\documentclass[10pt] {article} \usepackage[T1]{fontenc} 
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\textwidth 19cm \textheight 26cm \hoffset 
-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{fancy}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents


\begin{center}\section*{\textcolor{red}{2\up{nde} : corrigé du contrôle de probabilités }}\end{center}




\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{\textcolor{blue}{(1,5 points)}}
%Dans une expérience aléatoire, deux événements A et B ont des probabilités telles que :
%\[p(\text{A})=\dfrac{1}{5}~,~p(\text{B})=\dfrac{2}{3}~,~p(\text{A}\cup \text{B})=\dfrac{3}{4}.\]
%
%Calculer $p\left(\overline{A}\right)$ et $p(A\cap B)$ ?

\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $p\left(\overline{A}\right)=1-p(A)=1-\dfrac{1}{5}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{4}{5}}}$.

\item $p(A\cup B)=p(A)+p(B)-p(A\cap B)$ 

donc $p(A\cap B)=p(A)+p(B)-p(A\cup B)=\dfrac{1}{5}+\dfrac{2}{3}-\dfrac{3}{4}\\
=\dfrac{12}{60}+\dfrac{40}{60}-\dfrac{45}{60}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{7}{60}}}$
\end{enumerate}
\subsection{\textcolor{blue}{(3,5 points)}}
On joue avec un dé bien équilibré dodécaédrique (à 12 faces numérotées de 1 à 12) qu’on lance une seule fois et on s’intéresse au nombre inscrit sur la face supérieure.

\begin{enumerate}
\item %Quel est l’univers associé à cette expérience ?
L’univers associé à cette expérience est 

$\boxed{\textcolor{red}{\Omega=\{1~;~23~;~3~;~4~;~5~;~6~;~7~;~8~;~9~;~10~;~11~;~12\}}}$.

\item %Pourquoi est-on en situation d’équiprobabilité ?
Le dé est bien équilibré ; chaque face a la même chance d'apparaître donc nous sommes en situation \textbf{\textcolor{red}{d'équiprobabilité}}

\item %Citer un événement élémentaire, un événement impossible et un événement à trois issues.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Un événement élémentaire est par exemple : \textcolor{red}{\textbf{\og{} obtenir un multiple de 12.\fg{}}}.

\item Un événement impossible est par exemple : \textcolor{red}{\textbf{\og{} avoir un nombre supérieur à 14.\fg{}}}.

\item un événement à quatre issues est par exemple : \textcolor{red}{\textbf{\og{} avoir un multiple de 4.\fg}
}\end{enumerate}

\item %Quelle est la probabilité d’obtenir un multiple de 3 ?
La probabilité d’obtenir un multiple de 3 est $\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{4}{12}=\dfrac{1}{3}}}$ car l'événement \og{}obtenir un multiple de 3\fg{} est \{3~;~6~;~9~;~12\}
\end{enumerate}



\subsection{\textcolor{blue}{(3,5 points)}}
On lance trois fois de suite une pièce de monnaie usuelle. 

Ainsi obtient-on une liste ordonnée de trois résultats, par exemple \og{}Pile\fg{}, \og{}Pile\fg{}, \og{}Face\fg{} que l'on note (P~;~P~;~F).
\begin{enumerate}
\item %Représenter la situation par un arbre.
Représentons la situation par un arbre :
\begin{center}
%\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}
\psset{nodesep=0mm,levelsep=20mm,treesep=5mm}
\pstree[treemode=R]{\Tdot}
{
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$P$}\taput{ $$}}
{
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$P$}\taput{ $$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$P$}\taput{ $$}
\Tdot~[tnpos=r]{$F$}\tbput{ $$}
}
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$F$}\tbput{ $$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$P$}\taput{ $$}
\Tdot~[tnpos=r]{$F$}\tbput{ $$}
}
}
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$F$}\tbput{ $$}}
{
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$P$}\taput{ $$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$P$}\taput{ $$}
\Tdot~[tnpos=r]{$F$}\tbput{ $$}
}
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$F$}\tbput{ $$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$P$}\taput{ $$}
\Tdot~[tnpos=r]{$F$}\tbput{ $$}
}
}
}


\end{center}
\item %Calculer la probabilité de chacun des événements suivants :
L'univers est l'ensemble de toutes les listes possibles ; il y en a huit.
\begin{enumerate}
\item Soit A l'événement \og{}Les trois résultats sont identiques\fg{}~;~il est constitué de \{PPP~;~FFF\} ; 

 donc $p(\text{A})=\dfrac{2}{8}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{1}{4}}}$.

\item Soit B l'événement \og{}La suite des trois résultats commence par Pile\fg{}~;~B représente la moitié des résultats possibles (par symétrie). il est constitué de $\{PPP~;~PPF~;~PFP~;~PFF\}$.

On en déduit $p(\text{B})=\dfrac{4}{8}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{1}{2}}}$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{multicols}


\subsection{\textcolor{blue}{(3,5 points)}}
Dans un groupe de 60 personnes, 34 aiment le rap, 24 ont plus de 20 ans et, parmi ces 24 personnes, 8 aiment le rap.

\begin{enumerate}
\item %Recopier et compléter le tableau suivant :
On complète le tableau :
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
\backslashbox{Goûts musicaux}{Âge}&
Moins de 20 ans
&Plus de 20 ans&Total
\\
\hline
Aiment le rap&26&8&34\\
\hline
N'aiment pas le rap&10&16&26\\
\hline
Total&36&24&60\\
\hline
\end{tabularx}


\end{center}

\item On rencontre au hasard une personne de ce groupe.

 %Calculer la probabilité de chacun des événements suivants :
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Soit A : \og{}la personne a plus de 20 ans\fg{}.

$p(A)=\dfrac{24}{60}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{2}{5}}}$

\item Soit B : \og{}la personne n'aime pas le rap\fg{}.

$p(B)=\dfrac{26}{60}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{13}{30}}}$

\item Soit C : \og{}la personne a plus de 20 ans et n'aime pas le rap\fg{}.

$p(C)=\dfrac{16}{60}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{4}{15}}}$
\end{enumerate}
\textbf{\textcolor{blue}{Remarque}} : il faut toujours simplifier les résultats !
\end{enumerate}



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{\textcolor{blue}{(4 points)}}
Une fourmi se déplace sur les arêtes dun tétraèdre ABCD. Depuis un sommet quelconque, elle se déplace vers un sommet voisin.\begin{center}
\psset{xunit=0.7cm,yunit=0.7cm,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(2.,0.)(8.,7)
\psline(3.44,3.)(5.56,1.2)
\psline(5.56,1.2)(7.2,2.92)
\psline[linestyle=dashed](3.44,3.)(7.2,2.92)
\psline(3.44,3.)(5.54,5.9)
\psline(5.56,1.2)(5.54,5.9)
\psline(7.2,2.92)(5.54,5.9)
\begin{scriptsize}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](3.44,3.)
\uput[l](3.44,3){\blue{$A$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](5.56,1.2)
\uput[d](5.56,1.2){\blue{$B$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](7.2,2.92)
\rput[bl](7.28,3.04){\blue{$C$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](5.54,5.9)
\rput[bl](5.62,6.02){\blue{$D$}}
\end{scriptsize}
\end{pspicture*}
\end{center}

La fourmi se trouve en A ; elle parcourt \textbf{deux} arêtes.

Traçons un arbre illustrant la situation
\begin{center}
%\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}
\psset{nodesep=0mm,levelsep=20mm,treesep=7mm}
\pstree[treemode=R]{\Tcircle{A}}
{
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$B$}\taput{ $$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$A$}\taput{ $$}
\Tdot~[tnpos=r]{$C$}\taput{ $$}
\Tdot~[tnpos=r]{$D$}\tbput{ $$}
}
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$C$}\taput{ $$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$A$}\taput{ $$}
\Tdot~[tnpos=r]{$B$}\taput{ $$}
\Tdot~[tnpos=r]{$D$}\tbput{ $$}
}
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$D$}\tbput{ $$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$A$}\taput{ $$}
\Tdot~[tnpos=r]{$B$}\taput{ $$}
\Tdot~[tnpos=r]{$C$}\tbput{ $$}
}
}


\end{center}
L'univers est constitué des neuf trajets $\left(3^2\right)$ possibles.

$\Omega=\{ABA-ABC-ABD-ACA-ACB-ACD-ADA-ADB-ADC\}$

\begin{enumerate}
\item %Quelle est la probabilité que la fourmi se trouve :

\begin{enumerate}
\item %en A ?
La probabilité que la fourmi se trouve en A au bout du trajet de deux arêtes est $p(\text{A})=\dfrac{3}{9}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{1}{3}}}$

\item %en B ?
La probabilité que la fourmi se trouve en B au bout du trajet de deux arêtes est $p(\text{B})=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{2}{9}}}$


\item % En C ?
La probabilité que la fourmi se trouve en C au bout du trajet de deux arêtes est $p(\text{C})=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{2}{9}}}$


\item %En D ?
La probabilité que la fourmi se trouve en D au bout du trajet de deux arêtes est $p(\text{D})=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{2}{9}}}$

\end{enumerate}

\item %Quelle relation doit vérifier ces quatre nombres ?

%Vérifier que c'est bien le cas.
La somme de ces quatre nombres doit être égale à 1.

$\dfrac{3}{9}+\dfrac{2}{9}+\dfrac{2}{9}+\dfrac{2}{9}=\dfrac{9}{9}=1$
\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{(4 points)}}

Une agence de location de véhicules possède un parc de 200 voitures.
Certaines possèdent différentes options :
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item 120  véhicules ont un GPS.

\item 70  véhicules ont un radar de recul.

\item 40  véhicules ont un radar de recul et un GPS.\\

\end{enumerate}
\noindent Un employé prend un véhicule au hasard. On note
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item 	R l'événement : \og{} le véhicule a un radar \fg{}.

\item G l'événement : \og{} le véhicule a un GPS \fg{}.

\item S l'événement : \og{} le véhicule n'a ni radar, ni GPS \fg{}.
\end{enumerate}

\begin{enumerate}
\item %Représenter la situation à l'aide d'un schéma.
Schéma : 
\begin{center}
%\psset{xunit=0.3}
\newrgbcolor{zzttqq}{0.6 0.2 0}
\psset{xunit=0.6cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-3,-3)(11,3)
\pspolygon[linecolor=zzttqq,fillstyle=solid,opacity=0.1](-1.52,1.95)(-1.5,-2.45)(9.72,-2.39)(9.43,1.86)
\rput{0}(2.5,0){\psellipse(0,0)(3,1.66)}
\rput{0}(5.5,0){\psellipse(0,0)(3,1.66)}
\rput[tl](1.02,0.73){R}
\rput[tl](6.49,0.8){G}
\rput[tl](3.55,0.74){$R\cap G$}
\rput[tl](6.48,0){120}
\rput[tl](1.09,0){70}
\rput[tl](3.32,0){40}
\psline[linecolor=zzttqq](-1.52,1.95)(-1.5,-2.45)
\psline[linecolor=zzttqq](-1.5,-2.45)(9.72,-2.39)
\psline[linecolor=zzttqq](9.72,-2.39)(9.43,1.86)
\psline[linecolor=zzttqq](9.43,1.86)(-1.52,1.95)
\rput[tl](6.49,2.55){200}
%\psline{->}(1.21,-2.04)(1.87,-0.6)
%\psline{->}(3.41,-2.04)(3.85,-0.48)
%\psline{->}(6.64,-2.16)(6.94,-0.46)
\psline{->}(6.65,2.43)(8.35,1.46)
%\begin{scriptsize}
%\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](0,0)
%\rput[bl](0.08,0.11){\blue{$A$}}
%\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](5,0)
%\rput[bl](5.08,0.11){\blue{$B$}}
%\rput[bl](0.98,1.06){$c$}
%\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](3,0)
%\rput[bl](3.07,0.11){\blue{$C$}}
%\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](8,0)
%\rput[bl](8.07,0.11){\blue{$D$}}
%\rput[bl](4,1.06){$d$}
%\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](-1.52,1.95)
%\rput[bl](-1.44,2.05){\blue{$E$}}
%\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](-1.5,-2.45)
%\rput[bl](-1.43,-2.34){\blue{$F$}}
%\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](9.72,-2.39)
%\rput[bl](9.79,-2.29){\blue{$G$}}
%\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](9.43,1.86)
%\rput[bl](9.51,1.97){\blue{$H$}}
%\rput[bl](-1.8,-0.25){\zzttqq{$e$}}
%\rput[bl](4.1,-2.69){\zzttqq{$f$}}
%\rput[bl](9.84,-0.23){\zzttqq{$g$}}
%\rput[bl](3.96,2.2){\zzttqq{$h$}}
%\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](1.21,-2.04)
%\rput[bl](1.28,-1.93){\blue{$I$}}
%\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](1.87,-0.6)
%\rput[bl](1.94,-0.5){\blue{$J$}}
%\rput[bl](1.48,-1.29){$u$}
%\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](3.41,-2.04)
%\rput[bl](3.48,-1.93){\blue{$K$}}
%\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](3.85,-0.48)
%\rput[bl](3.92,-0.37){\blue{$L$}}
%\rput[bl](3.57,-1.24){$v$}
%\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](6.64,-2.16)
%\rput[bl](6.71,-2.06){\blue{$M$}}
%\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](6.94,-0.46)
%\rput[bl](7.01,-0.36){\blue{$N$}}
%\rput[bl](6.72,-1.29){$w$}
%\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](6.65,2.43)
%\rput[bl](6.72,2.53){\blue{$O$}}
%\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](8.35,1.45)
%\rput[bl](8.42,1.56){\blue{$P$}}
%\rput[bl](7.52,2){$a$}
%\end{scriptsize}
\end{pspicture*}
\end{center}

\item %Calculer la probabilité des événements R et G.
Chaque voiture a la même probabilité d'être choisie. Nous sommes donc en situation d'équiprobilité.\\
La probabilité d'un événement est donc le nombre total de cas possibles, divisé par le nombre total de cas possibles.\\
D'après l'énoncé, on a : \\
$\boxed{\textcolor{red}{p(R)=\dfrac{70}{200}=\dfrac{7}{20}}}$ et $\boxed{\textcolor{red}{p(G)=\dfrac{120}{200}=\dfrac{3}{5}}}$.

%\item $p(R \cap G)=\dfrac{40}{200}=\dfrac{1}{5}$.


\item %Décrire par une phrase les événements R $\cap$  G, \\
%R $\cup $ G,, $\overline{\text{R}}$ et $\overline{\text{R}}\cap \overline{\text{G}}$
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $R\cap G$ est l'éventent \og{}le véhicule choisi a un radar \textbf{et} un GPS\fg{}.

\item  $R\cup G$ est l'éventent \og{}le véhicule choisi a un radar \textbf{ou} un GPS\fg{}

\item  $\overline{R}$ est l'éventent \og{}le véhicule choisi n'a \textbf{pas de radar}\fg{}..

\item $\overline{\text{R}}\cap \overline{\text{G}}$ est l'éventent \og{}le véhicule choisi n'a \textbf{ni radar ni GPS}\fg{}.

\end{enumerate}
\item % Calculer en justifiant :  $p(\text{R}\cap \text{G})$, $p(\text{R}\cup \text{C})$, $p\left(\overline{\text{R}}\right)$ et $p\left(\overline{\text{R}}\cap \overline{\text{G}}\right)$
(\textbf{non demandé dans ce contrôle})
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item 

40 véhicules ont le radar et un GPS donc  \\
$p(R \cap G)=\dfrac{40}{200}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{1}{5}}}$.

\item $p(R \cup G)=p(R)+p(G)-p(R\cap G)\\
=\dfrac{7}{20}+\dfrac{3}{5}-\dfrac{1}{5}=\dfrac{7+12-4}{20}=\dfrac{15}{20}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{3}{4}}}$.

\item $p\left(\overline{R}\right)=1-p(R)=1-\dfrac{7}{20}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{13}{20}}}$.

\item $p\left(\overline{R}\cap \overline{G}\right)=p\left(\overline{R\cup G}\right)=1-p\left(R\cup G\right)=1-\dfrac{3}{4}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{1}{4}}}$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{multicols}





\label{fin}
\end{document}  