\documentclass[11pt] {article} \usepackage[T1]{fontenc} 
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{amsmath,amssymb,graphicx,multicol,mathrsfs, fancyhdr,enumerate,fourier,eurosym,alterqcm,enumerate,tabularx,variations,numprint}
\usepackage[dvips]{color}
\usepackage{bclogo}
\usepackage{pst-plot,pst-tree,pstricks,pst-node,pstricks-add,pst-math,pst-xkey,pst-eucl}
\usepackage[francais]{babel} 
\everymath{\displaystyle}
%\usepackage[colorlinks=true,pdfstartview=FitV,linkcolor=blue,citecolor=blue,urlcolor=blue]{hyperref}
\textwidth 19cm \textheight 26cm \hoffset 
-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{fancy}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{2\up{nde} Contrôle sur les vecteurs (1 heure)}}\end{center}

\subsection{\textcolor{blue}{(4 points)}}
On considère les points A, B et C représentés ci-dessous.
\begin{center}
\psset{unit=1.2,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(0.,-1)(12.,7.)
\psdots[dotstyle=x,dotscale=3,linecolor=blue,linewidth=1.5pt](2,3)
\uput[l](2,3){\blue{$A$}}
\psdots[dotstyle=x,dotscale=3,linecolor=blue,linewidth=1.5pt](4,1)
\uput[d](4,1){\blue{$B$}}
\psdots[dotstyle=x,dotscale=3,linecolor=blue,linewidth=1.5pt](9,2)
\uput[d](9,2){\blue{$C$}}
\psdots[dotstyle=x,dotscale=3](11,0)
\uput[dr](11,0){$D$}
\psdots[dotstyle=x,dotscale=3](7,4)
\uput[ur](7,4){\darkgray{$E$}}
\psgrid[subgriddiv=1,linewidth=1.2pt](0.,-1)(12,7.)
\psline(2,3)(4,1)
\psline(4,1)(11,0)
\psline(11,0)(9,2)
\psline(9,2)(2,3)
%%%%%
\psline(4,1)(9,2)
\psline(9,2)(7,4)
\psline(7,4)(2,3)
\end{pspicture*}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item %Construire D tel que $\overrightarrow{\text{AD}}=\overrightarrow{\text{AB}}+\overrightarrow{\text{AC}}$.
Pour construire D tel que $\overrightarrow{\text{AD}}=\overrightarrow{\text{AB}}+\overrightarrow{\text{AC}}$, on place D tel que $\overrightarrow{\text{AC}}=\overrightarrow{\text{BD}}$.

\item  %Construire E tel que $\overrightarrow{\text{BE}}=\overrightarrow{\text{BA}}+\overrightarrow{\text{BC}}$.
De même, pour construire E, on place E tel que $\overrightarrow{\text{AE}}=\overrightarrow{\text{BC}}$.

\item %Que peut-on dire des quadrilatères ABDC et BAEC. Justifier votre réponse.
Par construction, les quadrilatères ABDC et BAEC sont des parallélogrammes et les vecteurs définis aux question 1. et 2. sont des diagonales de ces parallélogrammes.

\item %Démontrer alors que C est le milieu de [DE].
Puisque ABDC est un parallélogramme, $\overrightarrow{\text{AB}}=\overrightarrow{\text{CD}}$ ; de même, BAEC est un parallélogramme, donc $\overrightarrow{\text{AB}}=\overrightarrow{\text{EC}}$.

\noindent On en déduit que $\overrightarrow{EC}=\overrightarrow{CD}$, donc C est le milieu de [ED].
\end{enumerate}



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{\textcolor{blue}{(3 points)}}
Dans un repère (O~;~I~;~J), on considère les points A(1~;~3), B(5~;~-1) et C(2~;~5).

%\textbf{Calculer} les coordonnées du point D tel que ABCD soit un parallélogramme.
ABCD est un parallélogramme si, et seulement si, $\overrightarrow{\text{AB}}=\overrightarrow{\text{DC}}$.

\noindent On note $x_D$ et $y_D$ les coordonnées de D.

\noindent $\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}4\\-4\end{pmatrix}$~;~$\overrightarrow{\text{DC}}\begin{pmatrix}2-x_D\\5-y_D\end{pmatrix}$.

\noindent Les deux vecteurs sont égaux si, et seulement si, leurs coordonnées sont égales.

\noindent On en déduit $\left\{\begin{array}{l}2-x_D=4\\5-y_D=-4\end{array}\right.$ d'où $x_D=-2$ et $y_D=9$ donc $\boxed{\textcolor{red}{D(-2~;~9)}}$.

\subsection{\textcolor{blue}{(3 points)}}
\noindent Soient les vecteurs $\overrightarrow{u}\begin{pmatrix}\sqrt{3}+1\\1\end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{v}\begin{pmatrix}2\\\sqrt{3}-1\end{pmatrix}$.

%\noindent Montrer que les vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont colinéaires.
On applique la condition de colinéaires :

\noindent $\left(\sqrt{3}+1\right)\left(\sqrt{3}-1\right)-1\times 2=\sqrt{3}^2-1^2-2=3-1-2=0$ donc les deux vecteurs sont \textbf{\textcolor{red}{colinéaires}}.

\subsection{\textcolor{blue}{(3 points)}}
Dans un repère (O~;~I~;~J), on considère les points $M(2~;~3), N(5~;~7)\text{ et }P(-7~;~-9)$.

%\noindent Ces points sont-ils alignés ? Justifier !
$\overrightarrow{\text{MN}}\begin{pmatrix}3\\4\end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{\text{MP}}\begin{pmatrix}-9\\-12\end{pmatrix}$.

\noindent On applique la condition de colinéaires : 

\noindent $3\times (-12)-4\times (-9)=-36+36=0$ : les vecteurs $\overrightarrow{\text{MN}}$ et $\overrightarrow{\text{MP}}$ sont colinéaires, donc les points M, N et P sont \textbf{\textcolor{red}{alignés}}.

\newpage
\subsection{\textcolor{blue}{(4 points)}}
Dans la figure ci-dessous, ABCD, ABDE et ACDF sont des parallélogrammes.

\begin{center}
\newrgbcolor{zzttqq}{0.6 0.2 0.}
\psset{unit=0.8,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-1.,-4.)(9,6)
%\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1.,Dy=1.,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-1.,-4.)(8.,5.)
\pspolygon[linecolor=zzttqq,fillstyle=solid,opacity=0.1](4.6,3.58)(8.18,4.36)(7.18,1.04)(3.6,0.26)
\pspolygon[linecolor=zzttqq,fillstyle=solid,opacity=0.1](4.6,3.58)(8.18,4.36)(3.6,0.26)(0.02,-0.52)
\pspolygon[linecolor=zzttqq,fillstyle=solid,opacity=0.1](4.6,3.58)(7.18,1.04)(3.6,0.26)(1.02,2.8)
\psline[linecolor=zzttqq](4.6,3.58)(8.18,4.36)
\psline[linecolor=zzttqq](8.18,4.36)(7.18,1.04)
\psline[linecolor=zzttqq](7.18,1.04)(3.6,0.26)
\psline[linecolor=zzttqq](3.6,0.26)(4.6,3.58)
\psline[linecolor=zzttqq](4.6,3.58)(8.18,4.36)
\psline[linecolor=zzttqq](8.18,4.36)(3.6,0.26)
\psline[linecolor=zzttqq](3.6,0.26)(0.02,-0.52)
\psline[linecolor=zzttqq](0.02,-0.52)(4.6,3.58)
\psline[linecolor=zzttqq](4.6,3.58)(7.18,1.04)
\psline[linecolor=zzttqq](7.18,1.04)(3.6,0.26)
\psline[linecolor=zzttqq](3.6,0.26)(1.02,2.8)
\psline[linecolor=zzttqq](1.02,2.8)(4.6,3.58)
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](4.6,3.58)
\rput[bl](4.68,3.7){\blue{$A$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](8.18,4.36)
\rput[bl](8.26,4.48){\blue{$B$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](7.18,1.04)
\rput[bl](7.36,1.){\blue{$C$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=darkgray](3.6,0.26)
\rput[bl](3.68,-0.02){\darkgray{$D$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=darkgray](0.02,-0.52)
\rput[bl](-0.3,-0.56){\darkgray{$E$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=darkgray](1.02,2.8)
\rput[bl](1.1,2.92){\darkgray{$F$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=darkgray](2.6,-3.06)
\rput[bl](2.86,-3.12){\darkgray{$H$}}
\psline(0.02,-0.52)(2.6,-3.06)
\psline(2.6,-3.06)(7.18,1.04)
\end{pspicture*}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item %Montrer, en utilisant des égalités de vecteurs, que : $\overrightarrow{\text{AF}}=\overrightarrow{\text{DE}}$.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item ACDF est un parallélogramme, donc $\boxed{\textcolor{red}{\overrightarrow{\text{AF}}=\overrightarrow{\text{CD}}}}$.

\item ABCD est un parallélogramme donc $\boxed{\textcolor{red}{\overrightarrow{\text{CD}}=\overrightarrow{\text{BA}}}}$.

\item ABDE est un parallélogramme donc $\boxed{\textcolor{red}{\overrightarrow{\text{BA}}=\overrightarrow{\text{DE}}}}$.
\end{enumerate}
On en déduit $\overrightarrow{\text{AF}}=\overrightarrow{\text{CD}}=\overrightarrow{\text{BA}}=\overrightarrow{\text{DE}}$ donc $\boxed{\textcolor{red}{\overrightarrow{\text{AF}}=\overrightarrow{\text{DE}}}}$.

\item %Que peut-on en déduire pour le quadrilatère AFED ?
On en déduit que le quadrilatère AFED est un \textbf{\textcolor{red}{parallélogramme}}.

\item %Construire le point H tel que CAEH soit un parallélogramme.
On construit le point H tel que CAEH soit un parallélogramme.

\item %Que représente  D pour le segment [AH] ? \textbf{Justifier}.
Dans un parallélogramme, les diagonales se coupent en leur milieu.

\noindent Comme $\overrightarrow{\text{CD}}=\overrightarrow{\text{DE}}$, D est le milieu de la diagonale [CE], donc D est le \textbf{\textcolor{red}{milieu de l'autre diagonale [AH]}}.
\end{enumerate}

\columnbreak
\subsection{\textcolor{blue}{(6 points)}}
Dans un repère $(O~;~I~;~J)$, on considère les points A(2~;~-2), B(12~;~-3) et C(8~;~6). (voir figure ci-dessous)

\begin{center}
\psset{unit=0.6,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-3.,-4.)(13.,8.)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1.,Dy=1.,ticksize=-2pt 0,subticks=2,linewidth=2pt]{->}(0,0)(-3.,-4.)(13.,8.)
\pspolygon[,fillcolor=cyan!40,fillstyle=solid,opacity=0.1](2.,-2.)(12.,-3.)(8.,6.)(-2.,7.)
\psline[linewidth=1.5pt](2.,-2.)(8.,6.)
\psline(2.,-2.)(12.,-3.)
\psline(12.,-3.)(8.,6.)
\psline(8.,6.)(-2.,7.)
\psline(-2.,7.)(2.,-2.)
\psdots[dotstyle=x,dotscale=3](2.,-2.)(8.,6.)(12.,-3.)
\uput[dl](2,-2){\blue{$A$}}
\rput[bl](8.08,6.12){\blue{$C$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=darkgray](5.,2.)
\uput[ul](5,2){\darkgray{$M$}}
\rput[bl](12.08,-2.88){\blue{$B$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](-2.,7.)
\rput[bl](-1.92,7.12){\blue{$D$}}
\pspolygon[,fillcolor=yellow!50,fillstyle=solid,opacity=0.1](12,-3)(5,2)(2,-2)

\psgrid[subgriddiv=1](-3.,-4.)(13.,8.)
\end{pspicture*}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item %Soit M le milieu de [AC]. Calculer les coordonnées de M.
$x_M=\dfrac{x_A+x_C}{2}=\dfrac{2+8}{2}=5$ et $y_M=\dfrac{y_A+Y-C}{2}=\dfrac{-2+6}{2}=2$ donc $\boxed{\textcolor{red}{M(5~;~2)}}$

\item %On appelle D le symétrique de B par rapport à M. Placer D sur la figure.
D est le symétrique de B par rapport à M. (voir figure)

\item %Calculer les cordonnées des vecteurs $\overrightarrow{\text{AB}}$ et $\overrightarrow{\text{DC}}$.
$\boxed{\textcolor{red}{\overrightarrow{\text{AB}}\begin{pmatrix}10\\-1\end{pmatrix}}}$.

\noindent Soit D$\left(x_D~;~y_D\right)$ ; M est le milieu de [BD].

\noindent On en déduit $x_M=\dfrac{x_B+x_D}{2}$ donc $x_B+x_D=2x_M$ d'où $x_D=2x_M-x_B=2\times 5-12=10-12=-2$.

De même: $y_D=2M-y_B=2\times 2-(-3)=7$. On en déduit $\boxed{\textcolor{red}{\text{D}(-2~;~7)}}$.

Alors $\overrightarrow{\text{DC}}\begin{pmatrix}8-(-2)=10\\6-7=-1\end{pmatrix}$ donc $\boxed{\textcolor{red}{\overrightarrow{\text{DC}}\begin{pmatrix}10\\-1\end{pmatrix}}}$

\noindent %Que peut-on en déduire sur le quadrilatère ABCD ?
Les deux vecteurs $\overrightarrow{\text{AB}}$ et $\overrightarrow{\text{DC}}$ sont égaux puisqu'ils ont les mêmes coordonnées. On en déduit que ABCD est un \textbf{\textcolor{red}{parallélogramme}}.

\item 
\begin{enumerate}
\item %Calculer les longueurs AM, MB et AB.
A(2~;~-2), B(12~;~-3) et M(5~;~2).

\noindent $\overrightarrow{AM}\begin{pmatrix}3\\4\end{pmatrix}$ donc $AM=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=\boxed{\textcolor{red}{5}}$

\noindent $\overrightarrow{MB}\begin{pmatrix}7\\-5\end{pmatrix}$ donc $MB=\sqrt{(7)2+(-5)^2}=\boxed{\textcolor{red}{\sqrt{74}}}$.

\noindent $\overrightarrow{\text{AB}}\begin{pmatrix}10\\-1\end{pmatrix}$ donc $AB=\sqrt{10^1+(-1)^2}=\boxed{\textcolor{red}{\sqrt{101}}}$.


\noindent $AB^2\neq BM^2+AM^2$. 

\item %Que peut-on en déduire pour le triangle AMB ?
\noindent La plus grande longueur est AB :  $AB^2=101$~;~$MB^2+AM^2=74+25=99$. Le triangle AMB n'est donc \textbf{\textcolor{red}{pas rectangle}} en M, d'après le théorème de Pythagore.

\end{enumerate}

\item %Que peut-on en conclure quant au quadrilatère ABCD ?
Le parallélogramme ABCD a des diagonales non perpendiculaires ; ce n'est donc pas un losange, c'est un \textbf{\textcolor{red}{parallélogramme quelconque}}.


\end{enumerate}

\end{multicols}


\label{fin}
\end{document}  