\documentclass[10pt] {article} \usepackage[T1]{fontenc} 
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{amsmath,amssymb,graphicx,multicol,mathrsfs, fancyhdr,enumerate,fourier,eurosym,alterqcm,enumerate,tabularx,variations,numprint}
\usepackage[dvips]{color}
\usepackage{bclogo}
\usepackage{pst-plot,pst-tree,pstricks,pst-node,pstricks-add,pst-math,pst-xkey,pst-eucl}
\usepackage[francais]{babel} 
\everymath{\displaystyle}
%\usepackage[colorlinks=true,pdfstartview=FitV,linkcolor=blue,citecolor=blue,urlcolor=blue]{hyperref}
\textwidth 19cm \textheight 26cm \hoffset 
-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{fancy}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\emph{ On ne peut plus expliquer le monde, faire ressentir sa beauté à ceux qui n'ont aucune connaissance profonde des mathématiques (Richard Feynmnn)}

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{2\up{nde} : correction du devoir sur feuille \no 2}}\end{center}



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{}
$f$ est une fonction définie sur l'intervalle $I=[-~;~8]$. Son tableau de variation est :
\begin{center}
\begin{variations}
x&-7&&-3&&1&&3&&8\\
\hline
\m{f(x)}&1&\c&\h{5}&\d&-2&\c&\h{0}&\d&-4\\
\hline
\end{variations}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Compléter les inégalités suivantes avec le symbole \og{}<\fg{} ou \og{}>\fg{} en \textbf{justifiant} votre réponse :

\begin{enumerate}
\item $-6<-4$ et -6 et -4 appartiennent à l'intervalle [-7~;~-3] sur lequel la fonction est croissante, donc $\boxed{\textcolor{red}{f(-6)< f(-4)}}$

\item $-2<-1$ et -2 et -1 appartiennent à l'intervalle [-3~;~1] sur lequel la fonction est décroissante, donc $\boxed{\textcolor{red}{f(-2)> f(-1)}}$

\item $4<5$ et 4 et 5 appartiennent à l'intervalle [3~;~8] sur lequel la fonction est décroissante, donc $\boxed{\textcolor{red}{f(4)> f(5)}}$

\item Sur l'intervalle [-7~;~ -3], le minimum de $f$ est 1 ; sur [3~;~8], $f$ est décroissante et le maximum de $f$ sur cet intervalle est 0 ; $-4\in[-7~;~-3]$ donc $f(-4)>1$ ; de même, $f(2)<0$.

\noindent Par conséquent : $f(-4)>1>0>f(2)$ donc $\boxed{\textcolor{red}{f(-4)>f(2)}}$.
\end{enumerate}

\item Recopier et compléter les phrases suivantes :
\begin{enumerate}
\item Le maximum de $f$ sur l'intervalle $[-7~;~8]$ est $\boxed{\textcolor{red}{5}}$ ; il est obtenu pour $\boxed{\textcolor{red}{x=-3}}$.

\item Le maximum de $f$ sur l'intervalle $[1~;~8]$ est $\boxed{\textcolor{red}{0}}$ ; il est obtenu pour $\boxed{\textcolor{red}{x=3}}$.

\item Le minimum de $f$ sur l'intervalle $[-7~;~8]$ est $\boxed{\textcolor{red}{-4}}$ ; il est obtenu pour $\boxed{\textcolor{red}{x=8}}$.
\end{enumerate}

\end{enumerate}

\subsection{}
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x)=(2x+3)^2-49$.
\begin{enumerate}
\item %Développer $f(x$.
\textbf{\textcolor{blue}{Développement}} : $f(x)=4x^2+12x+9-49=\boxed{\textcolor{red}{4x^2+12x-40}}$ (en utilisant une identité remarquable)

\item %Factoriser $f(x)$.
\textbf{\textcolor{blue}{Factorisation}} : $f(x)=(2x+3)^2-49=(2x+3)^2-7^2=a^2-b^2$ en posant $\left\{\begin{array}{l}a=(2x+3\\b=7)\end{array}\right.$
$=(a+b)(a-b)=\left[(2x+3)+7\right][(2x+3)-7]=\boxed{\textcolor{red}{(2x+10)(2x-4)}}$.\\
On remarque que $2x+10=2(x+5)$ et $2x-4=2(x-2)$ donc on peut aussi écrire :

\noindent $f(x)=2(x+5)\times 2(x-2)$ donc $\boxed{\textcolor{red}{f(x)=4(x+5)(x-2)}}$.

\item %En utilisant la forme la mieux adaptée de $f(x)$ :
\begin{enumerate}

\item %Calculer $f(0)$.
$f(0)=4\times 0^2+12\times 0-40=-40$ : $\boxed{\textcolor{red}{f(0)=-40}}$

\item %Calculer $f\left(-\dfrac{3}{2}\right)$.
$f\left(-\dfrac{3}{2}\right)=\left(2\times \left(-\dfrac{3}{2}+3\right)\right)^2-49=2(-3+3)^2-49=\\
2\times 0^2-49=-49$ donc $\boxed{\textcolor{red}{f\left(-\dfrac{3}{2}\right)=-49}}$

\item %Résoudre l'équation $f(x)=-40$.
$f(x)=-40\Leftrightarrow 4x^2+12x-40=-40\Leftrightarrow 4x^2+12x=0\\
\Leftrightarrow 4x(x+3)=0$.

\noindent Dans $\mathbb{R}$, un produit de facteurs est nul si, et seulement si, l'un des facteurs est nul.

\noindent \textbf{Premier cas} : $4x=0\Leftrightarrow x=0$

\noindent \textbf{Deuxième cas} :$x+3=0\Leftrightarrow x=-3$

\noindent L'ensemble des solutions est $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\left\{-3~;~0\right\}}}$

\item %Résoudre l'équation $f(x)=0$
$f(x)=0\Leftrightarrow 4(x+5)(x-2)=0\Leftrightarrow (x+5)(x-2)=0$ (en divisant par 4)

\noindent \textbf{Premier cas} : $x+5=0\Leftrightarrow x=-5$

\noindent \textbf{Deuxième cas} : $x-2=0\Leftrightarrow x=2$

L'ensemble des solutions est $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\left\{-5~;~2\right\}}}$


\item %Montrer que le minimum de $f(x)$ est -49. Pour quelle valeur est-il atteint ?
Pour tout $x$, $(2x+3)^2\geqslant 0$ donc \\
$f(x)=(2x+3)^2-49\geqslant -49$.

\noindent Le minimum de $f(x)$ est donc $\boxed{\textcolor{red}{-49}}$, atteint pour $x=-\dfrac{3}{2}$
\end{enumerate}

\end{enumerate}
\end{multicols}

\subsection{}
Une personne a acheté un téléphone portable Trois opérateurs lui proposent les formules d'abonnement suivantes :

\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
&\begin{minipage}{6cm}
Abonnement mensuel fixe pour deux heures de communication
\end{minipage}&\begin{minipage}{6cm}
Supplément par minute commencée au-delà de deux heures
\end{minipage}\\
\hline
Formule 1&30 \euro&0,25 \euro\\
\hline
Formule 2&15 \euro&0,75 \euro\\
\hline
Formule 3&20 \euro&0,5 \euro\\
\hline
\end{tabularx}
%L'objectif est de de choisir la formule la plus avantageuse suivant le temps de dépassement du forfait.\\
%Pour cela, on note $x$  le nombre de minutes au-delà des deux heures du forfait et $f_1$, $f_2$ et $f_3$ les fonctions qui, à $x$, associent la dépense relative à chacune des formules 1, 2 ou 3.

\begin{enumerate}
\item %Calculer $f_1(x)$ , $f_2(x)$ et $f_3(x)$.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $\boxed{\textcolor{red}{f_1(x)=0,25x+30}}$

\item $\boxed{\textcolor{red}{f_2(x)=0,75x+15}}$

\item $\boxed{\textcolor{red}{f_3(x)=0,5x+20}}$
\end{enumerate}

\item %Résoudre les équations $f_1(x)=f_2(x)$, $f_2(x)=f_3(x)$ et $f_1(x)=f_3(x)$.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $f_1(x)=f_2(x)\Leftrightarrow 0,25x+30=0,75x+15\Leftrightarrow 30-15=0,75x-0,25x\Leftrightarrow 15=0,5x\Leftrightarrow x=\dfrac{15}{0,5}=\dfrac{150}{5}=30$

\item $f_2(x)=f_3(x)\Leftrightarrow  0,75x+15=0,5x+20\Leftrightarrow 0,75x-0,5x=20-15\Leftrightarrow 0,25x=5\Leftrightarrow x=\dfrac{5}{0,25}=\dfrac{500}{25}=20$

\item $f_1(x)=f_3(x)\Leftrightarrow 0,25x+30=0,5x+20\Leftrightarrow 30-20=0,5x-0,25x\Leftrightarrow 10=0,25x\Leftrightarrow \dfrac{10}{0,25}=x\Leftrightarrow x=\dfrac{10}{0,25}=\dfrac{1000}{25}=40$
\end{enumerate}

\item %Représenter, dans un même repère, les trois fonctions $f_1$, $f_2$ et $f_3$ pour $x\in[0~;~50]$.
Les trois fonctions sont des fonctions affines, dont les représentations graphiques sont des droites $d_1$, $d_2$ et $d_3$.

\noindent Pour représenter une droite, on calcule les coordonnées de deux points.\\
$d_1$ : $\begin{array}{|c|c|c|}\hline
x&0&40\\
\hline
y&30&40\\\hline\end{array}$
\hspace{2cm}
$d_2$ : $\begin{array}{|c|c|c|}\hline
x&0&40\\
\hline
y&15&45\\\hline\end{array}$
\hspace{2cm}
$d_3$ : $\begin{array}{|c|c|c|}\hline
x&0&40\\
\hline
y&20&40\\\hline\end{array}$
\begin{center} pour chaque droite
\newrgbcolor{xdxdff}{0.490196078431 0.490196078431 1.}
\psset{xunit=0.3cm,yunit=0.15cm,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-3.,-10.)(50.,60.)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=10.,Dy=10.,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-3.,-10.)(50.,60.)
\psplot[plotpoints=200,linewidth=2pt,linecolor=blue]{0.0}{50.0}{0.75*x+15}
\psplot[plotpoints=200,linewidth=2pt]{0.0}{50.0}{0.5*x+20}
\psplot[plotpoints=200,linewidth=2pt,linecolor=green]{0.0}{50.0}{0.25*x+30}
\psplot[plotpoints=200,linewidth=3pt,linecolor=red]{0}{20}{0.75*x+15}
\psplot[plotpoints=200,linewidth=3pt,linecolor=red]{20}{40}{0.5*x+20}
\psplot[plotpoints=200,linewidth=3pt,linecolor=red]{40}{50}{0.25*x+30}

\begin{scriptsize}
\rput[bl](-32.3333959512,-10.7658759273){$g$}
\rput[bl](-32.3333959512,2.30703330986){$h$}
\psdots[dotstyle=x,dotscale=3,linecolor=xdxdff](2.1988171281,16.6491128461)
\rput[bl](2.69213445781,17.3532118659){\xdxdff{$d_2$}}
\rput[bl](-32.3333959512,20.1897865117){$f$}
%\psdots[dotstyle=x,dotscale=3,linecolor=xdxdff](5.77536776846,31.4438419421)
\rput[bl](6.26868509817,32.152731757){\xdxdff{$d_1$}}
\psdots[dotstyle=x,dotscale=3,linecolor=xdxdff](3.55543978479,21.7777198924)
\uput[d](4,22){\xdxdff{$d_3$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=darkgray](40.,40.)
\rput[bl](40.5542395127,40.7857850268){\darkgray{$A$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=darkgray](30.,37.5)
\rput[bl](30.4412342537,38.1958690459){\darkgray{$B$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=darkgray](20.,30.)
\rput[bl](20.4515583272,30.7961091003){\darkgray{$C$}}
\multido{\n=0+2}{25}{\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=orange])(\n,0)(\n,60)}
\multido{\n=0+2}{35}{\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=orange])(0,\n)(50,\n)}
\multido{\n=0+10}{7}{\psline[linewidth=1pt])(0,\n)(50,\n)}
\multido{\n=0+10}{6}{\psline[linewidth=1pt])(\n,0)(\n,60)}

\end{scriptsize}
\psline[linestyle=dashed,linewidth=2pt](25,0)(25,32.5)
\end{pspicture*}
\end{center}

\item %Tracer en rouge sur le graphique précédent, la fonction qui, à $x$, associe le tarif le plus avantageux.
On trace en rouge sur le graphique précédent, la fonction qui, à $x$, associe le tarif le plus avantageux. On voit que selon les valeurs de $x$, ce n'est pas la même fonction qui convient.

\item %Pour un mois, la personne pense dépasser le forfait de 25 minutes. Quel forfait doit-elle choisir ?
On trace la droite parallèle à l'axe des ordonnées et passant par le point de coordonnées (25~;~0). On voit sur la graphique que le forfait le plus avantageux est celui de la formule 3.

\noindent On peut vérifier par le calcul : $f_1(25)=36,25$, $g(25)=33,75$ et $h(25)=32,5$.
\end{enumerate}


\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{}

$\mathscr{C}_{f}$ est la courbe représentative d'une fonction (voir ci-dessous).
\begin{center}
\psset{unit=1}
\begin{pspicture}(-3.5,-2.2)(5.2,4.2)
\psgrid[subgriddiv=5,gridlabels=0,gridwidth=1pt](-3,-2)(5.2,4)%grille
%\psline[linewidth=1.2pt,linecolor=blue]{->}(-3,0)(5.2,0)%axe horizontal
%\psline[linewidth=1.2pt,linecolor=blue]{->}(0,-2)(0,4)%axe vertical
%repère
\uput[dl](0,0){$O$}
\uput[r](0,1){1}\uput[d](1,0){1}
\pscurve[linecolor=red,linewidth=2pt](-2,-1)(-1.8,0)(-1.5,1)(-1,2)(0,0)(1,-1.5)(2,0)(2.5,2)(3,2.8)(3.8,3.4)(4,3)(4.5,2)
\uput[d](5,0){$x$}\uput[l](0,3.8){$y$}
\psdots(-2,-1)(4.5,2)
\uput[l](2.2,2){$\mathscr{C}_{f}$}
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1.,Dy=1.,ticksize=-2pt 0,subticks=2,linewidth=2pt]{->}(0,0)(-3,-2)(5.2,4)

\end{pspicture}
\end{center}




\begin{enumerate}

\item La fonction $f$ est définie sur [-2~;~4,5].

\item $\boxed{\textcolor{red}{f(-1)=2}}$ ; $\boxed{\textcolor{red}{f(1)=-1,5}}$, $\boxed{\textcolor{red}{f(2)=0}}$ et $\boxed{\textcolor{red}{f(4,5)=2}}$.

\item Pour trouver les antécédents de 1, on trace la droite parallèle à l'axe des abscisses et qui passe par le point de coordonnées (0,1) [en pointillés sur le dessin). on regarde alors les abscisses des points d'intersection de cette droite avec la courbe $\mathscr{C}_{f}$.
\fbox{\textcolor{red}{Les antécédents de 1 sont approximativement -1,5, -0,3 et 2,2}}.

Les antécédents de 0 sont les abscisses des points d'intersection de la courbe $\mathscr{C}_{f}$ avec l'axe des abscisses ; ce sont approximativement -1,8, 0 et 2.

\item L'équation $f(x)=0$ a trois solutions (voir question précédente).\\
\fbox{\textcolor{red}{Les solutions sont -1,8, 0 et 2.}}

\item Les solutions de l'équation $f(x)=2$ sont les abscisses des points de la courbe qui ont une ordonnée égale à 2. Ce sont : \fbox{\textcolor{red}{-1, 2,5 et 4,5}}.

\item L'équation $f(x)=4$ n'a \textbf{pas de solution}, puisqu'aucun point de la courbe n'a d'ordonnée égale à 4.

\item Les abscisses $x$ des points dont l'ordonnée vérifient $0\leqslant f(x)\leqslant 1$ appartiennent à $\boxed{\textcolor{red}{[-0,8~;~-1,5]\cup[-0,3~;~0]\cup[1~;~4,5]}}$.

\newpage
\item \textbf{Tableau de variation de $\boldmath{f}$} :
\begin{center}
\begin{variations}
x&-2&&-1&&1&&3,7&&4,5\\
\filet
\m{f(x)}&-1&\c&\h{2}&\d&-1,5&\c&\h{3,4}&\d&2\\
\end{variations}
\end{center}

\item \fbox{\textcolor{red}{Le minimum de $f$ est -1,5 et est atteint pour $x=1$}}.

\end{enumerate}

%\end{multicols}
%
%
%
%
%
%
%
%
%
%\begin{multicols}{2}
%\setlength{\columnseprule}{1pt}
%\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{\textcolor{blue}{Une histoire de format}}
On considère des rectangles de longueur $L$ et de largeur $\ell$ tels que, si l'on plie l'un d'eux, comme l'indique la figure, on obtient deux rectangles superposables et de même proportion que le précédent. Cela signifie que le rapport longueur/largeur est le même.
\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item %Montrer que, dans ces conditions, l'on a : $L^{2}=2\ell^{2}$.
On doit avoir $\dfrac{L}{\ell}=\dfrac{\ell}{\frac{L}{2}}$ d'où $\dfrac{L}{\ell}=\dfrac{2\ell}{L}$ donc $\textcolor{red}{\boxed{L^2=2\ell^2}}$.

\item %En déduire la valeur du quotient $\dfrac{L}{\ell}$.
On en déduit $\left(\dfrac{L}{\ell}\right)=2$ d'où $\textcolor{red}{\boxed{\dfrac{L}{\ell}=\sqrt{2}}}$ (car ce quotient est positif, puisque c'est un quotient de longueurs).
\end{enumerate}


\begin{center}
\newrgbcolor{zzttqq}{0.6 0.2 0}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-1,-2)(8,6)
\pspolygon[linecolor=zzttqq,fillcolor=cyan!20,fillstyle=solid,opacity=0.1](0,0)(6,0)(6,4)(0,4)
\psline[linecolor=zzttqq](0,0)(6,0)
\psline[linecolor=zzttqq](6,0)(6,4)
\psline[linecolor=zzttqq](6,4)(0,4)
\psline[linecolor=zzttqq](0,4)(0,0)
\psline(3,0)(3,4)
\begin{scriptsize}
\end{scriptsize}
\psline{<->}(0,4.5)(6,4.5)
\uput[u](3,4.5){$L$}
\psline{<->}(6.5,0)(6.5,4)
\uput[r](6.5,2){$\ell$}
\psline{<->}(0,-0.5)(3,-0.5)
\uput[d](1.5,-0.5){$\dfrac{L}{2}$}
\end{pspicture*}
\end{center}

\item \textbf{\textcolor{red}{Application numérique}}\\
Soit une feuille rectangulaire de 1 m$^{2}$ (format $\text{A}_{0}$), respectant la propriété ci-dessus (voir 1.)
\begin{enumerate}
\item %Quelles sont ses dimensions ?
Puisque l'aire vaut 1, on a $L\ell=1$ et, comme $\dfrac{L}{\ell}=\sqrt{2}$, on a $\ell^2=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ donc $\ell=\sqrt{\dfrac{1}{\sqrt{2}}}=\textcolor{red}{\boxed{\dfrac{1}{\sqrt{\sqrt{2}}}}}$.\\
De même  $\textcolor{red}{\boxed{L=\sqrt{\sqrt{2}}}}$.

\noindent \emph{Remarque : on ne demande pas les valeurs approchées !}

\item %En coupant cette feuille en deux, on obtient deux feuilles de format $\text{A}_{1}$,puis en coupant cette dernière feuille  en deux, on obtient deux feuilles de format $\text{A}_{2}$, etc. (voir figure)\\
%Quelles sont les dimensions d'une feuille $\text{A}_{4}$ ? Donner les valeurs exactes puis approchées.\\
%Ces dimensions vous sont-elles familières ?
En nommant $L_4$ et $\ell_4$ les longueur et largeur du format $A_4$, on obtient :\\
$\textcolor{red}{\boxed{L_4=\dfrac{\sqrt{\sqrt{2}}}{4}}}$ et $\textcolor{red}{\boxed{\ell_4=\dfrac{1}{4\sqrt{\sqrt{2}}}}}$.\\
On obtient $L_4\approx 0,21\text{ m}$ et $\ell_4\approx 0,297\text{ m}$ qui sont les valeurs habituelles (approchées) que l'on retient pour le format $A_4$.
\begin{center}
\newrgbcolor{zzttqq}{0.6 0.2 0}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-1,-1)(7,4.5)
\pspolygon[linecolor=zzttqq,fillcolor=cyan!20,fillstyle=solid,opacity=0.1](0,0)(6,0)(6,4)(0,4)
\pspolygon[linecolor=zzttqq,fillcolor=yellow!20,fillstyle=solid,opacity=0.1](0,0)(3,0)(3,2)(0,2)
\pspolygon[linecolor=zzttqq,fillcolor=red!20,fillstyle=solid,opacity=0.1](0,2)(1.5,2)(1.5,4)(0,4)
\pspolygon[linecolor=zzttqq,fillcolor=blue!20,fillstyle=solid,opacity=0.1](1.5,2)(3,2)(3,4)(1.5,4)
\pspolygon[linecolor=zzttqq,fillcolor=yellow!20,fillstyle=solid,opacity=0.1](1.5,4)(0,4)(0,3)(1.5,3)
\pspolygon[linecolor=zzttqq,fillcolor=cyan!20,fillstyle=solid,opacity=0.1](0,3)(0,2)(1.5,2)(1.5,3)
\psline[linecolor=zzttqq](0,0)(6,0)
\psline[linecolor=zzttqq](6,0)(6,4)
\psline[linecolor=zzttqq](6,4)(0,4)
\psline[linecolor=zzttqq](0,4)(0,0)
\psline(3,0)(3,4)
\psline(0,2)(3,2)
\psline(0,4)(3,4)
\psline(1.5,4)(1.5,2)
\psline(0,4)(0,2)
\psline(0,3)(1.5,3)
\rput[tl](4.44,2.26){$A_1$}
\rput[tl](1.56,1.3){$A_2$}
\rput[tl](2.26,3.18){$A_3$}
\rput[tl](0.7,2.82){$A_4$}
\rput[tl](6,3.38){$A_0$}
\psline[linecolor=zzttqq](0,0)(3,0)
\psline[linecolor=zzttqq](3,0)(3,2)
\psline[linecolor=zzttqq](3,2)(0,2)
\psline[linecolor=zzttqq](0,2)(0,0)
\psline[linecolor=zzttqq](0,2)(1.5,2)
\psline[linecolor=zzttqq](1.5,2)(1.5,4)
\psline[linecolor=zzttqq](1.5,4)(0,4)
\psline[linecolor=zzttqq](0,4)(0,2)
\psline[linecolor=zzttqq](1.5,2)(3,2)
\psline[linecolor=zzttqq](3,2)(3,4)
\psline[linecolor=zzttqq](3,4)(1.5,4)
\psline[linecolor=zzttqq](1.5,4)(1.5,2)
\psline[linecolor=zzttqq](1.5,4)(0,4)
\psline[linecolor=zzttqq](0,4)(0,3)
\psline[linecolor=zzttqq](0,3)(1.5,3)
\psline[linecolor=zzttqq](1.5,3)(1.5,4)
\psline[linecolor=zzttqq](0,3)(0,2)
\psline[linecolor=zzttqq](0,2)(1.5,2)
\psline[linecolor=zzttqq](1.5,2)(1.5,3)
\psline[linecolor=zzttqq](1.5,3)(0,3)
\begin{scriptsize}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](0,0)
\rput[bl](0.08,0.12){\blue{$A$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](6,0)
\rput[bl](6.08,0.12){\blue{$B$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](6,4)
\rput[bl](6.08,4.12){\blue{$C$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](0,4)
\rput[bl](0.08,4.12){\blue{$D$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=darkgray](3,0)
\rput[bl](3.08,0.12){\darkgray{$E$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=darkgray](3,4)
\rput[bl](3.08,4.12){\darkgray{$F$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=darkgray](0,2)
\rput[bl](0.08,2.12){\darkgray{$G$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=darkgray](3,2)
\rput[bl](3.08,2.12){\darkgray{$H$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=darkgray](1.5,2)
\rput[bl](1.58,2.12){\darkgray{$I$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=darkgray](3,4)
\rput[bl](3.08,4.12){\darkgray{$J$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=darkgray](3,4)
\rput[bl](3.08,4.12){\darkgray{$K$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=darkgray](3,4)
\rput[bl](3.08,4.12){\darkgray{$L$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=darkgray](3,4)
\rput[bl](3.08,4.12){\darkgray{$M$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=darkgray](1.5,4)
\rput[bl](1.58,4.12){\darkgray{$N$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=darkgray](1.5,3)
\rput[bl](1.58,3.12){\darkgray{$O$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=darkgray](0,3)
\rput[bl](0.08,3.12){\darkgray{$P$}}
\end{scriptsize}
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{enumerate}
\end{enumerate}


\end{multicols}




\label{fin}
\end{document}  