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-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{fancy}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Correction du contrôle commun \no 2}}\end{center}

%\begin{multicols}{2}
%\setlength{\columnseprule}{1pt}
%\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection*{\textcolor{blue}{Exercice I}}




\begin{enumerate}
\item Développons les expressions suivantes :
\begin{enumerate}[$A(x)$=]
\item \marginpar{(1)}$(3x - 4) ^2 - 2(x + 3)=9x^2-24x+16-2x-6=\boxed{\textcolor{red}{9x^2-26x+10}}$

\bigskip

\item \marginpar{(1)}$= (4x + 1)\left(-6x -\dfrac{3}{2}\right)=-24x^2-6x-6x-\dfrac{3}{2}=\boxed{\textcolor{red}{-24x^2-12x-\dfrac{3}{2}}}$

\bigskip

\item \marginpar{(1)}$ = 3(5x - 2)(4 - x)=3\left[20x-5x^2-8+2x\right]=3\left[-5x^2+22x-8\right]=\boxed{\textcolor{red}{-15x^2+66x-24}}$
\end{enumerate}


\item Factorisons les expressions suivantes :
\begin{enumerate}[$D(x)=$]
\item \marginpar{(1)}$= (x - 11)(6x - 5) - 3(6x - 5)=(6x-5)\left[(x-11)-3\right]=\boxed{\textcolor{red}{(6x-5)(x-14)}}$

\bigskip

\item \marginpar{(1)}$= (7x - 1)^2 - 64=(7x-1)^2-8^2=\left[(7x-1)+8\right]\left[(7x-1)-8\right]=(7x+7)(7x-9)=\boxed{\textcolor{red}{7(x+1)(7x-9)}}$

\bigskip

\item \marginpar{(1)}$= 4x^2 - 12x + 9=(2x)^2-2\times 2x\times 3+3^2=\boxed{\textcolor{red}{(2x-3)^2}}$

\end{enumerate}
\end{enumerate}




\subsection*{\textcolor{blue}{Exercice II}}

Résolvons les équations ou inéquations suivantes :


%\begin{multicols}{2}
%\setlength{\columnseprule}{1pt}
%\setlength{\columnsep}{2 cm}

\begin{enumerate}
\item \marginpar{(1)}$\left(x -\dfrac{7}{3}\right) (-5x + 2) = 0$.

\noindent Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, l'un des facteurs est nul.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Premier cas : $x-\dfrac{7}{3}=0\Leftrightarrow x=\dfrac{7}{3}$.

\item Second cas : $-5x+2=0\Leftrightarrow x=\dfrac{2}{5}$

\end{enumerate}
L'ensemble des solutions est $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\left\{\dfrac{2}{5}~;~\dfrac{7}{3}\right\}}}$

\bigskip

\item \marginpar{(1,5)}$x(3x - 8) = 4x\Leftrightarrow x(3x-8)-4x=0\Leftrightarrow x\left[(3x-8)-4\right]=0\Leftrightarrow x(3x-12)=0\Leftrightarrow x\times 3(x-4)=0\\
\Leftrightarrow 3x(x-4)=0\Leftrightarrow x(x-4)=0$ (en simplifiant par 3).  $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\{0~;~4\}}}$
\bigskip

\item  $ (3x - 1)^2 - (6x + 5)^2 = 0\Leftrightarrow \left[(3x-1)+(6x+5)\right]\left[(3x-1)-(6x+5)\right]=0\Leftrightarrow (3x-1+6x+5)(3x-1-6x-5)=0\Leftrightarrow (9x+4)(-3x-6)=0\Leftrightarrow (9x+4)\times (-3)(x+2)=0\Leftrightarrow -3(9x+4)(x+2)=0\Leftrightarrow (9x+4)(x+2)=0$ (en simplifiant par -3).

\noindent On en déduit : $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\left\{-2~;~-\dfrac{4}{9}\right\}}}$ \marginpar{(1,5)}

\item $5x - 11\geqslant  8x + 3\Leftrightarrow 5x-8x\geqslant 3+11\Leftrightarrow -3x\geqslant 14\Leftrightarrow x\leqslant -\dfrac{14}{3}$ (l'inégalité change de sens puisque l'on divise par un nombre négatif). $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\left]-\infty~;~-\dfrac{14}{3}\right\}}}$ \marginpar{(1)}
\bigskip

\item $(3x + 1)(4x - 5) < 7x(4x - 5)\Leftrightarrow (3x + 1)(4x - 5) - 7x(4x - 5)<0\Leftrightarrow (4x-5)\left[(3x+1)-7x\right]<0\\
\Leftrightarrow (4x-5)(-4x+1)<0$.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $4x-5=0\Leftrightarrow x=\dfrac{5}{4}$ et $4x-5<0$ pour $x<\dfrac{5}{4}$ (soit en résolvant l'inéquation, soit en remarquant que $x\mapsto 4x-5$ est une fonction affine croisante puisque le coefficient directeur est 4, nombre positif)

\item $-4x+1=0\Leftrightarrow x=\dfrac{1}{4}$ et $-4x+1<0$ pour $x>\dfrac{1}{4}$ (on divise par -4, négatif ou on remarque que la fonction affine $x\mapsto -5a+1$ est décroissante puisque son coefficient directeur est -4, négatif)

\item On renseigne alors un tableau de signes :
\begin{center}
\begin{variations}
x&\mI&&\dfrac{1}{4}&&\dfrac{5}{4}&&\pI\\
\hline
\text{Signe de }4x-5&&-&\l&-&\z&+&\\
\hline
\text{Signe de }-4x+1&&+&\z&-&\l&-&\\
\hline
\text{Signe du produit}&&-&\z&+&\z&-&\\
\hline
\end{variations}
\end{center}

\item Conclusion : l'ensemble des solutions est $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\left]-\infty~;~\dfrac{1}{4}\right[\cup\left]\dfrac{5}{4}~;~+\infty\right[}}$ \marginpar{(2,5)}
\end{enumerate}
\bigskip

\item Soit l'inéquation $\dfrac {5x - 1}{3 + 8x}\leqslant 0$

\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item \textbf{Ensemble de définition} : $3+8x=0\Leftrightarrow x=-\dfrac{3}{8}$ ; la valeur interdite est $-\dfrac{3}{8}$.

\noindent L'ensemble de définition est $\boxed{\textcolor{red}{\mathbb{R}\setminus\left\{-\dfrac{3}{8}\right\}}}$.

\item $5x-1=0~;~x=\dfrac{1}{5}$ et $5x-1<0\Leftrightarrow x<\dfrac{1}{5}$.

\item $3+8x<0\Leftrightarrow 8x<-3\Leftrightarrow x<-\dfrac{3}{8}$

\item On renseigne alors un tableau de signes :
\begin{center}
\begin{variations}
x&\mI&&&-\dfrac{3}{8}&&&\dfrac{1}{5}&&&\pI\\
\hline
\text{Signe de }5x-1&&\dr-&\bb&\dr-&\z&\dr+&\\
\hline
\text{Signe de }3+8x&&\dr-&\bb&\dr+&\l&\dr+&\\
\hline
\text{Signe du produit}&&\dr+&\bb&\dr-&\z&\dr+&\\
\hline
\end{variations}
\end{center}

\item \textbf{Conclusion }: L'ensemble des solutions est $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\left]-\dfrac{3}{8}~;~\dfrac{1}{5}\right]}}$ \marginpar{(2,5)}

\end{enumerate}
\end{enumerate}

%\end{multicols}

\subsection*{\textcolor{blue}{Exercice III}}

\begin{enumerate}
\item Déterminer, par lecture graphique, l'équation réduite de chaque droite tracée ci-dessus.
\begin{center}
\newrgbcolor{xdxdff}{0.490196078431 0.490196078431 1.}
\psset{xunit=0.7cm,yunit=0.7cm,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-5.5,-5.5)(5.5,5.)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1.,Dy=1.,ticksize=-2pt 0,subticks=2,linewidth=2pt]{->}(0,0)(-5,-5)(5,5)
\psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0,gridwidth=0.3pt,linecolor=blue,linewidth=2pt](0,0)(-5,-5)(5,5)
\uput[dl](0,0){O}

\psplot[plotpoints=200,linewidth=2pt,linecolor=blue]{-5.5}{5.5}{3.00000000000*x-4.00000000000}
\psplot[linewidth=2pt,linecolor=red]{-5.5}{5.5}{(-2.-0.*x)/1.}
\psplot[plotpoints=200,linewidth=2pt,linecolor=green]{-5.5}{5.5}{x/2.00000000000+2.00000000000}
\psplot[plotpoints=200,linewidth=2pt,linecolor=cyan]{-5.5}{5.5}{-4.00000000000*x}
\psline[linewidth=2pt](4.,-5.5)(4.,5.)
\begin{scriptsize}
%\rput[bl](-0.68,-6.5){$f$}
%\rput[bl](-4.2,-1.82){$a$}
%\rput[bl](-4.2,-0.36){$g$}
%\rput[bl](-1.38,5.98){$h$}
%\rput[bl](4.16,5.98){$b$}
%\psdots[dotstyle=*,linecolor=xdxdff](1.78,1.34)
\rput[bl](1.88,1.32){$d_1$}
%\psdots[dotstyle=*,linecolor=xdxdff](-1.82,1.09)
\rput[bl](-2.14,1.3){$d_3$}
%\psdots[dotstyle=*,linecolor=xdxdff](-1.86,-2.)
\rput[bl](-2.02,-1.66){$d_2$}
%\psdots[dotstyle=*,linecolor=xdxdff](-0.88,3.52)
\rput[bl](-1.24,3.54){$d_4$}
%\psdots[dotstyle=*,linecolor=xdxdff](4.,1.76)
\rput[bl](4.14,1.72){$d_5$}
\end{scriptsize}
\end{pspicture*}
\end{center}

\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $d_1$ : l'ordonnée à l'origine est -4 ; le coefficient directeur est 3 donc l'équation de $d_1$ est $\boxed{\textcolor{red}{y=3x-4}}$.

\item $d_2$ : cette droite est parallèle à l'axe des abscisses donc son coefficient directeur est nul ; son ordonnée à l'origine est -2. Son équation est : $\boxed{\textcolor{red}{y=-2}}$.

\item $d_3$ : l'ordonnée à l'origine est 2 ; le coefficient directeur est $\dfrac{1}{2}$ donc son équation est $\boxed{\textcolor{red}{y=\dfrac{1}{2}x+2}}$

\item $d_4$ : la droite passe par l'origine ; son ordonnée à l'origine est donc 0 (fonction linéaire) ; le coefficient directeur est -4 donc son équation est $\boxed{\textcolor{red}{y=-4x}}$.

\item $d_5$ : cette droite est parallèle à l'axe des ordonnées ; les abscisses de tous les points de $d_5$ valent 4, donc son équation est $\boxed{\textcolor{red}{x=4}}$
\end{enumerate}\marginpar{(2,5 pt)}

\bigskip

\noindent 
On considère les points suivants : A(33~;~4) ; B(-12~;~-11) et C(8~;~-4)


\item Déterminons, par le calcul, l'équation réduite de la droite (AB).
$x_A\neq x_B$ donc $(AB)$ est sécante à l'axe $(Oy)$.

\noindent Son coefficient directeur est $a=\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}=\dfrac{-11-4}{-12-33}=\dfrac{-15}{-45}=\dfrac{1}{3}$.

\noindent L'équation réduite de $(AB)$ est donc $y=\dfrac{1}{3}x+b$.

\noindent Calcul de $b$ : les coordonnées de A vérifient cette équation donc $y_A=\dfrac{1}{3}x_1+b\Leftrightarrow 4=\dfrac{1}{3}\times 33+b\Leftrightarrow 4=11+b$ d'où $b=4-11=-7$.\marginpar{(1,5 pt)}

\noindent L'équation de $(AB)$ est $\boxed{\textcolor{red}{y=\dfrac{1}{3}x-7}}$

\item %Les points A; B et C sont-ils alignés ? Justifier.
$\dfrac{1}{3}x_C-7=\dfrac{1}{3}\times 8-7=\dfrac{8}{3}-7=\dfrac{8-21}{3}=-\dfrac{13}{3}\neq -4$ donc $\dfrac{1}{3}x_C\neq y_C$.\\
Les coordonnées de C ne vérifient pas l'équation de la droite $(AB)$ donc \textbf{\textcolor{red}{A, B et C ne sont pas alignés}}.\marginpar{(1 pt)}
\end{enumerate}

\subsection*{\textcolor{blue}{Exercice IV}}

On considère les fonctions définies par les expressions suivantes :
\[f(x) = -3 - 2x~;~g(x) =\dfrac{6x - 2}{3}~;~\text{et }h(x) = 5x + 2.\]
\begin{enumerate}
\item  %Tracer, en justifiant, le tableau de variations des fonctions $f$ et $h$.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Le coefficient directeur de $f$ est $-2<0$, donc $f$ est \textbf{\textcolor{red}{décroissante}}.

\item $h$ a pour coefficient directeur $5>0$, donc $h$ est \textbf{\textcolor{red}{croissante}}.
\end{enumerate}
Les tableaux de variation sont :
\marginpar{(1 pt)}

\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{0pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\begin{center}
\begin{variations}
x&\mI&&\pI\\
\hline
\m{f(x)}&&\d&\\
\hline
\end{variations}

\end{center}

\begin{center}
\begin{variations}
x&\mI&&\pI\\
\hline
\m{h(x)}&&\c&\\
\hline
\end{variations}
\end{center}


\end{multicols}
\item %Tracer, en justifiant, le tableau de signes des fonctions $f$ et $g$.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $f$ est \textbf{\textcolor{red}{décroissante}}.

\noindent $f(x)=0\Leftrightarrow -3-2x=0\Leftrightarrow -2x=3\Leftrightarrow x=-\dfrac{3}{2}$.

\item $g(x)=\dfrac{6x-2}{3}=\dfrac{6x}{3}-\dfrac{2}{3}=2x-\dfrac{2}{3}$. Le coefficient directeur est 2, positif, donc la fonction $g$ est \textbf{\textcolor{red}{croissante}}.

\noindent $g(x)=0\Leftrightarrow 6x-2=0\Leftrightarrow x=\dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3}$
\end{enumerate}
On en déduit les tableaux de signes :


\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{0pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}
\begin{center}
\begin{variations}
x&\mI&&&-\dfrac{3}{2}&&&\pI\\
\hline
f(x)&&\dr+&\z&\dr-&\\
\hline
\end{variations}
\end{center}


\begin{variations}
x&\mI&&&\dfrac{1}{3}&&&\pI\\
\hline
g(x)&&\dr-&\z&\dr+&\\
\hline
\end{variations}
\end{multicols}\marginpar{(2,5 pt)}


\item%Le point B(-3~;~3) appartient-il à la courbe représentative de la fonction $f$ ? à celle de la fonction $g$ ?
$f\left(x_B\right)=f(-3)=-3-2\times (-3)=-3+6=3=y_B$ donc $\boxed{\textcolor{red}{B\in\mathscr{C}_f}}$.

\noindent $g\left(x_B\right)=g(-3)=\dfrac{6\times (-3)-2}{3}=\dfrac{-20}{3}\neq y_B$ donc $\boxed{\textcolor{red}{B\notin\mathscr{C}_g}}$. \marginpar{(1 pt)}

\end{enumerate}

\subsection*{\textcolor{blue}{Exercice V}}

\textbf{\textcolor{red}{Partie I :}}

\noindent %Les résultats d'un sondage sur les pointures des personnes interrogées à la sortie d'un cinéma sont donnés dans le tableau ci-dessous :
%
\begin{enumerate}
\item %Compléter le tableau.
Le tableau a été complété ci-dessous.
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
Valeurs & 35&37&38&39&40&41&42&44&45\\
\hline
Effectifs&4&5&10&16&11&10&7&4&3\\
\hline
Fréquences&0,06&0,07&0,14&0,23&0,16&0,14&0,10&0,06&0,04\\
\hline
Effectifs cumulés croissants &4&9&19&35&46&56&63&67&70\\
\hline
\end{tabularx}\marginpar{(1 pt)}
\end{center}

\item %Calculer la moyenne de cette série statistique.
L'effectif est de 70.
	
	\noindent La moyenne est $\overline{x}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{2784}{70}\approx 39,77}}$\marginpar{(0,5 pt)}
	
\item %Calculer la médiane et les quartiles de cette série statistique.
70 est pair ; $70=2\times 35$ ; la médiane est la moyenne entre les valeurs de rang 35 et 36 : \\
$M=\dfrac{39+40}{2}=39,5$ : $\boxed{\textcolor{red}{M=39,5}}$.

\noindent $25\:\%\textbf{}70=17,5$ donc le premier quartile est la valeur de rang 18 : $\boxed{\textcolor{red}{Q_1=38}}$.

\noindent $75\:\%\textbf{}70=52,5$ donc le troisième quartile est la valeur de rang 53 : $\boxed{\textcolor{red}{Q_3=41}}$.
\marginpar{(3 pt)}

\item Complétons les phrases suivantes :

\noindent 75\:\% des personnes interrogées ont une pointure supérieure ou égale à 38.


\noindent 25\:\% des personnes interrogées ont une pointure inférieure ou égale à 38

\noindent 50 \:\% des personnes interrogées ont une pointure comprise entre 38 et 41 (si on utilise les deux quartiles).

\noindent On a aussi 50\:\% des personnes qui ont une pointure entre 35 et 39,5 (entre la valeur minimum et la médiane) ou entre 39,5 et 45 (entre la médiane et la valeur maximum)
\marginpar{(1 pt)}
\end{enumerate}
\vspace{1cm}

\textbf{\textcolor{red}{Partie II :}}
Les résultats d'un sondage sur le temps de travail hebdomadaire des élèves de 2\up{nde} sont donnés dans le tableau ci-dessous :
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
Valeurs &[0 ; 2[& [2 ; 5[& [5 ; 10[& [10 ; 20[ &Total\\
\hline
Effectifs& 12& 36& 72& 180&300\\
\hline
Angles en degrés &14,4&43,2&86,4&216&360\\
\hline
\end{tabularx}
\end{center}
%
%
\begin{enumerate}
\item \marginpar{(0,5 pt)}%Calculer la moyenne de cette série statistique.
Pour calculer la moyenne, on utilise les milieux de chaque intervalle.

$\overline{x}=\dfrac{(1\times 12)+(3,5\times 36)+(7,5\times 72)+(15\times 180)}{300}=\dfrac{12+124+540+2700}{300}=\dfrac{3376}{300}\approx 11,25$
%
\item \marginpar{(2 pt)}%Compléter le tableau puis tracer le diagramme circulaire de la série statistique.
Le tableau est complété ci-dessus.
%
\noindent Diagramme circulaire

\begin{center}
\newrgbcolor{dcrutc}{0.862745098039 0.078431372549 0.235294117647}
\psset{xunit=2cm,yunit=2cm,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-3.5,-1.5)(3.5,1.5)
%%\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=0.5,Dy=0.5,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-1.5,-1.5)(1.5,1.5)
\pscircle[linecolor=dcrutc](0.,0.){2}
\parametricplot{0.0}{1.5707963267948966}{1.*1.*cos(t)+0.*1.*sin(t)+0.|0.*1.*cos(t)+1.*1.*sin(t)+0.}
%\begin{scriptsize}
%\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](0.,0.)
%\rput[bl](0.023038909529,0.0326021731864){\blue{$O$}}
%%\rput[bl](-0.501199414991,0.739184262757){\dcrutc{$c$}}
%\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](1.,0.)
%\rput[bl](1.02023137465,0.0326021731864){\blue{$A$}}
%\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](0.,1.)
%\rput[bl](0.023038909529,1.03549288096){\blue{$B$}}
%\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](-0.587785252292,0.809016994375)
%\rput[bl](-0.563880084227,0.841752630598){\blue{$C$}}
%\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](0.,-1.)
%\rput[bl](0.023038909529,-0.964590291933){\blue{$D$}}
%%\rput[bl](0.741017484415,0.744882505415){$d$}
%\end{scriptsize}
\pswedge[fillstyle=solid,fillcolor=yellow](0,0){2}{0}{14.4}
\pswedge[fillstyle=solid,fillcolor=cyan](0,0){2}{14.4}{57.6}
\pswedge[fillstyle=solid,fillcolor=green](0,0){2}{57.6}{144}
\pswedge[fillstyle=solid,fillcolor=red!40](0,0){2}{144}{360}
\uput[r](1, 0.1){[0~;~2]}
\uput[r](0.8, 0.6){[2~;~5]}
\uput[u](0, 1){[5~;~10]}
\uput[d](0, -1){[10~;~20]}
\end{pspicture*}
\end{center}

\end{enumerate}


\subsection*{\textcolor{blue}{Exercice VI}}
Dans la figure suivante, ABCD est un carré de 4 cm de côté, le point I est le milieu du segment [AD] et le point M appartient au segment [AB]. On notera A$M = x$


\begin{center}
\newrgbcolor{zzttqq}{0.6 0.2 0.}
\newrgbcolor{xdxdff}{0.490196078431 0.490196078431 1.}
\psset{xunit=0.7cm,yunit=0.7cm,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-1.,-1.)(5.,5.)
\pspolygon[linecolor=zzttqq,fillstyle=solid,opacity=0.1](0.,4.)(4.,4.)(4.,0.)(0.,0.)
\pspolygon[linecolor=zzttqq,fillcolor=cyan!50,fillstyle=solid,opacity=0.1](0.,2.)(4.,0.)(1.,4.)
\psline[linecolor=zzttqq](0.,4.)(4.,4.)
\psline[linecolor=zzttqq](4.,4.)(4.,0.)
\psline[linecolor=zzttqq](4.,0.)(0.,0.)
\psline[linecolor=zzttqq](0.,0.)(0.,4.)
\psline[linecolor=zzttqq](0.,2.)(4.,0.)
\psline[linecolor=zzttqq](4.,0.)(1.,4.)
\psline[linecolor=zzttqq](1.,4.)(0.,2.)
\begin{scriptsize}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](0.,0.)
\rput[bl](-0.46,0.06){\blue{$D$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](4.,0.)
\rput[bl](4.08,0.12){\blue{$C$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](4.,4.)
\rput[bl](4.08,4.12){\blue{$B$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](0.,4.)
\rput[bl](-0.4,4.04){\blue{$A$}}
%\rput[bl](2.,3.68){\zzttqq{$a$}}
%\rput[bl](3.68,2.){\zzttqq{$b$}}
%\rput[bl](2.,0.32){\zzttqq{$c$}}
%\rput[bl](0.32,2.){\zzttqq{$d$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=darkgray](0.,2.)
\rput[bl](0.08,2.12){\darkgray{$I$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=xdxdff](1.,4.)
\rput[bl](0.96,4.22){\xdxdff{$M$}}
%\rput[bl](1.84,0.72){\zzttqq{$m$}}
%\rput[bl](2.74,2.2){\zzttqq{$i$}}
%\rput[bl](0.2,3.16){\zzttqq{$c_1$}}
\end{scriptsize}
\end{pspicture*}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item \marginpar{(0,5 pt)}%À quel intervalle appartient la variable $x$ ? Justifier.
$M$ varie entre A et B, donc $\boxed{\textcolor{red}{x\in[0~;~4]}}$.

\item \marginpar{(0,5 pt)}%Calculer l'aire du triangle rectangle IDC.
L'aire du triangle IDC est $\mathscr{A}(\text{IDC})=\dfrac{\text{ID}\times \text{DC}}{2}=\dfrac{2\times 4}{2}=4$.

\item%Exprimer l'aire du triangle rectangle AMI en fonction de $x$, notée $f(x)$.
L'aire du triangle rectangle A$M$I vaut :

\noindent $\mathscr{A}(\text{A}M\text{I})=f(x)=\dfrac{\text{A}M\times \text{AI}}{2}=\dfrac{x\times 2}{2}=x$ donc $\boxed{\textcolor{red}{f(x)=x}}$. \marginpar{(0,5 pt)} 

\item %Exprimer l'aire du triangle rectangle MBC en fonction de $x$, notée $g(x)$.
L'aire du triangle rectangle $M\text{BC}$ est $g(x)=\dfrac{M\text{B}\times \text{BC}}{2}=\dfrac{(4-x)\times 4}{2}=2(4-x)=8-2x$ donc $\boxed{\textcolor{red}{g(x)=8-2x}}$\marginpar{(1 pt)}

\textbf{Partie II :}

\item %En admettant si besoin que $f(x) = x$ et $g(x) = 8-2x$, représenter dans un même repère les courbes des fonctions $f$ et $g$.
Représentons les fonctions $f:x\mapsto x$ et $g:x\mapsto 8-2x$.
\begin{center}
\psset{xunit=0.7cm,yunit=0.7cm,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-1.,-1.)(5.,9.)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1.,Dy=1.,ticksize=-2pt 0,subticks=2,linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-1.,-1.)(5.,9.)
\psgrid[gridlabels=0](0,0)(-1.,-1.)(5.,9.)
\psplot[plotpoints=200,linewidth=2pt,linecolor=blue]{0}{4}{x}
\psplot[plotpoints=200,linewidth=2pt,linecolor=red]{0}{4}{8.00000000000-2.00000000000*x}
\begin{scriptsize}
\uput[l](1,1){$\mathscr{C}_f$}
\rput[bl](1.1,5.98){$\mathscr{C}_g$}
\end{scriptsize}
\psdots[dotstyle=x](2.67,2.67)
\uput[r](2.67,2.67){A}
\psline[linewidth=2pt](0,4)(4,4)
\uput[u](3,4){$y=4$}
\end{pspicture*}
\end{center}\marginpar{(1 pt)}

\item %À partir de l'observation des deux courbes, déterminer les positions du point $M$ pour lesquelles l'aire de A$M$I est supérieure ou égale à celle de l'aire de $M$BC.
L'aire de A$M$I est supérieure ou égale à celle de l'aire de $M$BC correspond à l'inéquation $x\geqslant 8-2x$, c'est-à-dire $f(x)\geqslant g(x)$.

\noindent Graphiquement, on trouve que $x$ doit être \textbf{\textcolor{red}{supérieur à environ 2,6}}.
\marginpar{(0,5 pt)}

\item %Répondre à la question précédente par le calcul et comparer les résultats obtenus.
On résout l'équation $f(x)\geqslant g(x)$ :

\noindent $x\geqslant 8-2x\Leftrightarrow 3x\geqslant 8\Leftrightarrow \boxed{\textcolor{red}{x\geqslant \dfrac{8}{3}}}$.

\noindent L'aire de A$M$I est supérieure ou égale à celle de l'aire de $M$BC pour $x\geqslant \dfrac{8}{3}$.\marginpar{(1 pt)}

\item %Toujours sur le même repère, tracer la courbe de la fonction $h$ définie par $h(x) = 4$. En déduire les valeurs de $x$ pour lesquelles l'aire de $M$BC est inférieure ou égale à celle de IDC.
On trace sur le même graphique la droite d'équation $y=4$ (voir ci-dessus).

\noindent Les valeurs de $x$ pour lesquelles l'aire de $M$BC est inférieure ou égale à celle de IDC sont les solutions de l'inéquation $8-2x\leqslant 4$, donc les valeurs de $x$ pour lesquelles la courbe $\mathscr{C}_g$ est en dessous de la droite d'équation $y=4$.

\noindent Graphiquement, on trouve que $x$ doit être supérieur ou  ; égal à 2 : $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=[2~;~4]}}$.
\end{enumerate}\marginpar{(1 pt)}

%\end{multicols}

\label{fin}
\end{document}  
