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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents


\begin{center}\section*{\textcolor{red}{2\up{nde} : contrôle de probabilités (1 heure)}}\end{center}

%\begin{multicols}{2}
%\setlength{\columnseprule}{1pt}
%\setlength{\columnsep}{2 cm}


\subsection{\textcolor{blue}{(1,5 points)}}
Dans une expérience aléatoire, deux événements A et B ont des probabilités telles que :
\[p(\text{A})=\dfrac{1}{5}~,~p(\text{B})=\dfrac{2}{3}~,~p(\text{A}\cup \text{B})=\dfrac{3}{4}.\]

Calculer $p\left(\overline{A}\right)$ et $p(A\cap B)$ ?

\subsection{\textcolor{blue}{(3,5 points)}}
On joue avec un dé bien équilibré dodécaédrique (à 12 faces numérotées de 1 à 12) qu’on lance une seule fois et on s’intéresse au nombre inscrit sur la face supérieure.

\begin{enumerate}
\item Quel est l’univers associé à cette expérience ?

\item Pourquoi est-on en situation d’équiprobabilité ?

\item Citer un événement élémentaire, un événement impossible et un événement à trois issues.

\item Quelle est la probabilité d’obtenir un multiple de 3 ?
\end{enumerate}



\subsection{\textcolor{blue}{(3,5 points)}}
On lance trois fois de suite une pièce de monnaie usuelle. 

Ainsi obtient-on une liste ordonnée de trois résultats, par exemple \og{}Pile\fg{}, \og{}Pile\fg{}, \og{}Face\fg{} que l'on note (P~;~P~;~F).
\begin{enumerate}
\item Représenter la situation par un arbre.

\item Calculer la probabilité de chacun des événements suivants :
\begin{enumerate}
\item \og{}Les trois résultats sont identiques\fg{}.

\item \og{}La suite des trois résultats commence par Pile\fg{}
\end{enumerate}
\end{enumerate}




\subsection{\textcolor{blue}{(3,5 points)}}
Dans un groupe de 60 personnes, 34 aiment le rap, 24 ont plus de 20 ans et, parmi ces 24 personnes, 8 aiment le rap.

\begin{enumerate}
\item Recopier et compléter le tableau suivant :
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
\backslashbox{Goûts musicaux}{Âge}&
Moins de 20 ans
&Plus de 20 ans&Total
\\
\hline
Aiment le rap&&8&34\\
\hline
N'aiment pas le rap&&&\\
\hline
Total&&24&60\\
\hline
\end{tabularx}


\end{center}

\item On rencontre au hasard une personne de ce groupe.


\item Calculer la probabilité de chacun des événements suivants :
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item A : \og{}la personne a plus de 20 ans\fg{}.

\item B : \og{}la personne n'aime pas le rap\fg{}.

\item C : \og{}la personne a plus de 20 ans et n'aime pas le rap\fg{}.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{(4 points)}}
\parbox{4cm}{Une fourmi se déplace sur les arêtes dun tétraèdre ABCD. Depuis un sommet quelconque, elle se déplace vers un sommet voisin.}\hfill
\parbox{5cm}{\begin{center}
\psset{xunit=0.7cm,yunit=0.7cm,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(2.,0.)(8.,7)
\psline(3.44,3.)(5.56,1.2)
\psline(5.56,1.2)(7.2,2.92)
\psline[linestyle=dashed](3.44,3.)(7.2,2.92)
\psline(3.44,3.)(5.54,5.9)
\psline(5.56,1.2)(5.54,5.9)
\psline(7.2,2.92)(5.54,5.9)
\begin{scriptsize}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](3.44,3.)
\uput[l](3.44,3){\blue{$A$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](5.56,1.2)
\uput[d](5.56,1.2){\blue{$B$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](7.2,2.92)
\rput[bl](7.28,3.04){\blue{$C$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](5.54,5.9)
\rput[bl](5.62,6.02){\blue{$D$}}
\end{scriptsize}
\end{pspicture*}
\end{center}}

La fourmi se trouve en A ; elle parcourt \textbf{deux} arêtes.

\begin{enumerate}
\item Quelle est la probabilité que la fourmi se trouve :

\begin{enumerate}
\item en A ?

\item en B ?

\item En C ?

\item En D ?
\end{enumerate}

\item Quelle relation doit vérifier ces quatre nombres ?

Vérifier que c'est bien le cas.
\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{(4 points)}}

Une agence de location de véhicules possède un parc de 200 voitures.
Certaines possèdent différentes options :
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item 120  véhicules ont un GPS.

\item 70  véhicules ont un radar de recul.

\item 40  véhicules ont un radar de recul et un GPS.\\

\end{enumerate}
\noindent Un employé prend un véhicule au hasard. On note
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item 	R l'événement : \og{} le véhicule a un radar \fg{}.

\item G l'événement : \og{} le véhicule a un GPS \fg{}.

\item S l'événement : \og{} le véhicule n'a ni radar, ni GPS \fg{}.
\end{enumerate}

\begin{enumerate}

\item Représenter la situation à l'aide d'un schéma.

\item Calculer la probabilité des événements R et G.

\item Décrire par une phrase les événements suivants :
\begin{enumerate}
\item R $\cap$  G

\item R $\cup $ G

\item $\overline{\text{R}}$

\item $\overline{\text{R}}\cap \overline{\text{G}}$

\end{enumerate}
\end{enumerate}



\label{fin}
\end{document}  