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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{2nde : devoir sur feuille \no 3}}\end{center}



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{}
Lorsque Yacine a déplacé son lecteur DVD, il a été obligé de débrancher trois câbles. Les trois câbles sont de couleurs différentes et correspondent chacun à une entrée spécifique.

\noindent Malheureusement, les entrées n'ont pas de couleur et Yacine ne se souvient plus dans quelle prise brancher chaque câble.
\begin{enumerate}
\item Combien y a-t-il de possibilités pour effectuer les branchements ?

\item Yacine prétend qu'il a une chance sur trois de réussir le branchement. A-t-il raison ?
\end{enumerate}

\subsection{}
On a effectué un sondage sur les activités extra-sportives pratiquées ar les élèves d'un lycée.

\noindent 40\:\% des élèves font à la fois  un sport et jouent d'un instrument de musique, 35\:\% font seulement du sport et 40\:\% ne pratiquent ni sport ni musique.

\noindent On interroge un élève au hasard à la sortie du lycée.

On note S l'événement \og{}l'élève pratique un sport\fg{} et M l'événement \og{}l'élève pratique un instrument de musique\fg{}.

\noindent Écrire les événements suivants à l'aide de M et S, puis calculer leurs probabilités : 
\begin{enumerate}
\item \og{}L'élève ne fait pas de sport, mais joue d'une instrument de musique.\fg{}

\item \og{}L'élève pratique un sport\fg{}.

\item \og{}L'élève joue d'un instrument de musique\fg{}.

\item L'élève pratique un sport ou joue d'un instrument\fg{}.
\end{enumerate}

\subsection{}
Tracer un triangle équilatéral ABC de côté 4 cm.

\noindent Construire le point D vérifiant $\overrightarrow{  AD} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{ AC} + \dfrac{3}{2}\overrightarrow{  AB}$.


\subsection{}
Soit ABC un triangle quelconque. I et J sont les mieux respectifs de [AB] et [AC].
\begin{enumerate}
\item Montrer que $\overrightarrow{\text{IJ}}=\overrightarrow{\text{AJ}}-\overrightarrow{\text{AI}}$.

\item Exprimer $\overrightarrow{\text{AI}}$ et $\overrightarrow{\text{AJ}}$ en fonction de $\overrightarrow{\text{AB}}$ et $\overrightarrow{AC}$.

\item En déduire $\overrightarrow{\text{IJ}}$ en fonction de $\overrightarrow{\text{BC}}$

\item Quel théorème vu au collège retrouve-t-on ainsi ?
\end{enumerate}


\subsection{}
Soient [ AC ] et [ BD ] deux diamètres d'un cercle $\mathscr{C}$.

Démontrer que    $\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{  AB} =\overrightarrow{AC}$.


\subsection{}
Soit I le milieu d'un segment [AB ] et M un point n'appartenant pas à la droite (AB).

\begin{enumerate}
\item  Construire les points C et D tels que \\
$\overrightarrow{ IC} = \overrightarrow{IA} + \overrightarrow{  IM}$ et $\overrightarrow{ID} =\overrightarrow{ IB} +\overrightarrow{  IM} $

\item Quelle est la nature des quadrilatères AIMC et IBDM ? 

\item Démontrer que M est le milieu de [ CD ]. 

\item Démontrer que $\overrightarrow{IC} =\overrightarrow{  BM}$.

\item Soit E le symétrique de I par rapport à M.
\begin{enumerate}
\item  Traduire cette propriété par une égalité vectorielle.

\item Démontrer que  $\overrightarrow{IC} +\overrightarrow{ ID} = \overrightarrow{IE} $
\end{enumerate}
\end{enumerate}

%\begin{center}
%\newrgbcolor{zzttqq}{0.6 0.2 0.}
%\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
%\begin{pspicture*}(-6.,-5.)(8.,7.)
%\pspolygon[fillcolor=cyan!30,fillstyle=solid,opacity=0.1](1.12,-1.34)(3.92,-0.88)(1.64,1.28)(-1.16,0.82)
%\pspolygon[fillcolor=yellow!30,fillstyle=solid,opacity=0.1](3.92,-0.88)(6.72,-0.42)(4.44,1.74)(1.64,1.28)
%\pspolygon[fillcolor=red!30,fillstyle=solid,opacity=0.1](3.92,-0.88)(-1.16,0.82)(-0.64,3.44)(4.44,1.74)
%\psline(1.12,-1.34)(6.72,-0.42)
%\psline[linecolor=zzttqq](1.12,-1.34)(3.92,-0.88)
%\psline[linecolor=zzttqq](3.92,-0.88)(1.64,1.28)
%\psline[linecolor=zzttqq](1.64,1.28)(-1.16,0.82)
%\psline[linecolor=zzttqq](-1.16,0.82)(1.12,-1.34)
%\psline[linecolor=zzttqq](3.92,-0.88)(6.72,-0.42)
%\psline[linecolor=zzttqq](6.72,-0.42)(4.44,1.74)
%\psline[linecolor=zzttqq](4.44,1.74)(1.64,1.28)
%\psline[linecolor=zzttqq](1.64,1.28)(3.92,-0.88)
%\psline(1.64,1.28)(-0.64,3.44)
%\psline[linecolor=zzttqq](3.92,-0.88)(-1.16,0.82)
%\psline[linecolor=zzttqq](-1.16,0.82)(-0.64,3.44)
%\psline[linecolor=zzttqq](-0.64,3.44)(4.44,1.74)
%\psline[linecolor=zzttqq](4.44,1.74)(3.92,-0.88)
%\begin{scriptsize}
%\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](1.12,-1.34)
%\rput[bl](1.2,-1.22){\blue{$A$}}
%\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](6.72,-0.42)
%\rput[bl](6.8,-0.3){\blue{$B$}}
%%\rput[bl](3.96,-1.18){$a$}
%\psdots[dotstyle=*,linecolor=darkgray](3.92,-0.88)
%\rput[bl](4.,-0.76){\darkgray{$I$}}
%\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](1.64,1.28)
%\rput[bl](1.72,1.4){\blue{$M$}}
%\psdots[dotstyle=*,linecolor=darkgray](-1.16,0.82)
%\rput[bl](-1.08,0.94){\darkgray{$C$}}
%\psdots[dotstyle=*,linecolor=darkgray](4.44,1.74)
%\rput[bl](4.52,1.86){\darkgray{$D$}}
%%\rput[bl](2.56,-1.42){\zzttqq{$a_1$}}
%%\rput[bl](3.,0.44){\zzttqq{$i$}}
%%\rput[bl](0.18,1.38){\zzttqq{$m$}}
%%\rput[bl](-0.26,-0.48){\zzttqq{$c$}}
%%\rput[bl](5.36,-0.96){\zzttqq{$i_1$}}
%%\rput[bl](5.8,0.9){\zzttqq{$b$}}
%%\rput[bl](2.98,1.84){\zzttqq{$d$}}
%%\rput[bl](2.54,-0.02){\zzttqq{$m_1$}}
%\psdots[dotstyle=*,linecolor=darkgray](-0.64,3.44)
%\rput[bl](-0.56,3.56){\darkgray{$E$}}
%%\rput[bl](0.72,2.6){$e$}
%%\rput[bl](1.48,0.28){\zzttqq{$i_2$}}
%%\rput[bl](-0.6,2.08){\zzttqq{$c_1$}}
%%\rput[bl](1.78,2.3){\zzttqq{$e_1$}}
%%\rput[bl](3.86,0.5){\zzttqq{$d_1$}}
%\end{scriptsize}
%\end{pspicture*}
%\end{center}


\subsection{}%Odyssée seconde
Soit ABCD un carré de centre O. I et J sont les milieux respectifs de [AB] et [CD].

\noindent K est  un point de [BD] autre que O. L est le symétrique de K par rapport à O.

\noindent Le but de l'exercice est d'étudier la nature du quadrilatère ILJK.
\begin{enumerate}
\item Dans le repère $\left(\text{A}~;~\overrightarrow{\text{AB}}~;~\overrightarrow{\text{AD}}\right)$, donner les coordonnées des points I, J et K.

\item Démontrer que le quadrilatère ILJK est un parallélogramme.

\item \textbf{\textcolor{red}{Question facultative :}}

\noindent À quelle condition sur le point K IJLK est-il un rectangle ?

\noindent (\textbf{\textcolor{red}{indication}} : utiliser le triangle IJK et on rappelle que le cercle circonscrit à un triangle rectangle a pour diamètre l'hypoténuse de ce triangle)
\end{enumerate}

\end{multicols}


\subsection{}

\textbf{\textcolor{red}{Partie A}}

\begin{enumerate}
\item Développer et réduire l'expression $16-(x-2)^2$.
\item Factoriser l'expression $16-(x-2)^2$.
\item Résoudre l'équation $16-(x-2)^2=0$.
\end{enumerate}

\textbf{\textcolor{red}{Partie B}}

Sur la figure ci-dessous , $ABCD$ un carré de $8$\;cm de côté. $B'$ est un point mobile sur $[AB]$ et $C'$ et $D'$ sont tels que $AB'C'D'$ soit un carré.

On pose $x=AB'$.

\begin{enumerate}

\item Réaliser la figure en vraie grandeur avec $x=3$.
\item Quelle est alors l'aire de la surface grisée?
\item Refaire une figure en vraie grandeur avec $x=6$.
\item Déterminer l'ensemble $I$ des valeurs que peut prendre $x$.
\item Exprimer l'aire du triangle $BCC'$ en fonction de~$x$.
\item On note $\mathscr{A}(x)$ l'aire de la surface hachurée en fonction de $x$.
Montrer que pour tout $x$ appartenant à $I$, on a: \[\mathscr{A}(x)=-x^2+4x+32.\]

\item En utilisant les résultats de la partie \textbf{A.},
déterminer algébriquement les éventuelles valeurs de $x$ pour lesquelles l'aire hachurée est égale
à $20$\;cm$^2$.
\end{enumerate}

\begin{center}
\begin{pspicture}(-1,0)(6,6.5)

\pspolygon(0,0)(0,6)(6,6)(6,0)

\pspolygon[linearc=0.001,fillstyle=vlines](0,0)(0,4)(2,4)
\pspolygon[linearc=0.001,fillstyle=hlines](6,0)(2,4)(2,6)(6,6)

\uput{.2}[225](0,0){$B$}
\uput{.2}[315](6,0){$C$}
\uput{.2}[45](6,6){$D$}
\uput{.2}[135](0,6){$A$}

\uput{.2}[180](0,4){$B'$}
\uput{.2}[135](2,4){$C'$}
\uput{.2}[90](2,6){$D'$}

\psline{<->}(-0.8,4)(-0.8,6)
\uput{.2}[180](-0.8,5){$x$}

\end{pspicture}

\end{center}



\label{fin}
\end{document}  
