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-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{fancy}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{2nde : correction du devoir sur feuille \no 3}}\end{center}







\subsection{}
Lorsque Yacine a déplacé son lecteur DVD, il a été obligé de débrancher trois câbles. Les trois câbles sont de couleurs différentes et correspondent chacun à une entrée spécifique.

\noindent Malheureusement, les entrées n'ont pas de couleur et Yacine ne se souvient plus dans quelle prise brancher chaque câble.
\begin{enumerate}
\item %Combien y a-t-il de possibilités pour effectuer les branchements ?
On peut s'aider d'un arbre, en notant les trois couleurs R, V et B pour rouge, vert et bleu.
\begin{center}
%\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}
\psset{nodesep=0mm,levelsep=50mm,treesep=3mm}
\pstree[treemode=R]{\Tdot}
{
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$R$}\taput{ $$}}
{
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$V$}\taput{ $$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$B$}\taput{ $$}
}
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$B$}\tbput{ $$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$V$}\taput{ $$}
}
}
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$V$}\taput{ $$}}
{
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$R$}\taput{ $$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$B$}\taput{ $$}
}
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$B$}\tbput{ $$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$V$}\taput{ $$}
}
}
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$B$}\tbput{ $$}}
{
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$R$}\taput{ $$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$V$}\taput{ $$}
}
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$V$}\tbput{ $$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$R$}\taput{ $$}}}}
\end{center}

Il y a donc \textbf{\textcolor{red}{six}} branchements possibles.

\item %Yacine prétend qu'il a une chance sur trois de réussir le branchement. A-t-il raison ?
Il a \textbf{\textcolor{red}{tort}} ; il n'y a qu'un branchement correct sur les six possibles, donc il a une probabilité de $\dfrac{1}{6}$ de réussir le bon branchement.
\end{enumerate}

\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{}
On a effectué un sondage sur les activités extra-sportives pratiquées par les élèves d'un lycée.

\noindent 10\:\% des élèves font à la fois  un sport et jouent d'un instrument de musique, 35\:\% font seulement du sport et 40\:\% ne pratiquent ni sport ni musique.

\noindent On interroge un élève au hasard à la sortie du lycée.

On note S l'événement \og{}l'élève pratique un sport\fg{} et M l'événement \og{}l'élève pratique un instrument de musique\fg{}.

Faisons un graphique illustrant la situation :
\begin{center}
\newrgbcolor{xdxdff}{0.490196078431 0.490196078431 1.}
\newrgbcolor{zzttqq}{0.6 0.2 0.}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-1.,-1.)(7.,4)
\pspolygon(0.,0.)(6.5,0.)(6.5,3.)(0.,3.)
\psline[linecolor=zzttqq](0.,0.)(6.,0.)
\psline[linecolor=zzttqq](6.,3.)(0.,3.)
\psline[linecolor=zzttqq](0.,3.)(0.,0.)
\pscircle(2.1,1.58){1.21342490497}
\pscircle(3.3,1.4){1.23369364106}
\rput[tl](0.66,0.96){S}
\rput[tl](4.7,1.22){M}
\rput[tl](2.18,1.4){$S\cap M$}
\rput[tl](2.6,1.82){10\:\%}
\rput[tl](1.32,1.88){35\:\%}
\rput[tl](5.3,0.88){40\:\%}
\end{pspicture*}
\end{center}


\bigskip
Traduisons les hypothèses à l'aide de S et M
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $p(\text{S}\cap \text{M})=10\:\%=0,1$

\item $p\left(\text{S}\cap \overline{\text{M}}\right)=35\:\%=0,35$.

\item $p\left(\overline{\text{S}}\cup\overline{\text{M}}\right)=40\:\%=0,4$
\end{enumerate}
\noindent Écrire les événements suivants à l'aide de M et S, puis calculer leurs probabilités : 
\begin{enumerate}
\item \og{}L'élève ne fait pas de sport, mais joue d'une instrument de musique.\fg{} est l'événement $\overline{S}\cap M$.

\noindent Sa probabilité est $p\left(\overline{S}\cap M\right)=15\:\%=\boxed{\textcolor{red}{0,15}}$ en s'aidant du schéma.

\item \og{}L'élève pratique un sport\fg{} est l'événement S.

\noindent $p(\text{S})=45\:\%=\boxed{\textcolor{red}{0,45}}$.

\item \og{}L'élève joue d'un instrument de musique\fg{} est l'événement M.

$p(M)=25\:\%=\boxed{\textcolor{red}{0,25}}$

\item L'élève pratique un sport ou joue d'un instrument\fg{} est l'événement $\text{S}\cup \text{M}$.

\noindent $p(\text{S}\cup \text{M})=1-40\:\%=1-0,4=\boxed{\textcolor{red}{0,6}}$.
\end{enumerate}


\subsection{}
Tracer un triangle équilatéral ABC de côté 4 cm.

\noindent %Construire le point D vérifiant $\overrightarrow{  AD} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{ AC} + \dfrac{3}{2}\overrightarrow{  AB}$.
Construisons le point D vérifiant $\overrightarrow{  AD} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{ AC} + \dfrac{3}{2}\overrightarrow{  AB}$.

\noindent On construit E tel que $\overrightarrow{\text{AE}}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{\text{AC}}$ puis D tel que $\overrightarrow{\text{ED}}=\dfrac{3}{2}\overrightarrow{\text{AC}}$. Alors $\dfrac{1}{2}\overrightarrow{\text{AC}}+\dfrac{3}{2}\overrightarrow{\text{AB}}=\overrightarrow{\text{AE}}+\overrightarrow{\text{ED}}=\overrightarrow{\text{AD}}$ (relation de Chasles)

\begin{center}
\newrgbcolor{zzttqq}{0.6 0.2 0.}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-1.,-1.)(8.,5.)
\pspolygon(0.,0.)(4.,0.)(2.,3.46410161514)
\psline[linecolor=zzttqq](0.,0.)(4.,0.)
\psline[linecolor=zzttqq](4.,0.)(2.,3.46410161514)
\psline[linecolor=zzttqq](2.,3.46410161514)(0.,0.)
\psline[linewidth=2pt,linecolor=red]{->}(1.,1.73205080757)(7.,1.73205080757)
\psline[linewidth=2pt,linecolor=red]{->}(1.,1.73205080757)(0,0)

\psline[linewidth=2pt,linecolor=blue]{->}(0.,0.)(7.,1.73205080757)
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](0.,0.)
\uput[dl](0,0){\blue{$A$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](4.,0.)
\rput[bl](4.08,0.12){\blue{$B$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](2.,3.46410161514)
\rput[bl](2.08,3.58){\blue{$C$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=darkgray](1.,1.73205080757)
\uput[l](1,1.83){\darkgray{$E$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=darkgray](7.,1.73205080757)
\rput[bl](7.08,1.86){\darkgray{$D$}}
%\rput[bl](4.,1.82){$u$}
%\rput[bl](3.48,0.94){$v$}
\end{pspicture*}

\end{center}

\newpage
\subsection{}
Soit ABC un triangle quelconque. I et J sont les mieux respectifs de [AB] et [AC].
\begin{center}
\newrgbcolor{zzttqq}{0.6 0.2 0.}
\psset{unit=0.8,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-1.,-1.)(9.,4)
\pspolygon(3.34,3.8)(2.1,0.86)(7.8,1.5)
\psline[linecolor=zzttqq](3.34,3.8)(2.1,0.86)
\psline[linecolor=zzttqq](2.1,0.86)(7.8,1.5)
\psline[linecolor=zzttqq](7.8,1.5)(3.34,3.8)
\psline{->}(2.72,2.33)(5.57,2.65)
\begin{scriptsize}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](3.34,3.8)
\rput[bl](3.42,3.92){\blue{$A$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](2.1,0.86)
\rput[bl](2.18,0.98){\blue{$B$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](7.8,1.5)
\rput[bl](7.88,1.62){\blue{$C$}}
\rput[bl](2.42,2.46){\zzttqq{$c$}}
\rput[bl](4.98,0.88){\zzttqq{$a$}}
\rput[bl](5.7,2.94){\zzttqq{$b$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=darkgray](2.72,2.33)
\rput[bl](2.8,2.44){\darkgray{$I$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=darkgray](5.57,2.65)
\rput[bl](5.66,2.76){\darkgray{$J$}}
\rput[bl](4.12,2.56){$u$}
\end{scriptsize}
\end{pspicture*}
\end{center}
\begin{enumerate}
\item %Montrer que $\overrightarrow{\text{IJ}}=\overrightarrow{\text{AJ}}-\overrightarrow{\text{AI}}$.
$\overrightarrow{\text{IJ}}=\overrightarrow{\text{IA}}+\overrightarrow{\text{AJ}}=-\overrightarrow{\text{AI}}+\overrightarrow{\text{AJ}}=\boxed{\textcolor{red}{\overrightarrow{\text{AJ}}-\overrightarrow{\text{AI}}}}$

\item %Exprimer $\overrightarrow{\text{AI}}$ et $\overrightarrow{\text{AJ}}$ en fonction de $\overrightarrow{\text{AB}}$ et $\overrightarrow{AC}$.
On a $\overrightarrow{\text{AI}}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{\text{AB}}$ et $\overrightarrow{\text{AJ}}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{\text{AC}}$

\item %En déduire $\overrightarrow{\text{IJ}}$ en fonction de $\overrightarrow{\text{BC}}$
On en déduit : $\overrightarrow{\text{IJ}}=\overrightarrow{\text{AJ}}-\overrightarrow{\text{AI}}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{\text{AC}}-\dfrac{1}{2}\overrightarrow{\text{AC}}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{\text{AC}}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{\text{AB}}\\
=\dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{\text{AC}}-\overrightarrow{\text{BC}}\right)=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{1}{2}\overrightarrow{\text{BC}}}}$

\item %Quel théorème vu au collège retrouve-t-on ainsi ?
On en déduit que le segment joignant les milieux de deux côtés d'un triangle est parallèle au troisième côté et a pour longueur la moitié de celui-ci : on retrouve la \textbf{\textcolor{red}{réciproque du théorème de la droite des milieux}} (cas particulier de la réciproque du théorème de Thalès).
\end{enumerate}


\subsection{}
Soient [ AC ] et [ BD ] deux diamètres d'un cercle $\mathscr{C}$.
\begin{center}
\newrgbcolor{xdxdff}{0.490196078431 0.490196078431 1.}
\newrgbcolor{zzttqq}{0.6 0.2 0.}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-4.,-4.)(4.,4.)
\pspolygon(-3.3,0.56)(-1.95743491822,2.71515166076)(3.3,-0.56)(1.95743491822,-2.71515166076)
\pscircle(0.,0.){3.3471779158}
\psline[linecolor=zzttqq](-3.3,0.56)(-1.95743491822,2.71515166076)
\psline[linecolor=zzttqq](-1.95743491822,2.71515166076)(3.3,-0.56)
\psline[linecolor=zzttqq](3.3,-0.56)(1.95743491822,-2.71515166076)
\psline[linecolor=zzttqq](1.95743491822,-2.71515166076)(-3.3,0.56)
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](0.,0.)
\rput[bl](0.08,0.12){\blue{$O$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](-3.3,0.56)
\rput[bl](-3.22,0.68){\blue{$A$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=xdxdff](-1.95743491822,2.71515166076)
\rput[bl](-1.88,2.84){\xdxdff{$B$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](3.3,-0.56)
\rput[bl](3.38,-0.44){\blue{$C$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=xdxdff](1.95743491822,-2.71515166076)
\rput[bl](2.04,-2.6){\xdxdff{$D$}}
\psline(-3.33,0.56)(3.33,-0.56)
\psline(-1.96,2.72)(1.96,-2.72)
\end{pspicture*}
\end{center}
%Démontrer que    $\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{  AB} =\overrightarrow{AC}$.
Par définition d'un diamètre, [AC] et [BD] se coupent en leur milieu O, centre du cercle.

\noindent Le quadrilatère ABCD est donc un parallélogramme (et même un rectangle puisque les diagonales ont le même milieu)?

\noindent Alors : $AD+AB=AC$ car la somme de deux vecteurs de même origine est le vecteur  diagonale du parallélogramme formé sur des deux vecteurs (cf. cours)

On peut le démontrer de nouveau en utilisant $\overrightarrow{\text{AB}}=\overrightarrow{\text{DC}}$, donc $\overrightarrow{\text{AD}}+\overrightarrow{\text{AB}}=\overrightarrow{\text{AD}}+\overrightarrow{\text{DC}}=\boxed{\textcolor{red}{\overrightarrow{\text{AC}}}}$.


\subsection{}
Soit I le milieu d'un segment [AB ] et M un point n'appartenant pas à la droite (AB).

\begin{enumerate}
\item  %Construire les points C et D tels que \\
%$\overrightarrow{ IC} = \overrightarrow{IA} + \overrightarrow{  IM}$ et $\overrightarrow{ID} =\overrightarrow{ IB} +\overrightarrow{  IM} $
\begin{center}
\newrgbcolor{zzttqq}{0.6 0.2 0.}
\psset{unit=0.8,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(0.,-1.)(8.,6)
\pspolygon(1.44,-0.5)(3.74,-0.18)(4.5,2.7)(2.2,2.38)
\pspolygon(3.74,-0.18)(6.04,0.14)(6.8,3.02)(4.5,2.7)
\psline(1.44,-0.5)(6.04,0.14)
\psline[linecolor=zzttqq](1.44,-0.5)(3.74,-0.18)
\psline[linecolor=zzttqq](3.74,-0.18)(4.5,2.7)
\psline[linecolor=zzttqq](4.5,2.7)(2.2,2.38)
\psline[linecolor=zzttqq](2.2,2.38)(1.44,-0.5)
\psline[linecolor=zzttqq](3.74,-0.18)(6.04,0.14)
\psline[linecolor=zzttqq](6.04,0.14)(6.8,3.02)
\psline[linecolor=zzttqq](6.8,3.02)(4.5,2.7)
\psline[linecolor=zzttqq](4.5,2.7)(3.74,-0.18)
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](1.44,-0.5)
\rput[bl](1.12,-0.54){\blue{$A$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](6.04,0.14)
\rput[bl](6.16,-0.12){\blue{$B$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=darkgray](3.74,-0.18)
\rput[bl](3.86,-0.62){\darkgray{$I$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](4.5,2.7)
\rput[bl](4.58,2.82){\blue{$M$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=darkgray](2.2,2.38)
\rput[bl](1.94,2.38){\darkgray{$C$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=darkgray](6.8,3.02)
\rput[bl](6.88,3.14){\darkgray{$D$}}
\uput[u](5.26,5.58){E}
\pspolygon(3.74,-0.18)(6.8,3.02)(5.26,5.58)(2.2,2.38)

\end{pspicture*}
\end{center}

\item %Quelle est la nature des quadrilatères AIMC et IBDM ? 
Les quadrilatères AIMC et IBDM sont des parallélogrammes par construction. 

\item %Démontrer que M est le milieu de [ CD ]. 
On a $\overrightarrow{\text{CM}}=\overrightarrow{\text{AI}}$, $\overrightarrow{\text{AI}}=\overrightarrow{\text{IB}}$ et $\overrightarrow{\text{IB}}=\overrightarrow{\text{MD}}$ car nous avons deux parallélogrammes et I est le milieu de [AB].

\noindent On en déduit $\overrightarrow{\text{CM}}=\overrightarrow{\text{MD}}$ donc M est le milieu de [CD].

\item %Démontrer que $\overrightarrow{IC} =\overrightarrow{  BM}$.
$\overrightarrow{\text{IC}}=\overrightarrow{\text{IM}}+\overrightarrow{\text{MC}}=\overrightarrow{\text{BD}}+\overrightarrow{\text{DM}}=\overrightarrow{\text{BM}}$ car $IM=\overrightarrow{\text{BD}}$ et $\overrightarrow{\text{DM}}=\overrightarrow{\text{MC}}$.


\item Soit E le symétrique de I par rapport à M.
\begin{enumerate}
\item  %Traduire cette propriété par une égalité vectorielle.
On en déduit $\overrightarrow{\text{IE}}=2\overrightarrow{\text{IM}}$

\item %Démontrer que  $\overrightarrow{IC} +\overrightarrow{ ID} = \overrightarrow{IE} $
$\overrightarrow{\text{IC}}+\overrightarrow{\text{ID}}=\left(\overrightarrow{\text{IM}}+\overrightarrow{\text{MC}}\right)+\left(\overrightarrow{\text{IM}}+\overrightarrow{\text{MD}}\right)=2\overrightarrow{\text{IM}}+\left(\overrightarrow{\text{MC}}+\overrightarrow{\text{MD}}\right)\\
=2\overrightarrow{\text{IM}}+\overrightarrow{\text{0}}=2\overrightarrow{\text{IM}}=\boxed{\textcolor{red}{\overrightarrow{\text{IE}}}}$ car M étant le milieu de [CD], $\overrightarrow{\text{MC}}+\overrightarrow{\text{MD}}=\overrightarrow{\text{0}}$.

\end{enumerate}
\end{enumerate}


\subsection{}%Odyssée seconde
Soit ABCD un carré de centre O. I et J sont les milieux respectifs de [AB] et [CD].

\noindent K est  un point de [BD] autre que O. L est le symétrique de K par rapport à O.
\begin{center}
\newrgbcolor{zzttqq}{0.6 0.2 0.}
\newrgbcolor{xdxdff}{0.490196078431 0.490196078431 1.}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-1.,-1.)(5.,5.)
\pspolygon(2.,0.)(3.19,0.81)(0.81,3.19)(2.,4.)
\pspolygon(2.,0.)(3.19,0.81)(2.,4.)(0.81,3.19)
\psline[linecolor=zzttqq](0.,0.)(4.,0.)
\psline[linecolor=zzttqq](4.,0.)(4.,4.)
\psline[linecolor=zzttqq](4.,4.)(0.,4.)
\psline[linecolor=zzttqq](0.,4.)(0.,0.)
\psline(4.,0.)(0.,4.)
\psline[linecolor=zzttqq](2.,0.)(3.19,0.81)
\psline[linecolor=zzttqq](3.19,0.81)(0.81,3.19)
\psline[linecolor=zzttqq](0.81,3.19)(2.,4.)
\psline[linecolor=zzttqq](2.,4.)(2.,0.)
\psline[linecolor=zzttqq](2.,0.)(3.19,0.81)
\psline[linecolor=zzttqq](3.19,0.81)(2.,4.)
\psline[linecolor=zzttqq](2.,4.)(0.81,3.19)
\psline[linecolor=zzttqq](0.81,3.19)(2.,0.)
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](0.,0.)
\rput[bl](0.08,0.12){\blue{$A$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](4.,0.)
\rput[bl](4.08,0.12){\blue{$B$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](4.,4.)
\rput[bl](4.08,4.12){\blue{$C$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](0.,4.)
\rput[bl](0.08,4.12){\blue{$D$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](2.,2.)
\rput[bl](2.08,2.12){\blue{$O$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=darkgray](2.,0.)
\rput[bl](2.08,0.12){\darkgray{$I$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=darkgray](2.,4.)
\rput[bl](2.08,4.12){\darkgray{$J$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=xdxdff](0.81,3.19)
\rput[bl](0.9,3.3){\xdxdff{$K$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=xdxdff](3.19,0.81)
\rput[bl](3.28,0.92){\xdxdff{$L$}}
\end{pspicture*}
\end{center}
\noindent Le but de l'exercice est d'étudier la nature du quadrilatère ILJK.
\begin{enumerate}
\item %Dans le repère $\left(\text{A}~;~\overrightarrow{\text{AB}}~;~\overrightarrow{\text{AD}}\right)$, donner les coordonnées des points I, J et K.
Dans le repère $\left(\text{A}~;~\overrightarrow{\text{AB}}~;~\overrightarrow{\text{AD}}\right)$, on a : 

\noindent A(0~;~0), B(1~;~0), C(1~;~1), D(0~;~1), I$\left(\dfrac{1}{2}~;~0\right)$, J$\left(\dfrac{1}{2}~;~1\right)$ et K$\left(x~;~y\right)$.

\item %Démontrer que le quadrilatère ILJK est un parallélogramme.
Cherchons les coordonnées $x_L$ et $y_L$ de L :

\noindent $x_0=\dfrac{x+x_L}{2}$ donc $x_L=2x_0-x=1-x$ ; de même, $y_L=1-y$ dpnc L(1-x~;~1-y)

$\overrightarrow{\text{JK}}\begin{pmatrix}x-\frac12\\y-1\end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{\text{LI}}\begin{pmatrix}x-\frac12\\-1\end{pmatrix}$.

\noindent Les deux vecteurs ont les mêmes coordonnées, donc sont égaux. ILJK est donc un parallélogramme.

\item \textbf{\textcolor{red}{Question facultative :}}

\noindent %À quelle condition sur le point K IJLK est-il un rectangle ?

%\noindent (\textbf{\textcolor{red}{indication}} : utiliser le triangle IJK et on rappelle que le cercle circonscrit à un triangle rectangle a pour diamètre l'hypoténuse de ce triangle)
ILJK est un rectangle si, et seulement si, le triangle IJK est rectangle en K. Comme O est le milieu de [IJ], le triangle IJK est rectangle en K si, et seulement si, O est le centre du cercle circonscrit au triangle IJK, donc $\text{OI}=\text{OJ}=\text{OK}$.

\noindent Il est clair que $\text{OI}=\text{OJ}=\dfrac{1}{2}$. on doit donc avoir $\text{OK}=\dfrac{1}{2}$.
\end{enumerate}



\subsection{}

\textbf{\textcolor{red}{Partie A}}

\begin{enumerate}
\item %Développer et réduire l'expression $16-(x-2)^2$.
$16-(x-2)^2=16-\left[x^2-4x+4\right]=16-x^2+4x-4\\
=-x^2+4x+12$.

\item %Factoriser l'expression $16-(x-2)^2$.
$16-(x-2)^2=4^2-(x-2)^2=\left[4-(x-2)\right][4+(x-2)]=\boxed{\textcolor{red}{(6-x)(2+x)}}$.

\item %Résoudre l'équation $16-(x-2)^2=0$.
$16-(x-2)^2=0\Leftrightarrow \boxed{\textcolor{red}{(6-x)(2+x)=0}}$.

\noindent Un produit dd facteurs est nul si, et seulement si, l'un des facteurs est nul. L'équation a donc deux solutions : $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\{-2~;~6\}}}$
\end{enumerate}

\textbf{\textcolor{red}{Partie B}}

Sur la figure ci-dessous , $ABCD$ un carré de $8$\;cm de côté. $B'$ est un point mobile sur $[AB]$ et $C'$ et $D'$ sont tels que $AB'C'D'$ soit un carré.

On pose $x=AB'$.

\begin{enumerate}

\item %Réaliser la figure en vraie grandeur avec $x=3$.
Figure en vraie grandeur avec $x=3$ :
\begin{center}
\newrgbcolor{zzttqq}{0.6 0.2 0.}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-1.,-1.)(9.,9.)
\pspolygon(0.,8.)(0.,0.)(8.,0.)(8.,8.)
\pspolygon(0.,8.)(0.,5.)(3.,5.)(3.,8.)
\pspolygon[linecolor=zzttqq,hatchcolor=zzttqq,fillstyle=hlines,hatchangle=45.0,hatchsep=0.181818181818](0.,0.)(3.,5.)(0.,5.)
\pspolygon[linecolor=zzttqq,hatchcolor=zzttqq,fillstyle=vlines,hatchangle=45.0,hatchsep=0.181818181818](3.,8.)(3.,5.)(8.,0.)(8.,8.)
\psline[linecolor=zzttqq](0.,8.)(0.,0.)
\psline[linecolor=zzttqq](0.,0.)(8.,0.)
\psline[linecolor=zzttqq](8.,0.)(8.,8.)
\psline[linecolor=zzttqq](8.,8.)(0.,8.)
\psline[linecolor=zzttqq](0.,8.)(0.,5.)
\psline[linecolor=zzttqq](0.,5.)(3.,5.)
\psline[linecolor=zzttqq](3.,5.)(3.,8.)
\psline[linecolor=zzttqq](3.,8.)(0.,8.)
\psline[linecolor=zzttqq](0.,0.)(3.,5.)
\psline[linecolor=zzttqq](3.,5.)(0.,5.)
\psline[linecolor=zzttqq](0.,5.)(0.,0.)
\psline[linecolor=zzttqq](3.,8.)(3.,5.)
\psline[linecolor=zzttqq](3.,5.)(8.,0.)
\psline[linecolor=zzttqq](8.,0.)(8.,8.)
\psline[linecolor=zzttqq](8.,8.)(3.,8.)
\begin{scriptsize}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](0.,0.)
\rput[bl](0.0781818181818,0.103636363636){\blue{$B$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](8.,0.)
\rput[bl](8.07818181818,0.103636363636){\blue{$C$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](8.,8.)
\rput[bl](8.07818181818,8.10363636364){\blue{$D$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](0.,8.)
\rput[bl](0.0781818181818,8.10363636364){\blue{$A$}}
\rput[bl](-0.303636363636,4.01272727273){\zzttqq{$a$}}
\rput[bl](3.98727272727,-0.278181818182){\zzttqq{$b$}}
\rput[bl](8.27818181818,4.01272727273){\zzttqq{$c$}}
\rput[bl](3.98727272727,8.30363636364){\zzttqq{$d$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](0.,5.)
\rput[bl](0.0781818181818,5.10363636364){\blue{$B'$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](3.,5.)
\rput[bl](3.07818181818,5.10363636364){\blue{$C'$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](3.,8.)
\rput[bl](3.07818181818,8.10363636364){\blue{$D'$}}
\rput[bl](-0.303636363636,6.50363636364){\zzttqq{$a_1$}}
\rput[bl](1.49636363636,4.72181818182){\zzttqq{$b'$}}
\rput[bl](3.27818181818,6.50363636364){\zzttqq{$c'$}}
\rput[bl](1.49636363636,8.30363636364){\zzttqq{$d'$}}
\rput[bl](1.73272727273,2.35818181818){\zzttqq{$b'_1$}}
\rput[bl](1.49636363636,5.30363636364){\zzttqq{$b_1$}}
\rput[bl](-0.303636363636,2.50363636364){\zzttqq{$c'_1$}}
\rput[bl](2.69636363636,6.50363636364){\zzttqq{$d'_1$}}
\rput[bl](5.27818181818,2.30363636364){\zzttqq{$c'_2$}}
\rput[bl](8.27818181818,4.01272727273){\zzttqq{$c_1$}}
\rput[bl](5.49636363636,8.30363636364){\zzttqq{$d_1$}}
\end{scriptsize}
\end{pspicture*}
\end{center}

\item %Quelle est alors l'aire de la surface grisée?
La partie grisée (hachurée) est constitué d'un triangle et d'un trapèze.

\noindent L'aire du triangle vaut $\dfrac{3\times 5}{1}=\dfrac{15}{2}$ ; celle du trapèze vaut $\dfrac{(3+8)\times 5}{2}=\dfrac{55}{2}$ donc l'aire hachurée vaut $\dfrac{15}{2}+\dfrac{55}{2}=35$.

\item %Refaire une figure en vraie grandeur avec $x=6$.
Avec $x=6$, on a une figure semblable.

\item %Déterminer l'ensemble $I$ des valeurs que peut prendre $x$.
L'intervalle auquel appartient $x$ est $\boxed{\textcolor{red}{I=[0~;~8]}}$.

\item %Exprimer l'aire du triangle $BCC'$ en fonction de~$x$.
L'aire du triangle $BCC'$ est $\mathscr{A}\left(BCC'\right)=\dfrac{x(8-x)}{2}$.

\item On note $\mathscr{A}(x)$ l'aire de la surface hachurée en fonction de $x$.
%Montrer que pour tout $x$ appartenant à $I$, on a: \[\mathscr{A}(x)=-x^2+4x+32.\]
L'aire du trapèze CDD'C' est $\dfrac{(x+8)\times (8-x)}{2}\\
=\dfrac{(8+x)(8-x)}{2}=\dfrac{64-x^2}{2}$.

\noindent L'aire hachurée est $\mathscr{A}(x)=\dfrac{x(8-x)}{2}+\dfrac{(8+x)(8-x)}{2}\\
=\dfrac{8x-x^2+64-x^2}{2}=\dfrac{-2x^2+8x+64}{2}=\boxed{\textcolor{red}{-x^2+4x+32}}$.

\item %En utilisant les résultats de la partie \textbf{A.},
%déterminer algébriquement les éventuelles valeurs de $x$ pour lesquelles l'aire hachurée est égale
%à $20$\;cm$^2$.
$\mathscr{A}(x)=20\Leftrightarrow -x^2+4x+32=20\Leftrightarrow -x^2+4x+12=0$.

\noindent On retrouve l'équation de la première partie, qui a pour solutions -2 et 6. Comme $x\in[0~;~8]$, la solution est $\boxed{\textcolor{red}{x=6}}$
\end{enumerate}

%\begin{center}
%\begin{pspicture}(-1,0)(6,6.5)
%
%\pspolygon(0,0)(0,6)(6,6)(6,0)
%
%\pspolygon[linearc=0.001,fillstyle=vlines](0,0)(0,4)(2,4)
%\pspolygon[linearc=0.001,fillstyle=hlines](6,0)(2,4)(2,6)(6,6)
%
%\uput{.2}[225](0,0){$B$}
%\uput{.2}[315](6,0){$C$}
%\uput{.2}[45](6,6){$D$}
%\uput{.2}[135](0,6){$A$}
%
%\uput{.2}[180](0,4){$B'$}
%\uput{.2}[135](2,4){$C'$}
%\uput{.2}[90](2,6){$D'$}
%
%\psline{<->}(-0.8,4)(-0.8,6)
%\uput{.2}[180](-0.8,5){$x$}
%
%\end{pspicture}
%
%\end{center}



\end{multicols}

\label{fin}
\end{document}  
