\documentclass[10pt] {article} \usepackage[T1]{fontenc} 
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{amsmath,amssymb,graphicx,multicol,mathrsfs, fancyhdr,enumerate,fourier,eurosym,alterqcm,enumerate,tabularx,variations,numprint}
\usepackage[dvips]{color}
\usepackage{bclogo}
\usepackage{pst-plot,pst-tree,pstricks,pst-node,pstricks-add,pst-math,pst-xkey,pst-eucl}
\usepackage[francais]{babel} 
\everymath{\displaystyle}
\usepackage[colorlinks=true,pdfstartview=FitV,linkcolor=blue,citecolor=blue,urlcolor=blue]{hyperref}
\textwidth 19cm \textheight 27cm \hoffset 
-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\newcommand{\intervalle}[4]{\mathopen{#1}#2
                            \mathclose{}\mathpunct{};#3
                            \mathclose{#4}}
\newcommand{\intervalleff}[2]{\intervalle{[}{#1}{#2}{]}}
\newcommand{\intervalleof}[2]{\intervalle{]}{#1}{#2}{]}}
\newcommand{\intervallefo}[2]{\intervalle{[}{#1}{#2}{[}}
\newcommand{\intervalleoo}[2]{\intervalle{]}{#1}{#2}{[}}
\newcommand{\N}{\ensemblenombre{N}}
\newcommand{\Z}{\ensemblenombre{Z}}
\newcommand{\Q}{\ensemblenombre{Q}}
\newcommand{\R}{\ensemblenombre{R}}
\newcommand{\C}{\ensemblenombre{C}}
\newcommand{\diff}{\mathop{}\mathopen{}\mathrm{d}}
\newcommand{\abs}[1]{\left\lvert#1\right\rvert}
\newcommand{\norme}[1]{\left\lVert#1\right\rVert}
\pagestyle{empty}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{2\up{nde} : AP séance 1}}\end{center}



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{}
Calculer sous forme de fraction irréductible : 

\begin{tabular}{*{3}{l}}$A=\dfrac{4}{9}- 2\times \dfrac{ 7}{6}$& $B=\dfrac{1 - 2\times \frac73}{ \left(1-\frac16\right)^2}$&$C=\dfrac{1 - \frac13}{ 6}\times  \dfrac94-\dfrac15$
\end{tabular}

\subsection{}
On souhaite calculer $\dfrac{23}{48}-\dfrac{5}{15}$.\\
Pour cela, il faut mettre les francisons au même dénominateur.\\
Comme dénominateur commun, on calcule le plus petit commun multiple de 15 et 48, noté PPCM.
\begin{enumerate}
\item Effectuer la décomposition de ces deux nombres en produit de facteurs premiers

\item En déduire que le PPCM de 15 et 48 est 240.

\item Effectuer alors le calcul demandé.
\end{enumerate}

\subsection{}
Calculer : $\begin{array}{*3{l}}A=\dfrac{7}{160}+\dfrac{1}{\numprint{2700}}&&B=\dfrac{5}{72}-\dfrac{1}{48}
\end{array}$

\subsection{}
Simplifier les fractions suivantes lorsque c'est possible :
\begin{tabularx}{\linewidth}{l*{3}{>{\centering \arraybackslash}X}}
$A = \dfrac{13 + a}{13 – a}$
&$B= \dfrac{13 + 13a}{13 – 13a}$&$C= \dfrac{2x + 3}{2 ( x + 3 )}$\\\\
$D=\dfrac{2x + 18}{2 ( x + 3 )}$&$E= \dfrac{10}{15n – 10}$&
\end{tabularx}


\subsection{}
En électricité, si deux résistances $R_1$ et $R_2$ sont branchées en parallèle, elles forment une résistance totale équivalente $R_T$ telle que \[\dfrac{1}{R_T} =\dfrac{1}{R_1} + \dfrac{1}{R_2}.\]
\begin{center}
\begin{pspicture}(0,0)(6,2.3)
\psframe(2,-0.2)(4,0.2)
\psframe(2,1.8)(4,2.2)
\psline(1,0)(2,0)\psline(1,2)(2,2)\psline(1,0)(1,2)\psline(0,1)(1,1)
\psline(4,0)(5,0)\psline(4,2)(5,2)\psline(5,0)(5,2)\psline(5,1)(6,1)
\uput[d](3,0){$R_2$}\uput[u](3,2){$R_1$}
\end{pspicture}
\end{center}
\begin{enumerate}[a)]
\item Calculer la résistance totale équivalente à deux résistances de 12 $\Omega$ (ohms) et 9 $\Omega$ branchées en parallèle.

\item Exprimer $R_T$ en fonction de $R_1$ et $R_2$ .

\item Si les deux résistances $R_1$ et $R_2$ sont égales, de valeur $x$ (en ohm), prouver que $R_T$ vaut $\dfrac{x}{2}$(en ohm).

\item On branche une troisième résistance $R_3 $ en parallèle.\\
Exprimer $\dfrac{1}{R_T}$ en fonction de $\dfrac{1}{R_1}$ , $\dfrac{1}{R_2}$ et $\dfrac{1}{R_3}$ , puis $R_T$ en fonction de $R_1$ , $R_2$ et $R_3$ .

\item Si les trois résistances sont égales, déterminer la valeur de la résistance totale.

\end{enumerate}

\end{multicols}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


%\vspace{0.5cm}
%
%\setcounter{subsection}{0}
%\begin{center}\section*{\textcolor{red}{2\up{nde} : AP séance 1}}\end{center}
%
%
%
%\begin{multicols}{2}
%\setlength{\columnseprule}{1pt}
%\setlength{\columnsep}{2 cm}
%
%\subsection{}
%Calculer sous forme de fraction irréductible : 
%
%\begin{tabular}{*{3}{l}}$A=\dfrac{4}{9}- 2\times \dfrac{ 7}{6}$& $B=\dfrac{1 - 2\times \frac73}{ \left(1-\frac16\right)^2}$&$C=\dfrac{1 - \frac13}{ 6}\times  \dfrac94-\dfrac15$
%\end{tabular}
%
%\subsection{}
%On souhaite calculer $\dfrac{23}{48}-\dfrac{5}{15}$.\\
%Pour cela, il faut mettre les francisons au même dénominateur.\\
%Comme dénominateur commun, on calcule le plus petit commun multiple de 15 et 48, noté PPCM.
%\begin{enumerate}
%\item Effectuer la décomposition de ces deux nombres en produit de facteurs premiers
%
%\item En déduire que le PPCM de 15 et 48 est 240.
%
%\item Effectuer alors le calcul demandé.
%\end{enumerate}
%
%\subsection{}
%Calculer : $\begin{array}{*3{l}}A=\dfrac{7}{160}+\dfrac{1}{\numprint{2700}}&&B=\dfrac{5}{72}-\dfrac{1}{48}
%\end{array}$
%\subsection{}
%Simplifier les fractions suivantes lorsque c'est possible :
%\begin{tabularx}{\linewidth}{l*{3}{>{\centering \arraybackslash}X}}
%$A = \dfrac{13 + a}{13 – a}$
%&$B= \dfrac{13 + 13a}{13 – 13a}$&$C= \dfrac{2x + 3}{2 ( x + 3 )}$\\\\
%$D=\dfrac{2x + 18}{2 ( x + 3 )}$&$E= \dfrac{10}{15n – 10}$&
%\end{tabularx}
%
%
%\subsection{}
%En électricité, si deux résistances $R_1$ et $R_2$ sont branchées en parallèle, elles forment une résistance totale équivalente $R_T$ telle que \[\dfrac{1}{R_T} =\dfrac{1}{R_1} + \dfrac{1}{R_2}.\]
%\begin{center}
%\begin{pspicture}(0,0)(6,2.3)
%\psframe(2,-0.2)(4,0.2)
%\psframe(2,1.8)(4,2.2)
%\psline(1,0)(2,0)\psline(1,2)(2,2)\psline(1,0)(1,2)\psline(0,1)(1,1)
%\psline(4,0)(5,0)\psline(4,2)(5,2)\psline(5,0)(5,2)\psline(5,1)(6,1)
%\uput[d](3,0){$R_2$}\uput[u](3,2){$R_1$}
%\end{pspicture}
%\end{center}
%\begin{enumerate}[a)]
%\item Calculer la résistance totale équivalente à deux résistances de 12 $\Omega$ (ohms) et 9 $\Omega$ branchées en parallèle.
%
%\item Exprimer $R_T$ en fonction de $R_1$ et $R_2$ .
%
%\item Si les deux résistances $R_1$ et $R_2$ sont égales, de valeur $x$ (en ohm), prouver que $R_T$ vaut $\dfrac{x}{2}$(en ohm).
%
%\item On branche une troisième résistance $R_3 $ en parallèle.\\
%Exprimer $\dfrac{1}{R_T}$ en fonction de $\dfrac{1}{R_1}$ , $\dfrac{1}{R_2}$ et $\dfrac{1}{R_3}$ , puis $R_T$ en fonction de $R_1$ , $R_2$ et $R_3$ .
%
%\item Si les trois résistances sont égales, déterminer la valeur de la résistance totale.
%
%\end{enumerate}
%
%\end{multicols}

\newpage
\begin{center}
\section*{\textcolor{red}{Correction}}
\end{center}

\setcounter{subsection}{0}

\subsection{}
\noindent $A=\dfrac{4}{9}- 2\times \dfrac{ 7}{6}=\dfrac{4}{9}-\dfrac{2\times 7}{2\times 3}=\dfrac{4}{9}-\dfrac{7}{3}=\dfrac{4-21}{9}=\boxed{\textcolor{red}{-\dfrac{17}{9}}}$.\\

\noindent $B=\dfrac{1 - 2\times \frac73}{ \left(1-\frac16\right)^2}=\dfrac{1-\frac{14}3}{\left(\frac{6}{6}-\frac{1}{6}\right)^2}=\dfrac{\frac33-\frac{14}3}{\left(\frac56\right)^2}=\dfrac{-\frac{11}3}{\frac{25}{36}}=-\dfrac{11}3{\times \dfrac{36}{25}=-\dfrac{11\times 3\times 12}{3\times 25}}=\boxed{\textcolor{red}{-\dfrac{132}{25}}}$\\

\noindent $C=\dfrac{1 - \frac13}{ 6}\times  \dfrac94-\dfrac15=\dfrac{\frac33-\frac13}{6}\times  \dfrac94-\dfrac15=\dfrac{\frac23}{6}\times  \dfrac94-\dfrac15=\dfrac{2}{3}\times \dfrac{1}{6}\times  \dfrac94-\dfrac15=\dfrac{2}{3}\times \dfrac{1}{2\times 3}\times  \dfrac94-\dfrac15=\dfrac{2}{9}\times  \dfrac94-\dfrac15=\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{5}=\dfrac{5-4}{20}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{1}{20}}}$

\subsection{}

\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $15=3\times 5$

\item $48=16\times 3=2^4\times 3$
\end{enumerate}

\item Pour calculer le PPCM de deux nombres, on prend chaque facteur premier intervenant dans les décompositions affecté du plus grand exposant.:\
On en déduit que $\text{PPCM}(15~;~48)=2^4\times 3\times 5=16\times 3\times 5=\boxed{\textcolor{red}{240}}$.

\item $\dfrac{23}{48}-\dfrac{5}{15}=\dfrac{5\times 23}{240}-\dfrac{5\times 16}{240}=\dfrac{115-80}{240}=\dfrac{35}{240}=\dfrac{5\times 7}{5\times 48}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{7}{48}}}$.
\end{enumerate}

\subsection{}
On veut calculer $A=\dfrac{7}{160}+\dfrac{1}{\numprint{2700}}$.\\
$160=16\times 10=2^4\times 2\times 5=2^5\times 5$.\\
$\numprint{2700}=27\times 100=3^3\times 4\times 25=3^3\times 2^2\times 5^2=2^2\times 3^3\times 5^2$.\\
On en déduit que $\text{PPCM}(160~;~2700)=2^5\times 3^3\times 5^2=\numprint{21600}$.\\
Alors : $A=\dfrac{7}{160}+\dfrac{1}{\numprint{2700}}=\dfrac{7\times 135}{\numprint{21600}}+\dfrac{1\times 8}{\numprint{21600}}=\dfrac{945+8}{\numprint{21600}}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{953}{\numprint{21600}}}}$.\\

\noindent $72=8\times 9=2^3\times 3^2$ ; $48=16\times 3=2^4\times 3$.\\
On en déduit que $\text{PPCM}(72~;~48)=2^4\times 3^2=16\times 9=144$.\\
Alors : $B=\dfrac{5}{72}-\dfrac{1}{48}=\dfrac{10}{144}-\dfrac{3}{144}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{7}{144}}}$

\subsection{}
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $A = \dfrac{13 + a}{13 – a}$ ne peut pas être simplifiée car il n'y a pas de produit au numérateur et au dénominateur avec un même facteur.

\item $B= \dfrac{13 + 13a}{13 – 13a}=\dfrac{13(1+a)}{13(1-a)}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{1+a}{1-a}}}$

\item $C= \dfrac{2x + 3}{2 ( x + 3 )}$ n'est pas simplifiable.

\item $D=\dfrac{2x + 18}{2 ( x + 3 )}=\dfrac{2(x+9)}{2(x+3)=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{x+9}{x+3}}}}$

\item $E= \dfrac{10}{15n – 10}=\dfrac{5\times 2}{5(3n-2)}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{2}{3n-2}}}$


\end{enumerate}

\subsection{}

\begin{enumerate}
\item $\dfrac{1}{R_T} =\dfrac{1}{R_1} + \dfrac{1}{R_2}=\dfrac{1}{12}+\dfrac{1}{9}=\dfrac{3}{36}+\dfrac{4}{36}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{7}{36}}}$ donc $R_T=\dfrac{36}{7}~\Omega$.

\item $\dfrac{1}{R_T}=\dfrac{1}{R_1}+\dfrac{1}{R_2}=\dfrac{R_1+R_2}{R_1R_2}$ d'où $R_T=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{R_1R_2}{R_1+R_2}}}$

\item Si $R_1=R_2=x$, on obtient $R_T=\dfrac{x\times x}{x+x}=\dfrac{x^2}{2x}=\dfrac{x}{2}$.

\item $\dfrac{1}{R_T}=\dfrac{1}{R_1}+\dfrac{1}{R_2}+\dfrac{1}{R_3}=\dfrac{R_2R_3+R_1R_3+R_1R_2}{R_1R_2R_3}$ donc $R_T=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{R_1R_2R_3}{R_1R_2+R_2R_3+R_1R_3}}}$.

\item Si $R_1=R_2=R_3=x$, on obtient $R_T=\dfrac{x^3}{3x^2}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{x}{3}}}$
\end{enumerate}

\subsection*{\textcolor{red}{Liens pour s'entraîner sur les PPCM :}}


\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item \href{http://euler.ac-versailles.fr/webMathematica/pi/arithmetique/ppcm/ppcm1.jsp}{Déterminer le PPCM de deux entiers connaissant leur décomposition en produit de facteurs premiers }

\item \href{http://euler.ac-versailles.fr/webMathematica/pi/arithmetique/ppcm/ppcm2.jsp}{Déterminer le PPCM de deux entiers }

\item \href{http://euler.ac-versailles.fr/wm3/pi2/calculmental/ppcm1.jsp}{Déterminer le PPCM de couples de nombres inférieurs à 100 }
\end{enumerate}

\textbf{\textcolor{red}{Générateur d'exercices }:}\\
\begin{enumerate}[$\bullet$]

\item \href{http://euler.ac-versailles.fr/webMathematica/pi/arithmetique/ppcm/latex/ppcm1.jsp}{Calcul du PPCM de deux entiers connaissant leur décomposition en produit de facteurs premiers}

\item \href{http://euler.ac-versailles.fr/webMathematica/pi/arithmetique/ppcm/latex/ppcm2.jsp}{Calcul du PPCM de deux entiers }

\end{enumerate}





\label{fin}
\end{document}  