;~\dfrac{5}{2}\right)}}$.\\
M et M' onrt les même coordonnées donc M = M'.\\
RSTU est donc un \textbf{\textcolor{red}{parallélogramme}}.

\item Étudions les longueurs de ces diagonales.\\
$RT=\sqrt{\left(x_T-x_R\right)^2+\left(y_T-y_R\right)^2}\\
=\sqrt{((0-1)^2+(6-(-1)))^2}=\sqrt{1+49}=\boxed{\textcolor{red}{\sqrt{50}}}$
\\
$SU=\sqrt{\left(x_U-x_S\right)^2+\left(y_U-y_S\right)^2}\\
=\sqrt{((3-(-2))^2+(5-0))^2}=\sqrt{25+25}=\boxed{\textcolor{red}{\sqrt{50}}}$.\\
Le parallélogramme a deux diagonales de même longueur : c'est un \textbf{\textcolor{red}{rectangle}}.
\end{enumerate}

\columnbreak
\subsection{}
Figure :
\begin{center}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-3.,-3.)(7.,4.)
\pspolygon[fillcolor=cyan,fillstyle=solid,opacity=0.1](-2.2,1.2)(-1.2,3.6)(6.,0.6)
\pspolygon[fillcolor=yellow!60,fillstyle=solid,opacity=0.1](-2.2,1.2)(-1.2,3.6)(6.,0.6)(5.,-1.8)
\psline(-2.2,1.2)(-1.2,3.6)
\psline(-1.2,3.6)(6.,0.6)
\psline(6.,0.6)(-2.2,1.2)
\psline(-2.2,1.2)(-1.2,3.6)
\psline(-1.2,3.6)(6.,0.6)
\psline(6.,0.6)(5.,-1.8)
\psline(5.,-1.8)(-2.2,1.2)
\begin{scriptsize}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](-2.2,1.2)
\rput[bl](-2.12,1.32){\blue{$T$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](-1.2,3.6)
\rput[bl](-1.12,3.72){\blue{$A$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](6.,0.6)
\rput[bl](6.08,0.72){\blue{$C$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=darkgray](1.9,0.9)
\rput[bl](1.98,1.02){\darkgray{$K$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](5.,-1.8)
\rput[bl](5.08,-1.68){\blue{$E$}}
\end{scriptsize}
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1.,Dy=1.,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-3.,-3.)(7.,4.)
\psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0,gridwidth=0.3pt](-3.,-3.)(7.,4.)
\uput[dl](0,0){O}

\uput[dl](0,0){O}
\end{pspicture*}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $TA=\sqrt{\left(x_A-x_T\right)^2+\left(y_A-y_T\right)^2}\\
=\sqrt{\left(-1,2-(-2,2)\right)^2+(3,6-1,2)^2}=\sqrt{1^2+2,4^2}\\
=\boxed{\textcolor{red}{\sqrt{6,76}=2,6}}$.

\item $AC=\sqrt{(6-(-1,2))^2+(0,6-3,6)^2}=\sqrt{7,2^2+(-3)^2}=\boxed{\textcolor{red}{\sqrt{60,84}=7,8}}$.

\item $TC=\sqrt{(6-(-2,2))^2+(0,6-1,2)^2}=\sqrt{8,2^2+(-0,6)^2}=\boxed{\textcolor{red}{\sqrt{67,6}}}$.
\end{enumerate}
$TA^2+AC^2=6,76+60,84=67,6$ ; $TC^2=67,6$ donc $TC^2=TA^2+AC^2$.\\
D'après la \textbf{\textcolor{red}{réciproque du théorème de Pythagore}}, $TAC$ est \textbf{\textcolor{red}{rectangle}} en A.

\item $K$ est le milieu de $[TC]$.\\
$x_K=\dfrac{x_T+x_C}{2}=\dfrac{-2,2+6}{2}=\dfrac{3,8}{2}=1,9$ ; \\
$y_K=\dfrac{y_T+y_C}{2}=\dfrac{1,2+0,6}{2}=\dfrac{1,8}{2}=0,9$  donc $K$ a pour coordonnées $\boxed{\textcolor{red}{K(1,9~;~0,9)}}$.

\item Soit E le point tel que  $ECAT$ soit un parallélogramme ; c'est alors un parallélogramme qui a un angle droit, donc c'est un \textbf{\textcolor{red}{rectangle}}.\\
Il suffit donc de chercher le quatrième sommet d'un parallélogramme.\\
Puisque K est le milieu de la diagonale $[TC]$ de ce parallélogramme, $K$ doit aussi être le milieu de l'autre diagonale $[AE]$.\\
On doit donc avoir :\\
$x_K=1,9=\dfrac{x_A+x_E}{2}$ donc $1,9=\dfrac{-1,2+x_E}{2}$ d'où $-1,2+x_E=2\times 1,9=3,8$ et donc $x_E=3,8-(-1,2)=3,8+1,2=5$\\
$y_K=0,9=\dfrac{y_A+y_E}{2}$ donc $0,9=\dfrac{3,6+y_E}{2}$ d'où $3,6+y_E=2\times 0,9=1,8$ et donc $y_E=1,8-3,6=-1,8$.\\
E doit avoir pour coordonnées $\boxed{\textcolor{red}{E(5~;~-1,8)}}$ pour que $ECAT$ soit un rectangle.
\end{enumerate}

\subsection{}
Dans le repère orthonormé (0~;~I~;~J) d'unité 1 cm, on considère les points suivants : A(6~;~0), B(0~;~4), C(1~;~-1).

\begin{enumerate}
\item Figure :
\begin{center}

\psset{xunit=1cm,yunit=1cm,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-1,-2.)(7,6)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1.,Dy=1.,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-1,-2.)(7.,6.)
\pspolygon[fillcolor=cyan!40,fillstyle=solid,opacity=0.1](6.,0.)(0.,4.)(1.,-1.)
\psline(6.,0.)(0.,4.)
\psline(0.,4.)(1.,-1.)
\psline(1.,-1.)(6.,0.)
\psline(0.,0.)(1.,-1.)
\psplot{0.5}{5.}{(-1.--1.*x)/1.}
\psellipse(3.,2.)(3.60555127546,3.60555127546)
\begin{scriptsize}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](6.,0.)
\rput[bl](6.08,0.12){\blue{$A$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](0.,4.)
\rput[bl](0.08,4.12){\blue{$B$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](1.,-1.)
\rput[bl](1.08,-0.88){\blue{$C$}}
\rput[bl](3.16,2.28){{$c$}}
\rput[bl](0.18,1.44){{$a$}}
\rput[bl](3.56,-0.8){{$b$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=darkgray](3.,2.)
\rput[bl](3.08,2.12){\darkgray{$K$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](0.,0.)
\rput[bl](0.08,0.12){\blue{$O$}}
\rput[bl](0.26,-0.72){$d$}
\rput[bl](-4.2,-4.9){$e$}
\rput[bl](1.18,4.68){$f$}
\end{scriptsize}
\psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0,gridwidth=0.3pt](-1,-2.)(7.,6.)
\end{pspicture*}
\end{center}

\item \begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $AB=\sqrt{\left(x_B-x_A\right)^2+\left(y_B-y_A\right)^2}\\
=\sqrt{(-6)^2+4^2}=\sqrt{36+16}=\boxed{\textcolor{red}{\sqrt{52}=2\sqrt{13}}}$.

\item $BC\sqrt{\left(x_C-x_B\right)^2+\left(y_C-y_B\right)^2}\\
=\sqrt{1^2+(-5)^2}=\sqrt{1+25}=\boxed{\textcolor{red}{\sqrt{26}}}$

\item $AC\sqrt{\left(x_C-x_A\right)^2+\left(y_C-y_A\right)^2}\\
=\sqrt{(-5)^2+(-1)^2}=\sqrt{25+1}=\boxed{\textcolor{red}{\sqrt{26}}}$
\end{enumerate}
$BC^2=52$ et $AB^2+AC^2=26+26=52$.\\
Par conséquent : $BC^2=AB^2+AC^2$. D'après la \textbf{\textcolor{red}{réciproque du théorème de Pythagore}}, le triangle $ABC$ est \textbf{\textcolor{red}{rectangle}} en A.

\item $K$ est le milieu de $[AB]$ donc de l'hypoténuse.
\begin{enumerate}
\item Les coordonnées de $K$ sont : $x_K=\dfrac{x_A+x_B}{2}=3$ et $y_K=\dfrac{y_A+y_B}{2}=2$ donc $\boxed{\textcolor{red}{K(3~;~2)}}$.

\item Puisque $K$ est le milieu de l'hypoténuse [AB] du triangle $ABC$, $K$ est le \textbf{\textcolor{red}{centre du cercle circonscrit}} à ce triangle.\\
Le triangle $OAB$ est lui aussi rectangle en O (puisque le repère est orthonormé) donc $O$ appartient aussi au cercle de diamètre $[AB]$, qui a pour centre $K$.\\
$KC$ et $KO$ sont tous deux des rayons de ce cercle circonscrit au triangle $ABC$, donc $\boxed{\textcolor{red}{KO=KC}}$.\\
$K$ est équidistant des points $O$ et $C$ donc $K$ appartient  à la médiatrice de $[OC]$.\\
On peut aussi calculer directement les longueurs $KO et KC$ et montrer que l'on a la même valeur qui est $\sqrt{13}$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\columnbreak
\subsection{}
\begin{enumerate}[a)]
\item Le minimum de la fonction est 1, donc toutes les valeurs de $f(x) $ sont positives. L'ensemble des valeurs de $x$ pour lesquelles $f(x)\geqslant 0$ est donc $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=[-4~;~4}}]$.

\item $f(-4)=3$, donc sur l'intervalle $[-4~;~2]$, la seule valeur pour laquelle $f(x)\geqslant 3$ est $x=-4$.\\
Sur $[2~;~4]$, on sait que $f(3)=3$ et que $f$ est croissante, donc pour $x\geqslant 3$, $f(x)\geqslant 3$.\\
L'ensemble des nombres $x$ tels que $f(x)\geqslant 3$ est donc $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\{-4\}\cup[3~;~4]}}$.

\item L'ensemble des nombres $x$ tels que $f(x)< 3$ est $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=]-4~;~3[}}$.

\item Comme 1 est le minimum de $f$, atteint en $x=2$, l'ensemble des nombres $x$ tels que $f(x)< 1$ est $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\emptyset}}$.
\end{enumerate}

\subsection{}
On obtient comme figure :
\begin{center}
\begin{pspicture*}(-1,-1)(9,6)
\pspolygon[fillstyle=solid,opacity=0.1](0,0)(8,0)(3,5)
\psline(0,0)(8,0)
\psline(8,0)(3,5)
\psline(3,5)(0,0)
\psline(3,5)(4,0)
\begin{scriptsize}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](0,0)
\uput[ul](0,0){\blue{$A(0,0)$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](8,0)
\rput[bl](8.08,0.12){\blue{$B(b~;~0)$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](3,5)
\rput[bl](3.08,5.12){\blue{$C\left(x_C~;~y_C\right)$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=darkgray](4,0)
\rput[bl](4.08,0.12){\darkgray{$I$}}
\rput[bl](3.98,-0.52){{$c$}}
\rput[bl](5.72,2.74){{$a$}}
\rput[bl](1.22,2.68){{$b$}}
\rput[bl](3.18,2.44){$L$}
\psline{<->}(0,-0.3)(8,-0.3)
\uput[l](0,1){J}
\psline{->}(0,-1)(0,7)
\uput[u](1,0){I}
\psline{->}(-1,0)(9,0)
\uput[d](8.5,0){$x$}
\uput[l](0,5.8){$y$}
\psline(1,-0.2)(1,0.2)
\psline(-0.2,1)(0.2,1)
\end{scriptsize}
\end{pspicture*}

\end{center}

\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Puisque A est l'origine du repère, on a : $\boxed{\textcolor{red}{A(0~;~0)}}$

\item Puisque B est à une distance $c$ de $A$ avec une abscisse positive, les coordonnées de B sont $\boxed{\textcolor{red}{B(c~;~0)}}$
\end{enumerate}

\item $I$ est le milieu de $[AB]$, donc $x_I=\dfrac{x_A+x_B}{2}=\dfrac{c}{2}$ et $y_I=0$ puisque $I$ appartient à l'axe des abscisses.$\boxed{\textcolor{red}{I\left(\dfrac{c}{2}~;~0\right)}}$.

\item $L^2=CI^2=\left(x_I-x_C\right)^2+\left(y_C-y_I\right)^2=\left(\dfrac{c}{2}-x_C\right)^2+y_C^2\\
=\dfrac{c^2}{4}-2\times \dfrac{c}{2}\times x_C+x_C^2+y_C^2=\boxed{\textcolor{red}{x_C^2+y_C^2-cx_C+\dfrac{c^2}{4}}}$
\item De même :\\
$a^2=BC^2=\left(x_C-x_B\right)^2+\left(y_C-y_B\right)^2=\left(x_C-c\right)^2+\left(y_C-0\right)^2\\
=x_C^2-2cx_C+c^2+y_C^2=\boxed{\textcolor{red}{x_C^2+x_C^2-2cx_C+c^2}}$.\\
$b^2=AC^2=\boxed{\textcolor{red}{x_C^2+y_C^2}}$

\item Alors : $\dfrac{1}{4}\left(2a^2+2b^2-c^2\right)=\dfrac{a^2}{2}+\dfrac{b^2}{2}-\dfrac{c^2}{4}\\
=\dfrac{x_C^2}{2}+\dfrac{y_C^2}{2}-cx_C+\dfrac{c^2}{2}+\dfrac{x_C^2}{2}+\dfrac{y_C^2}{2}-\dfrac{c^2}{4}=x_C^2+y_C^2-cx_C+\dfrac{c^2}{'}\\
=L^2$.\\
Par conséquent : $\boxed{\textcolor{red}{L^2=\dfrac{1}{4}\left(2a^2+2b^2-c^2\right)}}$.\\
Ainsi peut-on calculer la longueur d'une médiane d'un triangle en fonction des longueurs des trois côtés.


\end{enumerate}



\end{multicols}


\label{fin}
\end{document}  