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\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{empty}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{ÉQUATIONS - INÉQUATIONS}}\end{center}

\subsection{\textcolor{red}{Équations}}



\subsubsection{\textcolor{blue}{Définition d'une équation}}
\begin{bclogo}[couleur = cyan!20, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}}
Une équation est une égalité dans laquelle figurent un ou plusieurs nombres inconnus.\\
Résoudre cette équation consiste à trouver \textbf{toutes} les valeurs que peuvent prendre ce ou ces nombres inconnus pour que l'égalité soit vraie.
\end{bclogo}

\bigskip



\noindent \textbf{\textcolor{blue}{Exemples :}}
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item 2x+3=0 a pour solution le nombre $-\dfrac{3}{2}$

\item L'équation $x^2+1=0$ n'a pas de solution dans $\mathbb{R}$ car, pour tout $x\in\mathbb{R}$, $x^2\geqslant 0$ donc $x^2=-1$ est impossible dans $\mathbb{R}$.
\end{enumerate}

\subsubsection{\textcolor{blue}{Méthode générale de résolution}}
Elle est basée sur le théorème suivant :
\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Théorème}}
Dans $\mathbb{R}$, un produit de facteurs est nul si, et seulement si, l'un des facteurs est nul.
\end{bclogo}

\bigskip



\textbf{\textcolor{red}{Méthode :}}
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Sauf cas particulier, on transpose tout du même cÙté pour se ramener à une équation du type $A(x)=0$.

\item On essaye de factoriser pour utiliser le théorème du produit nul.\\
Pour cela, on essaye de repérer un facteur commun, sinon, une identité remarquable. S'il n'y a pas de factorisation possible, on développe.
\end{enumerate}

\noindent \textbf{\textcolor{red}{Exemples : }}
\begin{enumerate}[(a)]
\item Résoudre l'équation $(3x+1)(x+4)=3x+1$.\\
Cette équation est équivalente à $(3x+1)(x+4)-(3x+1)=0$, soit $(3x+1)[(x+4)-1]=0$ donc $(3x+1)(x+3)=0$.\\
$3x+1=0$ donne $x=-\dfrac{1}{3}$ , $x+3=0$ donne $x=-3$.\\
L'équation a deux solutions : $\mathscr{S}=\left\{-3~;~-\dfrac{1}{3}\right\}$

\item Résoudre l'équation : $(2x+5)^2=(3x-2)^2$.\\
On obtient : $(2x+5)^2-(3x-2)^2=0$, soit : $\left[(2x+5)+(3x-2)\right]\left[(2x+5)-(3x-2)\right]=0$ qui s'écrit :\\
 $(5x+3)(-x+7)=0$.\\
Les solutions sont alors : $\mathscr{S}=\left\{-\dfrac{3}{5}~;~7\right\}$.
\end{enumerate}

\subsubsection{\textcolor{blue}{Équations du type $\mathbf{x^2=a}$}}
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Si $a<0$, l'équation n'a pas de solution, car, pour tout $x\in\mathbb{R}$, $x^2\geqslant 0$, donc $x^2$ ne peut pas être égal à un nombre strictement négatif.

\item $x^2=0$ a pour solution $x=0$

\item Soit $a>0$ ; l'équation s'écrit $x^2-a=0$, c'est-à-dire $x^2-\left(\sqrt{a}\right)^2=0$ qui se factorise en $\left(x+\sqrt{a}\right)\left(x-\sqrt{a}\right)=0$.\\
L'équation a donc deux solutions : $\mathscr{S}=\{-\sqrt{a}~;~\sqrt{a}\}$.
\end{enumerate}

Exemples :
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item L'équation $x^{2}=-5$ n'a pas de solution car $-5<0$ : $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\emptyset}}$.

\item L'équation $x^{2}=7$ a deux solutions, car $7>0$ : $-\sqrt{7}$ et $\sqrt{7}$. $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\left\{-\sqrt{7}~;~\sqrt{7}\right\}}}$
\end{enumerate}

\subsubsection{\textcolor{blue}{Équation sous forme d'un quotient}}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Propriété}}
L'équation $\dfrac{A(x)}{B(x)}=0$ équivaut à $B(x)\neq 0$ et $A(x)=0$
\end{bclogo}

\bigskip



On commence par chercher les valeurs \og interdites\fg{} qui annulent le dénominateur. L'ensemble de définition (valeurs réelles pour lesquelles l'expression globale est définie) est alors $\mathbb{R}$, privé de ces valeurs interdites.\\

\noindent \textbf{\textcolor{red}{Exemples: }}
\begin{enumerate}[(a)]
\item Résoudre l'équation $\dfrac{2x+3}{x-1}=0$.\\
\textbf{\textcolor{red}{Condition d'existence}} : $x-1\neq 0$ donc $x\neq 1$.\\
On dit que 1 est une valeur interdite. L'ensemble de définition est $\mathscr{D}=\mathbb{R}\setminus\{1\}$.\\

\noindent Pour $x\neq 1$, l'équation s'écrit : $2x+3=0$ qui donne $x=-\dfrac{3}{2}$.\\
$-\dfrac{3}{2}\neq 1$ donc $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\left\{-\dfrac{3}{2}\right\}}}$.

\item Résoudre $\dfrac{x^2-1}{x+1}=0$.\\
\textbf{\textcolor{red}{Ensemble de définition}} :On commence par résoudre l'équation $x+1=0$ qui a pour solution $x=-1$. C'est une valeur \textbf{interdite}.\\
L'ensemble de définition est donc $\mathscr{D}=\mathbb{R}\setminus\{-1\}$.\\

\noindent On suppose maintenant $x\neq -1$.\\
L'équation s'écrit alors : $x^2-1=0\Leftrightarrow (x+1)(x-1)=0$ qui a pour solutions -1 et 1.\\
Or, $-1$ n'appartient pas à l'ensemble de définition..\\
L'ensemble des solutions de l'équation est donc : $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\{1\}}}$.
\end{enumerate}


\textcolor{red}{Exercices page192 :}

\newpage

\subsection{\textcolor{red}{Inéquations}}
\subsubsection{\textcolor{blue}{Signe de l'expression $ax +b$}}

On considère l'expression $ax +b$  avec $a\neq 0$.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $ax +b = 0\iff x = -\dfrac{b}{a}$.

\item $ax +b > 0\iff ax > -b$.\\


\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}
Si $a > 0$, $ax > -b\iff x > -\dfrac{b}{a}$\\

Si $a < 0$, $ax > -b\iff x < -\dfrac{b}{a}$ \\
\end{multicols}
(car l'inégalité change de sens quand on divise les deux membres par un nombre
négatif )

\item $ax +b < 0\iff ax < -b$.\\


\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}
Si $a > 0$, $ax < -b\iff x < -\dfrac{b}{a}$\\

Si $a < 0$, $ax < -b\iff x < -\dfrac{b}{a}$ \\
\end{multicols}
(car l'inégalité change de sens quand on divise les deux membres par un nombre
négatif )

\end{enumerate} 

On récapitule cela dans un tableau de signes :\\
\textbf{\textcolor{red}{Nous avons deux cas possibles :}}\\


\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\noindent $\boxed{\textcolor{red}{a > 0}}$
\begin{center}
\begin{variations}
x&\mI&&-\dfrac{b}{a}&&\pI\\
\filet
\text{Signe de }ax+b&&-&\z&+&\\
\end{variations}
\end{center}

\noindent $\boxed{\textcolor{red}{a < 0}}$
\begin{center}
\begin{variations}
x&\mI&&-\dfrac{b}{a}&&\pI\\
\filet
\text{Signe de }ax+b&&+&\z&-&\\
\end{variations}
\end{center}

\end{multicols}

\textbf{\textcolor{blue}{En résumé, on obtient }}:
\begin{center}
\begin{variations}
x&\mI&&-\dfrac{b}{a}&&\pI\\
\filet
\text{Signe de }ax+b&&\textcolor{red}{\text{Signe de }-a}&\z&\textcolor{red}{\text{Signe de }a}&\\
\end{variations}
\end{center}

\noindent \textbf{\textcolor{red}{Exemples :}}


\begin{enumerate}[a)]
\item  Trouver en fonction de $x$ le signe de $3x +4$.
$3x +4$ s'annule pour $x = -\dfrac{4}{3}$. \\
Le coefficient 3 est positif, donc on a :
\begin{center}
\begin{variations}
x&\mI&&-\dfrac{4}{3}&&\pI\\
\filet
\text{Signe de }3x+4&&-&\z&+&\\
\end{variations}
\end{center}

\item Trouver en fonction de $x$ le signe de $-2x +5$.
$-2x +5$ s'annule pour $x =\dfrac{5}{2}$\\
Le coefficient -2 est négatif, donc on a :
\begin{center}
\begin{variations}
x&\mI&&\dfrac{5}{2}&&\pI\\
\filet
\text{Signe de }-2x+5&&+&\z&-&\\
\end{variations}
\end{center}
\end{enumerate}


\subsubsection{\textcolor{blue}{Signe d'un produit}}
\textbf{\textcolor{red}{Méthode :}}\\
On étudie le signe de chaque facteur du produit, on renseigne un tableau de signes et on conclut dans le
tableau en appliquant la règle du signe d'un produit.\\

\noindent \textbf{\textcolor{blue}{Exemple :}} \\
Déterminer le signe de l'expression $A(x) = (2x +3)(5x -4)$.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $2x +3= 0\iff x = -\dfrac{3}{2}$

\item  $5x -4= 0\iff x =\dfrac{4}{5}$

\item On renseigne un tableau de signes :
\begin{center}
\begin{variations}
x&\mI&&-\frac32&&\frac54&&\pI\\
\filet
\text{Signe de }2x+3&&-&\z&+&\l&+&\\
\filet
\text{Signe de }5x-4&&-&\l&-&\z&+&\\
\filet
\text{Signe de }(2x+3)(5x-4)&&+&\z&-&\z&+&\\
\end{variations}

\end{center}
\end{enumerate}
\textbf{\textcolor{red}{Conclusion :}}
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $(2x +3)(5x -4)<0$ pour $x\in\left]-\dfrac{3}{2}~;~\dfrac{4}{5}\right]$

\item $(2x +3)(5x -4)=0$ pour $x=-\dfrac{3}{2}$ ou $x=\dfrac{4}{5}$

\item $(2x +3)(5x -4)>0$ pour $x\in\left]-\infty-\dfrac{3}{2}\right[\cup \left]\dfrac{5}{4}~;~+\infty\right[$
\end{enumerate}


\subsubsection{\textcolor{blue}{Inéquations se ramenant à un produit}}
\textbf{\textcolor{red}{Exemple :}} Résoudre $x^2-7x < (5-x)(x -7)$\\

\noindent \textbf{\textcolor{blue}{Méthode : }}on se ramène à une inéquation du type A(x) < 0, puis on factorise.\\
$x^2-7x < (5-x)(x -7)\iff x^2-7x -(5-x)(x -7) < 0\iff x(x -7)-(5-x)(x -7) < 0\\
\iff (x -7)[x -(5-x)] < 0\iff (x -7)(2x -5)< 0$
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item  $x -7 = 0\iff x = 7$

\item $2x -5= 0\iff x =\dfrac{5}{2}$
\end{enumerate}
On renseigne un tableau de signes :
\begin{center}
\begin{variations}
x&\mI&&\frac52&&7&&\pI\\
\filet
\text{Signe de }x-7&&-&\l&-&\z&+&\\
\filet
\text{Signe de }2x-5&&-&\z&+&\l&+&\\
\filet
\text{Signe de }(x-7)(2x-5)&&+&\z&-&\z&+&\\
\end{variations}
\end{center}
%
\subsubsection{\textcolor{blue}{Inéquations sous forme de quotients}}
\textbf{\textcolor{red}{Exemple :}} Résoudre l'inéquation $\dfrac{-3x +5}{x +1}\geqslant 2$.\\

\textbf{\textcolor{blue}{Méthode :}} On commence par chercher l'ensemble de définition, puis on se ramène à une comparaison à 0. On factorise et enfin, on renseigne un tableau de signes.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item L'ensemble de définition est : $\mathscr{D} = \mathbb{R}\setminus\{-1\}$.

\item Pour $x\in\mathscr{D}$, $\dfrac{-3x +5}{x +1}\geqslant 2\iff \dfrac{ -3x +5}{x +1} -2\geqslant  0\iff \dfrac{(-3x +5)-2(x +1)}{x +1}\geqslant  0\iff  \dfrac{-5x +3}{x +1}\geqslant  0$.

\item $-5x +3= 0\iff x =\dfrac{3}{5}$

\item  $x +1 = 0$ pour $x = -1$

\item  Tableau de signes :
\begin{center}
\begin{variations}
x&\mI&&-1&&\frac53&&\pI\\
\filet
\text{Signe de }-3x+5&&+&\bb&+&\z&-&\\
\filet
\text{Signe de }x+1&&-&\bb&+&\l&+&\\
\filet
\text{Signe de }(-3x+5)(x+1)&&-&\bb&+&\z&-&\\
\end{variations}
\end{center}
On en déduit que l'ensemble des solutions est : $\mathscr{S} =]-\infty~;~-1[\cup\left[\dfrac{5}{3}~;~=\infty\right[$.
\end{enumerate}



\label{fin}
\end{document}  