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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Exercices de probabilité (26 mars 2015)}}\end{center}





\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{}
Quel est le nombre manquant pour que le tableau 
ci-dessous définisse une loi de probabilité. 
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
$x_i$&2&8&9\\
\hline
$p_i$&0,3&0,5&\textbf{\textcolor{red}{0,2}}\\
\hline
\end{tabularx}
\end{center}
car la somme de toutes les probabilités est égale à 1.
\subsection{}
Pour chacune des propriétés suivantes, dire si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse :

\begin{enumerate}
\item On lance deux dés marqués chacun de 1 à 6. 
\begin{enumerate}[a)]
\item Si A est l'événement \og{}obtenir un double six\fg{}, alors $\overline{\text{A}}$ est l'événement \og{}n'obtenir aucun six\fg.\\
\textbf{\textcolor{red}{FAUX}} : $\overline{\text{A}}$ est l'événement \og{}obtenir au plus un six\fg{} (donc un six ou aucun six).

\item Si B est l'événement \og{}obtenir un 4 et un 5\fg, alors $\overline{\text{B}}$ est l'événement \og{}n'obtenir ni 4 ni 5\fg{}.\\
\textbf{\textcolor{red}{FAUX}} $\overline{B}$ EST L'ÉVÉNEMENT \og{}Ne pas obtenir un 4 \textbf{ou} ne pas obtenir un 5\fg{}
\end{enumerate}



\item 
\begin{enumerate}[a)]
\item Si $p(A\cap B)=0$, alors $p(A\cup B)=p(A)+p(B)$\\
\textbf{\textcolor{red}{VRAI}} : En effet : $p(A\cup B)=p(A)+b(B)-p(A\cap B)\\
=p(A)+p(B)-0=p(A)+p(B)$

\item Si $p(A\cup B)=p(A)+p(B)$, alors $p(A\cap B)=0$\\
\textbf{\textcolor{red}{VRAI}}, CAR $P(A\cap B)=p(A)+p(B)-p(A\cup B)$
\end{enumerate}

\item 
\begin{enumerate}[a)]
\item Si $A\subset B$, alors $p(A)\leqslant p(B)$. ($\subset$ signifie \og{}est inclus dans\fg{}).\\
$A\subset B$ si et seulement si tous les éléments de A appartiennent à B.\\
\textbf{\textcolor{red}{VRAI}}

\noindent Première méthode : $p(B)$ est la somme des probabilités de tous les événements élémentaires de B ; dans cette somme, on a la somme de tous les événements élémentaires de A, donc $p(A)\leqslant p(B)$.

\bigskip

\textbf{\textcolor{red}{Deuxième méthode}} : Les éléments de B sont de deux sortes : ceux qui sont dans A et ceux qui ne sont pas dans A, donc dans $\overline{A}$.

\noindent On peut donc écrire $B=(B\cap A)\cup (B\cap \overline{A}$ ; $B\cap A$ et $B\cap \overline{A}$ ont une intersection vide, donc \\
$p(B)=p(B\cap A)+p\left(B\cap\overline{A}\right)$.

\noindent On en déduit que $p(B\cap A)\leqslant p(B)$.

\noindent Si $A\subset B$, $B\cap A=A$ ; on en déduit $p(A)\leqslant p(B)$.

\item Si $p(A)\leqslant p(B)$, alors $A\subset B$.\\
\textbf{\textcolor{red}{Contre-exemple}} : on mange un dé. L'univers associé à cette expérience aléatoire est \\
$\Omega=\{1~;~2~;~3~;~'~;~5~;~6\}$.

\noindent On considère les événements : 
\begin{itemize}
\item A : \og{}obtenir la fac numérotée 1\fg{}

\item  B: \og{}obtenir un multiple de 2\fg{}
\end{itemize}
On a $A=\{1\}$ et $B=\{2~;~4~;~6\}$\\
$\boxed{\textcolor{red}{p(A)=\dfrac{1}{6}}}$ et $\boxed{\textcolor{red}{p(B)=\dfrac{3}{6}=\dfrac{1}{2}}}$\\
$p(A)\leqslant p(B)$ mais A n'est \textbf{\textcolor{red}{pas inclus}} dans B !
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{Le rap en question }}
Dans un groupe de 60 personnes, 34 aiment le rap, 24 ont plus de 20 ans, et parmi ces 24 personnes, 8 aiment le rap. 

\begin{enumerate}
\item Recopier et compléter le tableau suivant. 
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
\backslashbox{Goût}{Âge}&Moins de 20 ans&Plus de 20 ans&Total\\
\hline
Aiment le rap &\textcolor{red}{26}&8&34\\
\hline
N'aiment pas le rap&\textcolor{red}{10}&\textcolor{red}{16}&\textcolor{red}{26}\\
\hline
Total&\textcolor{red}{36}&24&60\\
\hline
\end{tabularx}

\end{center}
\item On rencontre au hasard une personne de ce groupe. Calculer la probabilité de chacun des événements : 

\begin{itemize}
\item A : \og{}la personne a plus de 20 ans\fg{}; 

\item B : \og{}la personne n'aime pas le rap \fg{}: 

\item C .\og{} la personne a plus de 20 ans et n'aime pas le rap \fg{}. 
\end{itemize}

\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $p(A)=\dfrac{24}{60}=\dfrac{12\times 2}{12\times 5}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{2}{5}}}$.

\item $p(B)=\dfrac{26}{60}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{13}{30}}}$

\item $p(C)=\dfrac{16}{60}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{4}{15}}}$
\end{enumerate}\end{enumerate}

\subsection{}
On lance deux dés normaux à six faces. On appelle $m$ le plus petit des deux résultats obtenus.

\noindent En dessinant un tableau à double entrée, donner la loi de probabilité modélisant cette expérience aléatoire.
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
\rowcolor{cyan!20}\backslashbox{Dé 2}{Dé 1}&1&2&3&4&5&6\\
\hline
\cellcolor{cyan!20}1&1&1&1&1&1&1\\
\hline
\cellcolor{cyan!20}2&1&2&2&2&2&2\\
\hline
\cellcolor{cyan!20}3&1&2&3&3&3&3\\
\hline
\cellcolor{cyan!20}4&1&2&3&4&4&4\\
\hline
\cellcolor{cyan!20}5&1&2&3&4&5&5\\
\hline
\cellcolor{cyan!20}6&1&2&3&4&5&6\\
\hline
\end{tabularx}

\end{center}Dans chaque case, on place le nombre $m$, minimum des deux faces :  par exemple, pour le couple $(2~;~4)$, le minimum est $m=2$.
Chaque case a la même probabilité qui est $\dfrac{1}{36}$.

\noindent $m=3$ apparaît sept fois, donc $\boxed{\textcolor{red}{p(m=3)=\dfrac{7}{36}}}$.

\noindent On en déduit la loi de probabilité de $m$ est :
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
$x_i$&1&2&3&4&5&6\\
\hline
$p\left(m=x_i\right)$&$\dfrac{11}{26}$&$\dfrac{9}{36}$&$\dfrac{7}{36}$&$\dfrac{5}{36}$&$\dfrac{3}{36}$&$\dfrac{1}{36}$\\
\hline
\end{tabularx}
\end{center}

\subsection{\textcolor{blue}{Trois lancers }}
Une pièce bien équilibrée est lancée trois fois.

\noindent On désigne par $a$ le nombre de fois où l'on a obtenu \og{} pile \fg{}. 

\begin{enumerate}
\item En utilisant un arbre de dénombrement, déterminer la probabilité de chacun des événements : 

\noindent Arbre : 
\begin{center}
%\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}
\psset{nodesep=0mm,levelsep=20mm,treesep=5mm}
\pstree[treemode=R]{\Tdot}
{
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$P$}\taput{ $$}}
{
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$P$}\taput{ $$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$P$}\taput{ $$}
\Tdot~[tnpos=r]{$F$}\tbput{ $$}
}
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$F$}\tbput{ $$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$P$}\taput{ $$}
\Tdot~[tnpos=r]{$F$}\tbput{ $$}
}
}
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$F$}\tbput{ $$}}
{
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$P$}\taput{ $$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$P$}\taput{ $$}
\Tdot~[tnpos=r]{$F$}\tbput{ $$}
}
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$F$}\tbput{ $$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$P$}\taput{ $$}
\Tdot~[tnpos=r]{$F$}\tbput{ $$}
}
}
}


\end{center}

\begin{enumerate}[a)]
\item  $p(\og{}a=3\fg{})=\dfrac{1}{8}$ car il y a 8 chemins possibles et un seul comportant trois \og{}Pile\fg{}.

\item $p(\og{}a=0\fg{})=\dfrac{1}{8}$ (cela revient à avoir trois \og{}Face\fg{})

\item $p(\og{}a=1\fg{})=\dfrac{3}{8}$ car il y a trois chemins ne comportant qu'un seul résultat \og{}Face\fg{} : FPP~;~PFP~;~PPF
\end{enumerate}

\item Donner de deux manières la probabilité de l'événement \og{}a = 2\fg{} :
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item \textbf{\textcolor{blue}{Calcul direct}} : $p(\og{}a=2\fg{})=\dfrac{3}{8}$ en comptant directement le nombre de chemins comptant deux résultats \og{}Face\fg{}.

\item On sait que la somme de toutes les probabilités vaut 1, donc\\
 $p(\og{}a=2\fg{})=1-\left[p(\og{}a=0\fg{})+p(\og{}a=1\fg{}+p(\og{}a=3\fg{}))\right]=1-\left(\dfrac{1}{8}+\dfrac{3}{8}+\dfrac{1}{8}\right)\\
 =1-\dfrac{5}{8}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{3}{8}}}$
\end{enumerate}

\end{enumerate}


\end{multicols}

\label{fin}
\end{document}  