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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}

\begin{center}\section*{\textcolor{blue}{2nde : AP (résolution de systèmes d'équations)}}\end{center}



\section{\textcolor{red}{Méthode par combinaisons ou 
élimination}}


\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\textcolor{blue}{\textbf{Principe de la méthode par combinaisons :}} \\
Pour résoudre ce système par la méthode par combinaisons (ou élimination), on multiplie chaque équation par un nombre pour obtenir le même coefficient pour $x$ ou pour $y$ (au signe près). (même principe que pour obtenir le dénominateur commun de deux fractions).

\noindent On ajoute alors ou on soustrait les deux équations obtenues pour faire disparaître une des inconnues. On résout alors l'équation obtenue, ce qui donne la valeur d'une des inconnues. On procède de même pour trouver l'autre inconnue ou on remplace dans une des équation l'inconnue trouvée et on résout l'équation obtenue.

\subsection{}
¿ la boulangerie, un client demande  \og{}4 baguettes et 5 croissants\fg. Il paie 11,9 \euro{}.\\
Un autre client demande \og{}2 baguettes et 3 croissants\fg. Il paie 6,7 \euro{}.
\begin{enumerate}

\item On appelle $x$ le prix d'une baguette et $y$ celui d'un croissant (en euros).\\
Traduire chacun des renseignements par une équation à deux inconnues.

\item Les deux équation doivent être vraies simultanément, donc on obtient le système de deux équations à deux inconnues :  
\begin{center}
\systeme[][:]{4x+5y=11~\left(E_1\right):2x+3y=6,7~\left(E_2\right)}
\end{center}


\end{enumerate}

\subsection{}
Résoudre avec la même méthode le système suivant : \systeme[][:]{3x+5y=34~\left(E_1\right):7x-2y=11~\left(E_2\right)}


\subsection{}
On paie une somme de 170 \euro{} avec 21 billets, les uns de 10 \euro{} et les autre de 5 \euro.\\
Combien y a-t-il de billets de chaque sorte?
\end{multicols}


\vspace{2cm}

\section{\textcolor{red}{Méthode par substitution}}

\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\textbf{\textcolor{blue}{Principe :}} à partir d'une des deux équations, on exprime une inconnue en fonction de l'autre et on la remplace dans l'autre équation. On obtient alors une équation à \textbf{une seule inconnue} que l'on résout, puis on calcule la valeur de l'autre inconnue.

En pratique, on n'utilise cette méthode que si l'on peut facilement exprimer une inconnue en fonction de l'autre, \textbf{\textcolor{red}{sans introduire de fraction}} !

\subsection{\textcolor{blue}{Exemple}}
Soit le système \systeme[][:]{3x+2y=5:x+3y=12}\\

\begin{enumerate}[a)]
\item ¿ partir de la deuxième équation, exprimer $x$ en fonction de $y$.

\item Remplacer $x$ par l'expression trouvée en a) dans la première équation.

\item Résoudre alors l'équation obtenue.

\item En déduire alors la valeur de $y$.
\end{enumerate}

\subsection{}
On considère les fonctions affines $f:x\mapsto 2x+3$ et $g:x\mapsto -5x+7$ dont les représentations graphiques sont les droites $(d)$ et $(d')$.\\
Trouver les cordonnées du point d'intersection éventuel de $(d)$  et $(d')$.



\end{multicols}





\label{fin}
\end{document}  