\documentclass[12pt] {article} \usepackage[T1]{fontenc} 
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\textwidth 19cm \textheight 26cm \hoffset 
-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{fancy}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}
\rfoot{\small{Lycée Maurice Genevoix \\Année 2014-2015}}
\lfoot{14 novembre 2014}

\begin{document}

\begin{tabular}{p{13cm}lr}
NOM (en caractères majuscules d'imprimerie) : &\hfill vendredi 14 novembre 2014\\
PRÉNOM : &\\
\end{tabular}\\

\vspace{4cm}
\fbox{\begin{minipage}{16cm}
\begin{center}
\huge Devoir commun de mathématiques \no 1 \\
2\up{nde}

\end{center}\end{minipage}}\\

\vspace{4cm}
\noindent Les exercices sont indépendants et peuvent être traités dans l'ordre voulu. \\

\noindent L'usage de la calculatrice est autorisé, mais le prêt de calculatrice est interdit. \\

\noindent La clarté des raisonnements et la qualité de la rédaction interviendront pour une part importante dans l'appréciation de la copie. Tout résultat devra être soigneusement justifié. \\

\vspace{2cm}
\noindent \textbf{Partie réservée à la correction :}\\ 

\noindent Exercice I sur 4,5  points : \\

\noindent Exercice II sur  5,5 points : \\

\noindent Exercice III sur 3  points : \\

\noindent Exercice IV sur  8 points : \\

\noindent Exercice V sur  8 points : \\

\noindent Exercice VI sur  7 points : \\

\noindent Exercice VII sur  4 points : \\

\newpage


\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Contrôle commun \no 1 de mathématiques}}\end{center}

\subsection{}


\begin{enumerate}
\item Compléter :
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{3}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}
\hline
Inégalités&phrase&appartenance à un ensemble\\
\hline
$$&$x$ est strictement supérieur à 7&\\
\hline
$-2<x\leqslant 8$&&\\
%\hline
%&&$x\in]-\infty~;~-3[\cup]6~;~+\infty[$&\\
%\hline
%&&&\begin{pspicture}(-2,-0.6)(2,0.6)
%\psline(-2,0)(2,0)
%\psline(-1.2,0.3)(-1,0.3)
%\psline(-1,0.3)(-1,-0.3)
%\psline(-1,-0.3)(-1.2,-0.3)
%%\psline(0.8,0.3)(1,0.3)
%%\psline(1,0.3)(1,-0.3)
%%\psline(1,-0.3)(0.8,-0.3)
%\pspolygon[linestyle=none,fillstyle=hlines](-2,-0.2)(-1,-0.2)(-1,0.2)(-2,0.1)
%\pspolygon[linestyle=none,fillstyle=hlines](1,-0.2)(2,-0.2)(2,0.2)(1,0.2)
%\psline[linewidth=1.5pt,linecolor=red](-1,0)(1,0)
%\uput[d](-1,-0.3){-2}
%\uput[d](1,-0.3){0}
%\end{pspicture}\\
%\hline
%&$x$ est supérieur ou égal -5 et strictement inférieur à 1&&\\
\hline
&&$x\in]-\infty~;~4]$\\
\hline

\end{tabularx}
\end{center}

\item  Pour chacun des cas suivants, donnez $I\cap J$ et $I\cup J$ sous la forme d'un intervalle  \\
Vous justifierez \textbf{soigneusement} en représentant les intervalles sur la droite des réels. 

\begin{enumerate}

\item $I=[-4~;~6]$~;~$J=[-2~;~8[$

\item $I=\left]-\infty~;~\dfrac{11}{4}\right[$~;~$J=\left]\dfrac{1}{2}~;~+\infty\right[$

\item $I=[1~;~5[$~;~$J=[5~;~9[$


\end{enumerate}

%\setlength{\extrarowheight}{4pt}
%\begin{center}
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}
%\hline
%\rule[-0.3cm]{0pt}{25pt}$I$&$J$&$I\cap J$&$I\cup J$\\ \hline
%\rule[-0.3cm]{0pt}{25pt}$[-4~;~6]$&$[-2~;~8[$&&\\ \hline
%\rule[-0.5cm]{0pt}{35pt}$\left]-\infty~;~\dfrac{11}{4}\right[$&$\left]\dfrac{1}{2}~;~+\infty\right[$& &\\ \hline
%\rule[-0.3cm]{0pt}{25pt}[1~;~5[&[5~;~9[&	&\\ \hline
%\end{tabularx}
%\end{center}
\end{enumerate}

\subsection{}
\psset{unit=0.9}
Ci-dessous est représentée la courbe représentative d'une  $\mathscr{C}_{f}$ d'une fonction $f$.
\begin{center}
\begin{pspicture}(-5,-3,)(7,6)
\psgrid[subgriddiv=2,gridlabels=0,gridwidth=0.3pt](-5,-2)(7,6)%grille
\psline[linewidth=1.5pt]{->}(-5,0)(7,0)%axe horizontal
\psline[linewidth=1.5pt]{->}(0,-2)(0,6)%axe vertical
%repère
\uput[dl](0,0){$O$}
\uput[dr](1,0){\textbf{1}}
\uput[l](0,1){\textbf{1}}
\psdots[dotscale=2](-4,4)(5,-1)
\pscurve[linecolor=red,linewidth=1.5pt](-4,4)(-3,2)(-2.5,1.5)(-1.5,2.2)(-1,3)(0,1)(1,2)(2,5)(3,3.5)(4,3)(5,-1)
\psline[linewidth=2pt](1,-0.2)(1,+0.2)
\psline[linewidth=2pt](-0.2,1)(0.2,1)
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Quel est l'ensemble de définition de $f$ ?

\item Quelle est l'image de 1 ? de -3 ? de 0 ? de -2?

\item Donner le(s) antécédent(s) éventuel(s) de 3,5 ? de 1 ? -2 ?

\item Tracer le tableau de variation de $f$.

\item Quel est le maximum de $f$ ? Quel est son minimum ? En quelles valeurs sont ils atteints ?

\end{enumerate}

\subsection{}
Voici le tableau de variation d'une fonction $f$ : 
\begin{center}
\begin{variations}
x&-5&&-1&&2&&4\\
\filet
\m{f(x)}&0&\c&\h{4}&\d&-1&\c&\h{2}\\
\filet
\end{variations}
\end{center}
\begin{enumerate}
\item Quelle est l'image de -5 ? de 2 ?

\item 
\begin{enumerate}
\item Combien le nombre 1 a-t-il d'antécédents ?

\item 5 a -t-il un antécédent ?

\end{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item Comparer, lorsque c'est possible,  l'image de -4 et l'image de -2.

\item Comparer, lorsque c'est possible, $f(-2)$ et $f(1)$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\subsection{}
Soient les fonctions $f : x\mapsto 2x^2+3x-5$, $g:x\mapsto -3x+4$ et $h:x\mapsto \dfrac{1}{2}x^2$.
\begin{enumerate}
\item Calculer les images par $f$ de 3, de -1, de $\sqrt{2}$ et $\dfrac{1}{3}$.

\item Calculer les antécédents par $g$ de 0, -5 et 4.

\item Calculer les antécédents éventuels par $h$ de -1 et de 2.
\end{enumerate}

\subsection{}
Dans un repère orthonormé, on considère les points 
A(2~;~7), B(-1~;~1) et C(3~;~-1).
\begin{enumerate}
\item Calculer les longueurs AB, BC et AC.

\item Quelle est la nature du triangle ABC ? Justifier soigneusement.

\item Où se situe le centre K du cercle circonscrit au triangle ABC ? Calculer ses coordonnées.

\item Soit D(-3~;~6). D appartient-il à la médiatrice du segment [AB] ?
\end{enumerate}

\newpage
\subsection{}
 Dans un repère orthonormé, on considère les points 
A(4~;~2) , B(6~;~-4) , C(0~;~-2) et D(-2~;~4).
\begin{enumerate}
\item Dans le repère ci-dessous, placer ces quatre points. \textbf{On complètera la figure au fur et à mesure}.

\begin{center}
\psset{xunit=0.8cm,yunit=0.8cm,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=1.2pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-4,-9.5)(9,5)
\psaxes[linewidth=1.8pt,labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-4,-9)(9,5)
\uput[dl](0,0){0}
\psgrid[subgriddiv=2,gridlabels=0,gridwidth=0.3pt](-4,-9)(9,5)
%\pspolygon[linecolor=zzttqq,fillcolor=zzttqq,fillstyle=solid,opacity=0.1](4,2)(6,-4)(0,-2)(-2,4)
%\psline(4,2)(6,-4)
%\psline(6,-4)(0,-2)
%\psline(0,-2)(-2,4)
%\psline(-2,4)(4,2)
%\begin{scriptsize}
%\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](4,2)
%\rput[bl](4.11,2.18){\blue{$A$}}
%\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](6,-4)
%\rput[bl](6.11,-3.84){\blue{$B$}}
%\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](0,-2)
%\rput[bl](0.12,-1.84){\blue{$C$}}
%\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](-2,4)
%\rput[bl](-1.88,4.16){\blue{$D$}}
%\rput[bl](4.55,-1.14){\zzttqq{$a$}}
%\rput[bl](3.13,-2.56){\zzttqq{$b$}}
%\rput[bl](-0.6,1.15){\zzttqq{$c$}}
%\rput[bl](0.85,2.6){\zzttqq{$d$}}
%\psdots[dotstyle=*,linecolor=darkgray](2,-8)
%\rput[bl](2.1,-7.83){\darkgray{$E$}}
%\end{scriptsize}
\end{pspicture*}
\end{center}

\item Calculer les coordonnées du milieu du segment  [AC].
\item Démontrer que ABCD est un parallélogramme.

\item Est-ce un losange ? Justifier.

\item Déterminer les coordonnées du point E tel que ABEC soit un parallélogramme.
\end{enumerate}

\subsection{}
Soit ABCD un rectangle.\\
Soient E et F les milieux respectifs de [AB] et [AD], G le centre du rectangle et H le milieu de [GC].\\
Lire les coordonnées des huit points de la figure dans le repère (A~;~B~;~F) et (A~;~E~;~D).

\begin{center}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-1,-1)(7,4)
\pspolygon(0,0)(6,0)(6,3)(0,3)
\psline(0,0)(6,0)
\psline(6,0)(6,3)
\psline(6,3)(0,3)
\psline(0,3)(0,0)
\psline(0,0)(6,3)
\psline(6,0)(0,3)
\begin{scriptsize}
\psdots[dotstyle=x,dotscale=2,linecolor=blue](0,0)
\uput[dl](0,0){\blue{$A$}}
\psdots[dotstyle=x,dotscale=2,linecolor=blue](6,0)
\uput[dl](6,0){\blue{$B$}}
\psdots[dotstyle=x,dotscale=2,linecolor=blue](6,3)
\rput[bl](6.08,3.12){\blue{$C$}}
\psdots[dotstyle=x,dotscale=2,linecolor=blue](0,3)
\rput[bl](0.08,3.12){\blue{$D$}}
\psdots[dotstyle=x,dotscale=2,linecolor=darkgray](3,0)
\rput[bl](3.08,0.12){\darkgray{$E$}}
\psdots[dotstyle=x,dotscale=2,linecolor=darkgray](0,1.5)
\rput[bl](0.08,1.62){\darkgray{$F$}}
\psdots[dotstyle=x,dotscale=2,linecolor=darkgray](3,1.5)
\uput[u](3,1.5){\darkgray{$G$}}
\psdots[dotstyle=x,dotscale=2,linecolor=darkgray](4.5,2.25)
\uput[u](4.5,2.25){\darkgray{$H$}}
\end{scriptsize}
\end{pspicture*}
\end{center}


\label{fin}
\end{document}  