\documentclass[11pt] {article} \usepackage[T1]{fontenc} 
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-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/2}

\begin{document}
\emph{ On ne peut plus expliquer le monde, faire ressentir sa beauté à ceux qui n'ont aucune connaissance profonde des mathématiques (Richard Feynmnn)}

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{2\up{nde} : devoir sur feuille \no 2}}\end{center}



%\begin{multicols}{2}
%\setlength{\columnseprule}{1pt}
%\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{}
$f$ est une fonction définie sur l'intervalle $I=[-~;~8]$. Son tableau de variation est :
\begin{center}
\begin{variations}
x&-7&&-3&&1&&3&&8\\
\hline
\m{f(x)}&1&\c&\h{5}&\d&-2&\c&\h{0}&\d&-4\\
\hline
\end{variations}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Compléter les inégalités suivantes avec le symbole \og{}<\fg{} ou \og{}>\fg{} en \textbf{justifiant} votre réponse :

\begin{enumerate}
\item $f(-6)\cdots f(-4)$

\item $f(-2)\cdots f(-1)$

\item $f(4)\cdots f(5)$

\item $f(-4)\cdots f(2)$
\end{enumerate}

\item Recopier et compléter les phrases suivantes :
\begin{enumerate}
\item Le maximum de $f$ sur l'intervalle $[-7~;~8]$ est \dots ; il est obtenu pour $x=\cdots$.

\item Le maximum de $f$ sur l'intervalle $[1~;~8]$ est \dots ; il est obtenu pour $x=\cdots$.

\item Le minimum de $f$ sur l'intervalle $[-7~;~8]$ est \dots ; il est obtenu pour $x=\cdots$.
\end{enumerate}

\end{enumerate}

\subsection{}
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x)=(2x+3)^2-49$.
\begin{enumerate}
\item Développer $f(x$.

\item Factoriser $f(x)$.

\item En utilisant la forme la mieux adaptée de $f(x)$ :
\begin{enumerate}

\item Calculer $f(0)$.

\item Calculer $f\left(-\dfrac{3}{2}\right)$.

\item Résoudre l'équation $f(x)=-40$.

\item Résoudre l'équation $f(x)=0$

\item Montrer que le minimum de $f(x)$ est -49. Pour quelle valeur est-il atteint ?
\end{enumerate}

\end{enumerate}

\subsection{}
une personne a acheté un téléphone portable Trois opérateurs lui proposent les formules d'abonnement suivantes :

\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
&\begin{minipage}{6cm}
Abonnement mensuel fixe pour deux heures de communication
\end{minipage}&\begin{minipage}{6cm}
Supplément par minute commencée au-delà de deux heures
\end{minipage}\\
\hline
Formule 1&30 \euro&0,25 \euro\\
\hline
Formule 2&15 \euro&0,75 \euro\\
\hline
Formule 3&20 \euro&0,5 \euro\\
\hline
\end{tabularx}
L'objectif est de de choisir la formule la plus avantageuse suivant le temps de dépassement du forfait.\\
Pour cela, on note $x$  le nombre de minutes au-delà des deux heures du forfait et $f_1$, $f_2$ et $f_3$ les fonctions qui, à $x$, associent la dépense relative à chacune des formules 1, 2 ou 3.

\begin{enumerate}
\item Calculer $f_1(x)$ , $f_2(x)$ et $f_3(x)$.

\item Résoudre les équations $f_1(x)=f_2(x)$, $f_2(x)=f_3(x)$ et $f_1(x)=f_3(x)$.

\item Représenter, dans un même repère, les trois fonctions $f_1$, $f_2$ et $f_3$ pour $x\in[0~;~50]$.

\item Tracer en rouge sur le graphique précédent, la fonction qui, à $x$, associe le tarif le plus avantageux.

\item Pour un mois, la personne pense déasser le forfait de 25 minutes. Quel forfait doit-elle choisir ?
\end{enumerate}


\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{}

$\mathscr{C}_{f}$ est la courbe représentative d'une fonction (voir ci-dessous).
\begin{center}
\psset{unit=1}
\begin{pspicture}(-3.5,-2.2)(5.2,4.2)
\psgrid[subgriddiv=5,gridlabels=0,gridwidth=1pt](-3,-2)(5.2,4)%grille
%\psline[linewidth=1.2pt,linecolor=blue]{->}(-3,0)(5.2,0)%axe horizontal
%\psline[linewidth=1.2pt,linecolor=blue]{->}(0,-2)(0,4)%axe vertical
%repère
\uput[dl](0,0){$O$}
\uput[r](0,1){1}\uput[d](1,0){1}
\pscurve[linecolor=red,linewidth=2pt](-2,-1)(-1.8,0)(-1.5,1)(-1,2)(0,0)(1,-1.5)(2,0)(2.5,2)(3,2.8)(3.8,3.4)(4,3)(4.5,2)
\uput[d](5,0){$x$}\uput[l](0,3.8){$y$}
\psdots(-2,-1)(4.5,2)
\uput[l](2.2,2){$\mathscr{C}_{f}$}
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1.,Dy=1.,ticksize=-2pt 0,subticks=2,linewidth=2pt]{->}(0,0)(-3,-2)(5.2,4)

\end{pspicture}
\end{center}




\begin{enumerate}

\item Sur quel intervalle I la fonction est-elle définie ?

\item Quelle est l'image par $f$ de -1 ? de 1 ? de 2 ? de 4,5 ?

\item Quels sont les antécédents de 1 ? Expliquer votre méthode.\\
Quels sont les antécédents de 0 ? Expliquer votre méthode.
\item Déterminer le nombre de solutions de l'équation $f(x)=0$. Expliquer votre méthode.\\
Quelles sont ces solutions ?

\item Quelles sont les solutions de l'équation \\
$f(x)=2$ ? Expliquer

\item Combien  l'équation $f(x)=4$ a-t-elle de solutions ? Expliquer votre méthode.

\item Donner à partir du graphique les abscisses des points dont l'ordonnée vérifie $0\leqslant f(x)\leqslant 1$.

\item Dresser le tableau de variations de $f$.

\item Déterminer le minimum de $f$ et préciser pour quelle valeur de $x$ il est atteint.

\end{enumerate}

%\end{multicols}
%
%
%
%
%
%
%
%
%
%\begin{multicols}{2}
%\setlength{\columnseprule}{1pt}
%\setlength{\columnsep}{2 cm}
\columnbreak
\subsection{\textcolor{blue}{Une histoire de format}}
On considère des rectangles de longueur $L$ et de largeur $\ell$ tels que, si l'on plie l'un d'eux, comme l'indique la figure, on obtient deux rectangles superposables et de même proportion que le précédent. Cela signifie que le rapport longueur/largeur est le même.
\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item Montrer que, dans ces conditions, l'on a : \\
$L^{2}=2\ell^{2}$.

\item En déduire que le quotient $\dfrac{L}{\ell}$ vaut $\sqrt{2}$.
\end{enumerate}


\begin{center}
\newrgbcolor{zzttqq}{0.6 0.2 0}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-1,-2)(8,6)
\pspolygon[linecolor=zzttqq,fillcolor=cyan!20,fillstyle=solid,opacity=0.1](0,0)(6,0)(6,4)(0,4)
\psline[linecolor=zzttqq](0,0)(6,0)
\psline[linecolor=zzttqq](6,0)(6,4)
\psline[linecolor=zzttqq](6,4)(0,4)
\psline[linecolor=zzttqq](0,4)(0,0)
\psline(3,0)(3,4)
\begin{scriptsize}
\end{scriptsize}
\psline{<->}(0,4.5)(6,4.5)
\uput[u](3,4.5){$L$}
\psline{<->}(6.5,0)(6.5,4)
\uput[r](6.5,2){$\ell$}
\psline{<->}(0,-0.5)(3,-0.5)
\uput[d](1.5,-0.5){$\dfrac{L}{2}$}
\end{pspicture*}
\end{center}

\item \textbf{\textcolor{red}{Application numérique}}\\
Soit une feuille rectangulaire de 1 m$^{2}$ (format $\text{A}_{0}$), respectant la propriété ci-dessus (voir 1.)
\begin{enumerate}
\item Quelles sont ses dimensions ?

\item En coupant cette feuille en deux, on obtient deux feuilles de format $\text{A}_{1}$,puis en coupant cette dernière feuille  en deux, on obtient deux feuilles de format $\text{A}_{2}$, etc. (voir figure)\\
Quelles sont les dimensions d'une feuille $\text{A}_{4}$ ? Donner les valeurs exactes puis approchées.\\
Ces dimensions vous sont-elles familières ?
\begin{center}
\newrgbcolor{zzttqq}{0.6 0.2 0}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-1,-1)(7,4.5)
\pspolygon[linecolor=zzttqq,fillcolor=cyan!20,fillstyle=solid,opacity=0.1](0,0)(6,0)(6,4)(0,4)
\pspolygon[linecolor=zzttqq,fillcolor=yellow!20,fillstyle=solid,opacity=0.1](0,0)(3,0)(3,2)(0,2)
\pspolygon[linecolor=zzttqq,fillcolor=red!20,fillstyle=solid,opacity=0.1](0,2)(1.5,2)(1.5,4)(0,4)
\pspolygon[linecolor=zzttqq,fillcolor=blue!20,fillstyle=solid,opacity=0.1](1.5,2)(3,2)(3,4)(1.5,4)
\pspolygon[linecolor=zzttqq,fillcolor=yellow!20,fillstyle=solid,opacity=0.1](1.5,4)(0,4)(0,3)(1.5,3)
\pspolygon[linecolor=zzttqq,fillcolor=cyan!20,fillstyle=solid,opacity=0.1](0,3)(0,2)(1.5,2)(1.5,3)
\psline[linecolor=zzttqq](0,0)(6,0)
\psline[linecolor=zzttqq](6,0)(6,4)
\psline[linecolor=zzttqq](6,4)(0,4)
\psline[linecolor=zzttqq](0,4)(0,0)
\psline(3,0)(3,4)
\psline(0,2)(3,2)
\psline(0,4)(3,4)
\psline(1.5,4)(1.5,2)
\psline(0,4)(0,2)
\psline(0,3)(1.5,3)
\rput[tl](4.44,2.26){$A_1$}
\rput[tl](1.56,1.3){$A_2$}
\rput[tl](2.26,3.18){$A_3$}
\rput[tl](0.7,2.82){$A_4$}
\rput[tl](6,3.38){$A_0$}
\psline[linecolor=zzttqq](0,0)(3,0)
\psline[linecolor=zzttqq](3,0)(3,2)
\psline[linecolor=zzttqq](3,2)(0,2)
\psline[linecolor=zzttqq](0,2)(0,0)
\psline[linecolor=zzttqq](0,2)(1.5,2)
\psline[linecolor=zzttqq](1.5,2)(1.5,4)
\psline[linecolor=zzttqq](1.5,4)(0,4)
\psline[linecolor=zzttqq](0,4)(0,2)
\psline[linecolor=zzttqq](1.5,2)(3,2)
\psline[linecolor=zzttqq](3,2)(3,4)
\psline[linecolor=zzttqq](3,4)(1.5,4)
\psline[linecolor=zzttqq](1.5,4)(1.5,2)
\psline[linecolor=zzttqq](1.5,4)(0,4)
\psline[linecolor=zzttqq](0,4)(0,3)
\psline[linecolor=zzttqq](0,3)(1.5,3)
\psline[linecolor=zzttqq](1.5,3)(1.5,4)
\psline[linecolor=zzttqq](0,3)(0,2)
\psline[linecolor=zzttqq](0,2)(1.5,2)
\psline[linecolor=zzttqq](1.5,2)(1.5,3)
\psline[linecolor=zzttqq](1.5,3)(0,3)
\begin{scriptsize}
%\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](0,0)
%\rput[bl](0.08,0.12){\blue{$A$}}
%\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](6,0)
%\rput[bl](6.08,0.12){\blue{$B$}}
%\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](6,4)
%\rput[bl](6.08,4.12){\blue{$C$}}
%\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](0,4)
%\rput[bl](0.08,4.12){\blue{$D$}}
%\psdots[dotstyle=*,linecolor=darkgray](3,0)
%\rput[bl](3.08,0.12){\darkgray{$E$}}
%\psdots[dotstyle=*,linecolor=darkgray](3,4)
%\rput[bl](3.08,4.12){\darkgray{$F$}}
%\psdots[dotstyle=*,linecolor=darkgray](0,2)
%\rput[bl](0.08,2.12){\darkgray{$G$}}
%\psdots[dotstyle=*,linecolor=darkgray](3,2)
%\rput[bl](3.08,2.12){\darkgray{$H$}}
%\psdots[dotstyle=*,linecolor=darkgray](1.5,2)
%\rput[bl](1.58,2.12){\darkgray{$I$}}
%\psdots[dotstyle=*,linecolor=darkgray](3,4)
%\rput[bl](3.08,4.12){\darkgray{$J$}}
%\psdots[dotstyle=*,linecolor=darkgray](3,4)
%\rput[bl](3.08,4.12){\darkgray{$K$}}
%\psdots[dotstyle=*,linecolor=darkgray](3,4)
%\rput[bl](3.08,4.12){\darkgray{$L$}}
%\psdots[dotstyle=*,linecolor=darkgray](3,4)
%\rput[bl](3.08,4.12){\darkgray{$M$}}
%\psdots[dotstyle=*,linecolor=darkgray](1.5,4)
%\rput[bl](1.58,4.12){\darkgray{$N$}}
%\psdots[dotstyle=*,linecolor=darkgray](1.5,3)
%\rput[bl](1.58,3.12){\darkgray{$O$}}
%\psdots[dotstyle=*,linecolor=darkgray](0,3)
%\rput[bl](0.08,3.12){\darkgray{$P$}}
\end{scriptsize}
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{enumerate}
\end{enumerate}



\end{multicols}




\label{fin}
\end{document}  