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\everymath{\displaystyle}
\textwidth 19cm \textheight 24cm \hoffset 
-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{red}{\Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{fancy}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}
\title{\textbf{\textcolor{red}{Vecteurs et translations}}}
\date{}
\author{}

\begin{document}

\maketitle

\textcolor{blue}{\tableofcontents}

\subsection{\textcolor{red}{Translations}}
On considère un pentagone dont les cinq sommets sont A, B, C, D, E.\\
On le déplace en le faisant glisser de façon à ce qu'il garde la même orientation.\\
Le sommet A vient en A', B vient en B' et C vient en C', etc.
\begin{center}
\psset{unit=0.7,algebraic=true,dotstyle=*,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(1,-1)(12,8)
\pspolygon[linestyle=none,fillstyle=solid,fillcolor=cyan!30,opacity=0.1](1.54,0.96)(1.48,3.26)(3.66,5.64)(5.38,3.18)(5.36,1.06)
\pspolygon[linestyle=none,fillstyle=solid,fillcolor=cyan!30,opacity=0.1](7.22,2.36)(7.16,4.66)(9.34,7.04)(11.06,4.58)(11.04,2.46)
\psline(1.54,0.96)(1.48,3.26)
\psline(1.48,3.26)(3.66,5.64)
\psline(3.66,5.64)(5.38,3.18)
\psline(5.38,3.18)(5.36,1.06)
\psline(5.36,1.06)(1.54,0.96)
\psline(7.22,2.36)(7.16,4.66)
\psline(7.16,4.66)(9.34,7.04)
\psline(9.34,7.04)(11.06,4.58)
\psline(11.06,4.58)(11.04,2.46)
\psline(11.04,2.46)(7.22,2.36)
\psdots[linecolor=blue](1.54,0.96)
\rput[bl](1.62,1.08){\blue{$A$}}
\psdots[linecolor=blue](1.48,3.26)
\uput[l](1.56,3.38){\blue{$B$}}
\psdots[linecolor=blue](3.66,5.64)
\rput[bl](3.74,5.76){\blue{$C$}}
\psdots[linecolor=blue](5.38,3.18)
\rput[bl](5.46,3.3){\blue{$D$}}
\psdots[linecolor=blue](5.36,1.06)
\rput[bl](5.44,1.18){\blue{$E$}}
\psdots[linecolor=darkgray](7.22,2.36)
\rput[l](7.3,2.48){\darkgray{$A'$}}
\psdots[linecolor=darkgray](7.16,4.66)
\uput[l](7.24,4.78){\darkgray{$B'$}}
\psdots[linecolor=darkgray](9.34,7.04)
\rput[bl](9.42,7.16){\darkgray{$C'$}}
\psdots[linecolor=darkgray](11.06,4.58)
\rput[bl](11.14,4.7){\darkgray{$D'$}}
\psdots[linecolor=darkgray](11.04,2.46)
\rput[bl](11.12,2.58){\darkgray{$E'$}}
\psline[linestyle=dashed,linecolor=red]{->}(1.54,0.96)(7.22,2.36)
\end{pspicture*}
\end{center}
On dit qu'on a effectué une \textbf{\textcolor{red}{translation}} du pentagone.\\
Faire subir une \textbf{\textcolor{red}{translation}} à un objet revient à le faire glisser en gardant la même orientation.

\subsection{\textcolor{red}{Vecteur d'une translation}}
\noindent \textbf{\textcolor{blue}{Remarque :}} Dire qu'on a fait glisser la figure ou qu'on lui a fait subir une translation est \textbf{insuffisant}. Il faut préciser davantage. Il faut dire vers où on a effectué la translation et de quelle longueur la figure s'est déplacée.
\begin{bclogo}[couleur = cyan!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}}
Puisque la figure reste inchangée et qu'elle garde la même orientation, il suffit de donner le déplacement d'un seul point de la figure.
Par exemple, il suffit de dire que A va en A' pour pouvoir construire le polygone A'B'C'D'E'.\\
On dit que l'on a effectué une translation de vecteur $\overrightarrow{AA'}$
\end{bclogo}

\bigskip

\textbf{\textcolor{blue}{Remarque : }} on aurait pu dire que B allait en en B' ou C en C'.\\
La figure a donc aussi subi une translation de vecteur $\overrightarrow{BB'}$ ou $\overrightarrow{CC'}$ etc.\\

\textbf{\textcolor{red}{Représentation}} : Si $A\neq A'$, le vecteur $\overrightarrow{AA'}$ se représente par une flèche d'origine A et d'extrémité A'.

\bigskip

\begin{bclogo}[couleur =cyan!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Vocabulaire}}
Deux droites ont la même \textbf{\textcolor{red}{direction}} lorsqu'elles sont parallèles.\\
Deux voitures qui roulent sur une même route rectiligne vont dans la même direction ; elles peuvent aller dans le même \textbf{\textcolor{red}{sens}} ou dans des \textbf{\textcolor{red}{sens}} contraires.\\
Un vecteur $\overrightarrow{AB}$ est caractérisé par sa \textbf{\textcolor{blue}{direction}}, son \textbf{\textcolor{blue}{sens}} et la \textbf{\textcolor{blue}{longueur}} AB.
\end{bclogo}

\bigskip

\begin{bclogo}[couleur = cyan!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}}
L'image d'un point M par une translation de vecteur $\overrightarrow{AB}$ est un point M' tel que :
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item les droites (AA') et (MM') ont la même \textbf{direction} (c'est à dire sont parallèles) ;

\item les demi droites [AA') et [MM') ont le même \textbf{sens} ;

\item les segments [AA'] et [MM'] ont la même longueur; AA' = MM'
\end{enumerate}
\end{bclogo}

\subsection{\textcolor{red}{Egalité de vecteurs}}
Deux vecteurs  sont égaux s'ils correspondent à la même translation.\\
D'après ce qu'on a vu auparavant, on en déduit la définition suivante ;

\bigskip

\begin{bclogo}[couleur = cyan!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}}
Deux vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$  sont égaux si :
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item les droites (AB) et (CD) sont parallèles ;

\item les demi-droites [AB) et [CD) ont le même sens :

\item les longueurs AB et CD sont égales.
\end{enumerate}
On écrit alors : $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}$  
\end{bclogo}

\bigskip

Soient deux vecteurs \textbf{égaux} $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$.\\
D'après ce qu'on a vu, les segments [AB] et [CD] sont alors parallèles et de même longueur : on en déduit que le quadrilatère ABDC est un parallélogramme (éventuellement aplati).\\

\noindent \textcolor{red}{Remarque} : sur la figure du I, on a : $\overrightarrow{AA'}=\overrightarrow{BB'}=\overrightarrow{CC'}=\overrightarrow{DD'}=\overrightarrow{EE'}$.\\
 
 \begin{bclogo}[couleur = yellow!50, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Propriété}}
Deux vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ sont égaux si, et seulement si, ABDC et un parallélogramme (éventuellement aplati).\\
Deux vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ sont égaux si, et seulement si, [AD] et [BC] ont le même milieu.
\end{bclogo}


\begin{center}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=*,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(0,2)(9,5)
\pspolygon[linestyle=none,fillstyle=solid,fillcolor=cyan!10,opacity=0.1](1.68,3.48)(5.76,4.36)(8.12,3.44)(4.04,2.56)
\psline{->}(1.68,3.48)(5.76,4.36)
\psline{->}(4.04,2.56)(8.12,3.44)
\psline(1.68,3.48)(8.12,3.44)
\psline(5.76,4.36)(4.04,2.56)
\psline(1.68,3.48)(5.76,4.36)
\psline(5.76,4.36)(8.12,3.44)
\psline(8.12,3.44)(4.04,2.56)
\psline(4.04,2.56)(1.68,3.48)
\psdots[linecolor=blue](1.68,3.48)
\rput[bl](1.76,3.6){\blue{$A$}}
\psdots[linecolor=blue](5.76,4.36)
\rput[bl](5.84,4.48){\blue{$B$}}
\psdots[linecolor=blue](4.04,2.56)
\rput[bl](4.12,2.68){\blue{$C$}}
\psdots[linecolor=darkgray](8.12,3.44)
\rput[bl](8.2,3.56){\darkgray{$D$}}
\end{pspicture*}
\end{center}  




\noindent \textbf{\textcolor{blue}{Remarque :}} si l'on ne veut pas préciser les extrémités du vecteur, on lui donne un nom avec une seule lettre, par exemple le vecteur $\overrightarrow{u}$.

\bigskip

\begin{bclogo}[couleur = yellow!50, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Propriétés}}
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AC}$ si, et seulement si B = C.

\item K est le milieu du segment [AB] si, et seulement si, $\overrightarrow{AK}=\overrightarrow{KB}$
\end{enumerate}
\end{bclogo}

\bigskip
\textbf{\textcolor{red}{Exercice :}}\\
Soient ABCD et ABEF deux parallélogrammes.
\begin{enumerate}

\item Faire une figure.

\item Que peut-on dire des vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $DC$ ? Y a-t-il un autre vecteur égal au vecteur $\overrightarrow{AB}$ ?

\item Conclure.
\end{enumerate}




\subsection{ \textcolor{red}{Somme de deux vecteurs}}

\begin{center}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=*,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-1.5,-3)(7,4)
\psline{->}(-0.94,3.36)(5.14,1.84)
\psline{->}(5.14,1.84)(6.36,-2.36)
\psline{->}(-0.94,3.36)(6.36,-2.36)
\psdots[linecolor=blue](-0.94,3.36)
\rput[bl](-0.86,3.48){\blue{$A$}}
\psdots[linecolor=blue](5.14,1.84)
\rput[bl](5.22,1.96){\blue{$B$}}
\psdots[linecolor=blue](6.36,-2.36)
\rput[bl](6.44,-2.24){\blue{$C$}}
\rput[bl](2.1,2.68){$\overrightarrow{AB}$}
\rput[bl](5.8,-0.24){$\overrightarrow{BC}$}
\rput[bl](2.74,0.56){$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}$}
\end{pspicture*}
\end{center}
Le point B est l'image du point A par la translation de vecteur  $\overrightarrow{AB}$.\\
Le point C est l'image du point B par la translation de vecteur  $\overrightarrow{BC}$.\\
On applique \textbf{successivement} les deux translations.\\
Cela revient à n'en appliquer qu'une seule (on va directement de A en C, sans passer par B).
Cette translation qui permet de passer de A en C est la translation de vecteur $\overrightarrow{AC}$.\\
Ainsi définit-on une définition sur les vecteurs.

\bigskip

\begin{bclogo}[couleur = yellow!50, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Propriété (relation de Chasles)}}
Pour tous points A, B et C, on a : $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$
\end{bclogo}
 
\bigskip

\textbf{\textcolor{red}{Remarque}} : Le segment d'extrémités A et C est la diagonale du parallélogramme dont $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{BC}$ sont deux cÙtés consécutifs.
 
 \bigskip
 
\textbf{\textcolor{blue}{Somme de deux vecteurs de même origine }}:\\
On veut construire la somme de deux vecteurs de même origine $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$.
\begin{center}
\psset{unit=0.8,algebraic=true,dotstyle=*,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(0,0)(8,4)
\psline{->}(0.22,3.52)(5.42,3.38)
\psline{->}(0.22,3.52)(1.84,0.68)
\psline[linestyle=dashed]{->}(1.84,0.68)(7.04,0.54)
\psline[linestyle=dashed]{->}(5.42,3.38)(7.04,0.54)
\psline[linecolor=red]{->}(0.22,3.52)(7.04,0.54)
\psdots[linecolor=blue](0.22,3.52)
\rput[bl](0.3,3.64){\blue{$A$}}
\psdots[linecolor=blue](5.42,3.38)
\rput[bl](5.5,3.5){\blue{$B$}}
\psdots[linecolor=blue](1.84,0.68)
\rput[bl](1.92,0.8){\blue{$C$}}
\psdots[linecolor=darkgray](7.04,0.54)
\rput[bl](7.12,0.66){\darkgray{$D$}}
\end{pspicture*}
\end{center}

On introduit le point D tel que ABDC soit un parallélogramme ($\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}$). Ce point se construit au compas, puisque l'on doit avoir AB = CD et AC = BD.\\
Alors : $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AD}$ (\textbf{\textcolor{red}{relation de Chasles}}).

\bigskip

\textbf{\textcolor{red}{Remarque}}: En appliquant la relation de Chasles, on a :\\
$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{AA}$.\\
Une translation de vecteur $\overrightarrow{AB}$ suivie d'une translation de vecteur $\overrightarrow{AB}$ correspond à une translation de vecteur $\overrightarrow{AA}$, qui laisse tous les points immobiles ; on parle alors de translation de \textbf{vecteur nul}, noté $\overrightarrow{0}$.\\
Par conséquent : $\overrightarrow{AA}=\overrightarrow{BB}=\overrightarrow{CC}=\cdots=\overrightarrow{0}$.\\

\noindent Comme $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{0}$, par analogie avec l'addition sur les nombres, on pose $\boxed{\textcolor{red}{\overrightarrow{BA}=-\overrightarrow{BA}}}$.\\

\noindent \textbf{\textcolor{red}{Exemple :}} Soit ABDC un parallélogramme.\\
On a vu précédemment que $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AD}$.\\
On voudrait représenter également $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}$.\\
On a : $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AB}=\boxed{\textcolor{red}{\overrightarrow{CB}}}$ en appliquant la relation de Chasles. On remarque que l'on obtient l'autre diagonale du parallélogramme.

\begin{center}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=*,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(0,0)(8,4)
\psline{->}(0.22,3.52)(5.42,3.38)
\psline{->}(0.22,3.52)(1.84,0.68)
\psline[linestyle=dashed]{->}(1.84,0.68)(7.04,0.54)
\psline[linestyle=dashed]{->}(5.42,3.38)(7.04,0.54)
\psline[linecolor=red]{->}(0.22,3.52)(7.04,0.54)
\psdots[linecolor=blue](0.22,3.52)
\rput[bl](0.3,3.64){\blue{$A$}}
\psdots[linecolor=blue](5.42,3.38)
\rput[bl](5.5,3.5){\blue{$B$}}
\psdots[linecolor=blue](1.84,0.68)
\rput[bl](1.92,0.8){\blue{$C$}}
\psdots[linecolor=darkgray](7.04,0.54)
\rput[bl](7.12,0.66){\darkgray{$D$}}
\psline[linecolor=blue]{->}(1.84,0.68)(5.42,3.38)
\rput{-20}(2,3){$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$}
\rput{30}(4,2.7){$\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}$}

\end{pspicture*}

\end{center}

\subsection{\textcolor{red}{Coordonnées d'un vecteur}}

\begin{bclogo}[couleur = yellow!50, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}}
Soit $\left(O~;~\overrightarrow{i}~;~\overrightarrow{j}\right)$ un repère quelconque.\\
Soient deux points $A\left(x_{A}~;~y_{A}\right)$ et $B(x_{B}~;~y_{B})$.\\
Les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{AB}$ sont $x_{B}-x_{A}$ et $y_{B}-y_{A}$ et l'on écrit : $\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}x_{B}-x_{A}\\y_{B}-y_{A}\end{pmatrix}$
\end{bclogo}
 
\bigskip

\textcolor{blue}{Remarque :}\\
Les coordonnées d'un vecteur   servent à indiquer de combien d'unités on se déplace parallèlement à chaque axe.
\begin{center}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm}
\begin{pspicture*}(-1,-2)(8,6)
\psgrid[subgriddiv=0,gridlabels=0,gridcolor=lightgray](0,0)(-1,-2)(8,6)
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-1,-2)(8,6)
\psline{->}(2,5)(7,-1)
\begin{scriptsize}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](2,5)
\rput[bl](2.08,5.12){\blue{$A(2~;~5)$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](7,-1)
\rput[bl](7.08,-0.88){\blue{$B(7~;~-1)$}}
\psline[linestyle=dashed](2,5)(2,-1)
\psline[linestyle=dashed](2,-1)(7,-1)
\uput[r](5,3){$\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 5\\-6\end{pmatrix}$}
\psline[linecolor=red,linestyle=dashed]{<->}(1.8,5)(1.8,-1)
\uput[l](1.8,2){-6}
\psline[linecolor=red,linestyle=dashed]{<->}(2,-1.2)(7,-1.2)
\uput[d](5,-1.2){5}
\end{scriptsize}
\end{pspicture*}
\end{center} 

\noindent \textbf{\textcolor{blue}{Remarque :}} deux vecteurs sont égaux si, et seulement si, ils ont les mêmes coordonnées.\\

\bigskip

\noindent \textbf{\textcolor{red}{Application}} : Déterminer les coordonnées du quatrième point d'un parallélogramme :\\
Soient A(2~;~ 3) , B( 3~;~4) et C( 5~;~6). On cherche les coordonnées de D tel que ABCD soit un parallélogramme.\\
ABCD est un parallélogramme si les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{DC}$ sont égaux.\\
On note $D\left(x_{D}~;~y_{D}\right)$ les coordonnées de $D$.\\
$\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{DC}\begin{pmatrix}5-x_{D}\\6-y_{D}\end{pmatrix}$.
On obtient un système de deux équations :\\
$\left\{\begin{array}{l}5-x_{D}=1\\6-y_{D}=1\end{array}\right.$.\\
$x_{D} = 4$ et $y_{D} = 5.$ donc $D(4~;~5)$.




\subsection{\textcolor{red}{Longueur d'un segment}}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!50, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Propriété}}
Soit $\left(O~;~\overrightarrow{i}~;~\overrightarrow{j}\right)$ un repère \textbf{orthonormal}.
Soient A$\left(x_{A}~;~y_{A}\right)$ et B$\left(x_{B}~;~y_{B}\right)$. Alors : \\
$AB=\sqrt{\left(x_{B}-x_{A}\right)^{2}+\left(y_{B}-y_{A}\right)^{2}}$.
\end{bclogo}\label{fin}

\bigskip

\noindent \textbf{\textcolor{red}{Démonstration :}} elle est basée sur l'application du théorème de Pythagore.\\

\textbf{\textcolor{blue}{Remarque}} : $\left(x_{1}-x_{B}\right)$ et $\left(y_{B}-y_{A}\right)$ sont les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{AB}$.\\

\bigskip

\textbf{\textcolor{blue}{Exemple :}} $A(2~;~-5)$ et $B(-7~;~1)$.\\
$\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} -9\\6\end{pmatrix}$.\\
$AB=\sqrt{(-9)^{2}+6^{2}}=\sqrt{81+36}=\sqrt{117}$

\subsection{\textcolor{red}{Multiplication d'une vecteur par un réel}}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!50, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}}
Soit $\overrightarrow{u}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$ un vecteur et soit $k$ un réel.\\
Le vecteur de coordonnées $\begin{pmatrix}kx\\ky\end{pmatrix}$ est noté $k\overrightarrow{u}$.
\end{bclogo}

\bigskip

\textbf{\textcolor{blue}{Remarque :}}
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Les vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $k\overrightarrow{u}$ ont la même direction.

\item Si $k>0$, $k\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{u}$ ont le même sens. Si $k<0$, les deux vecteurs sont de sens contraire.

\item La longueur de $k\overrightarrow{u}$ est $k$ fois celle de $\overrightarrow{u}$ si $k>0$, $-k$ fois celle de $\overrightarrow{u}$ si $k<0$.
\end{enumerate}

Exemple : 
\begin{center}
\newrgbcolor{xdxdff}{0.490196078431 0.490196078431 1.}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-3.,-1.)(10.,4.)
\psline{->}(0.,0.)(6.,0.)
\psline{->}(0.,1.)(9.,1.)
\psline{->}(0.,2.)(-3.,2.)
\begin{scriptsize}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=darkgray](0.,0.)
\rput[bl](0.08,0.12){\darkgray{$A$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=xdxdff](6.,0.)
\rput[bl](6.08,0.12){\xdxdff{$B$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=xdxdff](0.,1.)
\rput[bl](0.08,1.12){\xdxdff{$C$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=xdxdff](0.,2.)
\rput[bl](0.08,2.12){\xdxdff{$D$}}
\rput[bl](3.,0.08){$\overrightarrow{u}$}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=darkgray](9.,1.)
\rput[bl](9.08,1.12){\darkgray{$E$}}
\rput[bl](4.5,1.08){$\dfrac{3}{2}\overrightarrow{u}$}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=darkgray](-3.,2.)
\rput[bl](-2.92,2.12){\darkgray{$F$}}
\rput[bl](-1.5,2.1){$-\dfrac{1}{2}\overrightarrow{u}$}
\end{scriptsize}
\end{pspicture*}
\end{center}

\subsection{\textcolor{red}{Vecteurs colinéaires}}

\subsubsection{\textcolor{blue}{Définition et caractérisation}}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}}
Deux vecteurs non nuls $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont colinéaires si, et seulement si, il existe un réel $k$ tel que $\overrightarrow{v}=k\overrightarrow{u}$
\end{bclogo}

\bigskip
\begin{bclogo}[couleur = cyan!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Propriété}}
Deux vecteurs non nuls $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont colinéaires si, et seulement si, leurs coordonnées sont proportionnelles
\end{bclogo}

\bigskip

En effet :  les deux vecteurs sont colinéaires si, et seulement si, $\overrightarrow{v}=k\overrightarrow{u}$.\\
Si $\overrightarrow{u}$ a pour coordonnées $\begin{pmatrix}x\\y \end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{v}\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}$, cela se traduit par $\left\{\begin{array}{l}x=kx\\y'=ky\end{array}\right.$, donc les coordonnées sont bien proportionnelles.

\bigskip
\begin{bclogo}[couleur = cyan!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Propriété (condition de colinéaires)}}
Soient deux vecteurs $\overrightarrow{u}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{v}\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}$.\\
$\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont colinéaires si, et seulement si, $xy'-x'y=0$
\end{bclogo}

\bigskip

\textbf{\textcolor{red}{Exemples : }}
\begin{enumerate}
\item Soient $\overrightarrow{u}\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{v}\begin{pmatrix}6\\9\end{pmatrix}$.

Il est clair que $\overrightarrow{v}=3\overrightarrow{u}$ donc $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont colinéaires.

\item Soient $\overrightarrow{u}\begin{pmatrix}\sqrt{3}+\sqrt{2}\\1\end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{v}\begin{pmatrix}1\\\sqrt{3}-\sqrt{2}\end{pmatrix}$.

On applique la condition de colinéaires : 

$\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)-1\times 1=\sqrt{3}^2-\sqrt{2}^2-1=3-2-1=0$ donc $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont colinéaires.
\end{enumerate}


\subsubsection{\textcolor{blue}{Application à la géométrie}}
\begin{bclogo}[couleur = cyan!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Théorème}}
Soient trois points  A, B et C deux à deux distincts.\\
A, B et C sont alignés si, et seulement si, $\overrightarrow{\text{AB}}$ et $\overrightarrow{\text{AC}}$ sont colinéaires.
\end{bclogo}

\bigskip

\textbf{\textcolor{red}{Exemple :}} soient A(2~;~5), B(3~;~8) et C(-5~;~-16).

Montrer que ces trois points sont alignés.

$\overrightarrow{\text{AB}}\begin{pmatrix}1\\3\end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{\text{AC}}\begin{pmatrix}-7\\-21\end{pmatrix}$.

Il est clair que $\overrightarrow{\text{AC}}=-7\overrightarrow{\text{AB}}$ donc ces vecteurs sont colinéaires.

Les trois points A, B et C sont bien alignés.

\begin{bclogo}[couleur = cyan!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Théorème}}
Soient quatre points A, B, C et D deux à deux distincts.\\
Les droites (AB) et (BC) sont parallèles si, et seulement si, $\overrightarrow{\text{AB}}$ et $\overrightarrow{\text{CD}}$ sont colinéaires.
\end{bclogo}

\bigskip

Exemple : soient A(1~;~3), B(5~;~-2), C(-1~;~6) et D7~;~-4).

Montrer que les droites (AB) et (CD) sont parallèles.

$\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}4\\-5\end{pmatrix}$~;~$\overrightarrow{CD}\begin{pmatrix}8\\-10\end{pmatrix}$.

On remarque que $\overrightarrow{\text{CD}}=2\overrightarrow{\text{AB}}$.

Les deux vecteurs $\overrightarrow{\text{AB}}$ et $\overrightarrow{\text{CD}}$ sont colinéaires, donc les droites (AB) et (CD) sont parallèles.
\label{fin}
\end{document}  